Алгоритм нахождения экстремумов функции

Практическая работа № 5

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Цель работы

Закрепить умение применять производную функции первого порядка при определении промежутков монотонности и точек экстремума функции, при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке; формировать умение строить схематически график функции. Закрепить умение применять производную функции при решении задач физики, геометрии, математического анализа.

Обеспечивающие средства

2.1.Методические указания по выполнению практической работы, таблицы производных, карандаш, линейка.

Требования к отчету

3.1.Дата, номер работы, тема.

3.2.Изучить технологию исследования функции с помощью производной первого порядка.

3.3.Выполнить практическое задание в соответствии с данными своего варианта (см. таблицу вариантов 5).

Технология исследования функции с помощью производной

Достаточный признак монотонности функции в интервале: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Достаточные условия существования экстремума [1].

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х_о, f ‘(x)>0 на интервале [a, x_о] и f ‘(x)<0 на интервале [x_о, b], то х_о является точкой максимума функции f(x).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х_о, f ‘(x)<0 на интервале [a, x_о] и f ‘(x)>0 на интервале [x_о, b], то х_о является точкой минимума функции f(x).

Алгоритм нахождения экстремумов функции

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки[2].

4. Определить знак производной на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения.

5. Найти точки экстремума, учитывая характер изменения знака производной.

6. Найти экстремумы функций.

Алгоритм нахождения наибольшего инаименьшего значений функции на отрезке

1. Найти критические точки функции.

2. Найти значения функции в критических точках, принадлежащих интервалу (а; b).

3. Найти значения функции на концах отрезка [а; b].

4. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Геометрический смысл производной: производная в точке x_o равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в этой точке:

k=f ’(x_o)=tg (6.1)

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке имеет вид:

(6.2)

Физическое приложение производной: при прямолинейном движении точки скорость в данный момент времени есть производная от пути по времени, вычисленная для момента времени; ускорение в данный момент времени есть производная от скорости по времени, вычисленная для момента времени:

v(t₀)=x'(t₀) (6.3)

a(t₀)=v'(t₀)= x''(t₀) (6.4)

 

Пример 1. Исследовать функцию y=x³+6x²+9x с помощью производной и построить график.

1) D(y)=R

2) Найдем производную функции: y’=(x³+6x²+9x)’=3x²+12x+9

3) Определим критические точки: y’=0, т.е.

3x²+12x+9=0

Решив квадратное уравнение, получим корни: x₁=-1 и x₂=-3.

4) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак производной функции на каждом интервале:

+ - +

-3 -1

У(х)

x=-4, y’=3*16-48+9=9>0

x=-2, y’=12-24+9=-3<0

x=0, y’=0+0+9=9>0

5) Найдем точки экстремума:

x_min=-1, x_max=-3.

6) Найдем экстремумы функции:

y_min=y(-1)=-1+6-9=-4, y_max=y(-3)=-27+54-27=0.

7) Построим график функции.

Пример 2. Исследовать функцию y= и построить график.

1) Найдем область определения: D(y)=R\{2}; x=2– вертикальная асимптота.

2) Найдем производную функции: y’= .

3) Определим критические точки:

x²-4x=0 x(x-4)=0 x=0, x=4

y’=0, <=>

(x-2)²≠ 0 x≠ 2

 

4) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак производной функции на каждом интервале:

+ - - +

У(х) 0 2 4

x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

x=1, y’=(1-4)/1=-3<0

x=3, y’=(9-12)/1=-3<0

x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0

5) Найдем точки экстремума: x_min=4, x_max=0.

6) Найдем экстремумы функции:

y_min=y(4)=16/2=8, y_max=y(0)=0

7) Построим график функции.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x ³ – 12 x + 7 на отрезке [– 3, 0].

Решение.1)Ищем производную и приравниваем её нулю: y^/ = 3 x ² –12, 3(x ² – 4) = 0.

Корни уравнения являются критическими точками, но промежутку принадлежит только х = – 2.

2) Подсчитываем значение функции в критической точке у (– 2) = 23.

3) Подсчитываем значения функции на концах промежутка: у (– 3) = 16 и у (0) = 7.

4) Среди них наибольшее у (– 2) = 23, наименьшее у (0) = 7.

Ответ: у_{наибол.} (– 2) = 23, у_{наимен.} (0) = 7 на отрезке [ – 3, 0].

Задача 4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где-расстояние от точки отсчета в метрах,- время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение. Если нам известна скорость точки в некий момент времени, следовательно, нам известно значение производной в точке t_o.

Найдем производную функции _: .

По условию, скорость точки равна 3 м/с, поэтому значение производной в момент времени t_o равно 3.

Получаем уравнение:

Ответ: 8с.

Задача 5. Сергей решил сделать своей маме подарок к 8 Марта и заказал шкатулку из драгоценного металла. В мастерскую он принес кусок листа из этого металла размером 80 х 50 см. Требуется изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и загибая оставшиеся кромки.

Решение. Обозначим через х длину стороны вырезаемого квадрата. При этом 0<x<25.

Объем при этом у коробки:

V = x (80-х) (50 – 2х) = 4х³ - 260х² + 4000х.

V´ = 12х² - 520х + 4000 = 0,

х₁ = 100:3 = 33 , х₂= 10.

х₁- посторонний корень по смыслу задачи. х₂= 10 – единственное решение – высота, 80 – 20 = 60 – длина, 50 – 20 = 30 – ширина.

V = 10 · 60 · 30 = 18000(см³).

Ответ: коробка будет иметь измерения 10, 30 и 60см.

 

Практическое задание

1. Найти:

а) экстремумы функции у (см.таблицу вариантов 6);

б) промежутки монотонности функции у.

Построить график функции.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у на указанном отрезке (см.таблицу вариантов 6).

3. Два тела движутся со скоростью и . В какой момент времени их ускорения будут равны?

4. Каким должен быть прямоугольник наибольшей площади, который можно согнуть из куска проволоки длиной 50см?

7. Закон движения тела, брошенного вертикально, задан уравнением
S=19,6t – 4,9t². Найдите наибольшую высоту подъема тела. Здесь S-путь (м), t-время (с).

Таблица вариантов 6

№ вар.	Функция	Отрезок		№ вар.	Функция	Отрезок
	у=(х-3)2(х-2)	[1;4]		у=	[-2;5]
	у= х3+х2	[-4;1]		у= - х4+2х2+3	[-0,5;2]
	у= х3-х2-3х	[-2;6]		у= 2х4-х	[-2;2]
	у= - х4+2х2+1	[-3;3]		у=-х3+9х2-24х+10	[0;3]
	у= х4-8х2-9	[-3;3]		у=х5-5х4+5х3+1	[-10;10]
	у=(х-2)(х+1)2	[-1,5;1,5]		у=х3-3х2+9х+35	[-4;4]
	у= - х3+2х -	[-1,5;1,5]		у=х3-3х	[-0,5;0,5]
	у=3х5-5х4+4	[-1;1]		у=х4-8х2-9	[0;3]
	у=9х2-9х3	[-0,5;1]		у=х4-8х2-9	[-1;1]
	у= х3-4х	[-3;3]		у=х3+3х2-9х	[-4;0]
	у=2х4- х	[-1;1]		у=х3+3х2-9х	[2;4]
	у= х2 -	[-3;-0,5]		у=2х3-9х2+12х-3	[0;3]
	у=	[-1;2]		у=	[1;3]
	у=3х-х3	[-1,5;1,5]		у=	[-10;10]
	у=2х2-х4	[-2;1,5]		у=2х3-9х2+12х-8	[0;5]
	у= - х2	[-8;8]			у=2х3-3х2-12х+8	[0;5]
	у= - х	[-8;8]			у= х3-х2-3х+	[-1;3]
	у= х3-1,5х2-6х+4	[-2;3]			у=х3-6х2+9х-3	[-1;3]

Литература

6.1. Н.В.Богомолов, П.И.Самойленко «Математика», §55, 56.

6.2. А.А.Дадаян «Математика», §9.9. 9.10.

[1] Х₀ - точка максимума (минимума) называются точками экстремума.

f(х₀) – максимум (минимум) функции называются экстремумами функции.

[2] Критические точки – это внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.