Обработка результатов многократных

НАБЛЮДЕНИЙ

При однократных измерениях оценку погрешности производят на основе класса точности используемых средств измерений.

Получаемый при этом предел допускаемой погрешности СИ неполно характеризует качество измерений, т. е. остается неизвестным закон распределения вероятностей погрешностей и не ясно, какая из составляющих систематическая Δс или случайная доминируют в сумме

 

Δ = Δс + (1.1)

 

Для того, чтобы оценить случайную погрешность и определить более точно усредненный результат измерения проводят многократные наблюдения и статистическую обработку их.

Структура погрешности в каждой точке шкалы СИ полностью характеризуется плотностью распределения вероятностей. Определение оценки плотности распределения вероятностей (гистограммы) требует проведения нескольких сотен измерений.

В практике чаще всего имеют дело с нормальным распределением.

Результаты наблюдений, являющихся случайными величинами X, распределены по нормальному закону (закону Гаусса), если их плотность вероятностей имеет вид

(1.2)

где σ – дисперсия; – математическое ожидание.

Для решения многих задач не требуется знания функции и плотности распределения вероятностей, а вполне достаточными характеристиками случайных погрешностей служат их простейшие числовые характеристики: математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Числовые вероятностные характеристики погрешностей, представляющие собой неслучайные величины, теоретически определяются при конечном числе опытов. Практически число опытов всегда ограничено, поэтому реально пользуются числовыми характеристиками, которые принимают за искомые вероятностные характеристики и называют оценками характеристик. Определение оценок числовых характеристик может быть выполнено по значительно меньшему числу наблюдений N (порядка 10-30).

Пусть при измерении величины А N раз получен ряд значений х1, х2, х3,... хn. Если число измерений N достаточно велико, то за истинное значение измеряемой величины принимают наиболее достоверное значение - среднее арифметическое (действительное)

(1.3)

 

Зная среднее арифметическое значение, можно определить отклонение результата единичного измерения от среднего значения

 

(1.4)

 

Это отклонение может быть вычислено для каждого измерения. Следует помнить, что сумма отклонения результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна. Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений.

Среднее квадратическое отклонение (СКО) погрешности однократного измерения σ равно

 

(1.5)

 

В теории случайных погрешностей вводится также понятие о среднем квадратическом отклонении среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность результата измерений)

 

(1.6)

 

где - оценка средней квадратической погрешности σХ ряда из N измерений.

При оценке результатов измерений пользуются понятием предельно допустимой (максимальной) погрешности ряда измерений

 

Dмакс=3s (1.7)

 

Рассмотренные оценки результатов измерений, выражаемые одним числом, называют точечными оценками. Поскольку подобную оценку обычно принимают за действительное значение измеряемой величины, то возникает вопрос о точности и надежности полученной оценки. Судят об этом по вероятности α того, что результат измерений (действительное значение) отличается от истинного не более, чем на Δ. Это можно записать в виде

 

(1.8)

 

Вероятность α называется доверительной вероятностью или коэффициентом надежности, а интервал значений от х - Δ до х + Δ — доверительным интервалом. Обычно его выражают в долях средней квадратической погрешности

 

(1.9)

 

где ta (N) - табулированный коэффициент распределения Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности α и числа измерений N

Результат измерения записывается в виде

 

А = ± Δ; α (1.10)

 

Доверительный интервал при заданной вероятности имеет вид:

(1.11)

 

 

Приложение

Таблица 1

	Исходные данные к задаче 1
Номер ва-рианта	Номинальный диаметр d, м	Дли-на соп-ряжения L, м	L/d	Угло-вая ско-рость вращения w, рад/с	Нагруз-ка на опоре R, Н	Марка масла	Шероховатость
Цапфа (вал), мкм	Вкладыш (отверстие), мкм
m50, нс/м2
Rzd	RzD
	0,048	0,062	1,3			Т22/0,019	1,6	3,2
	0,1	0,12	1,2			Т22/0,019	4,0	1,6
	0,08	0,12	1,5			Т46/0,04	2,5	1,6
	0,15	0,18	1,2			Т22/0,019	4,0	1,6
	0,15	0,18	1,2			И-30А/0,027	2,5	1,3
	0,12	0,12				Т46/0,04	4,0	1,6
	0,18	0,27	1,5			Т22/0,019	10,0	10,0
	0,16	0,19	1,2			И-50А/0,045	10,0	6,3
	0,09	0,1	1,1			Т57/0,05	3,2	2,5
	0,11	0,11				И-30А/0,027	6,3	3,2
	0,17	0,17				Т22/0,019	10,0	10,0
	0,01	0,015	1,5			Т22/0,019	0,4	0,5
	0,012	0,018	1,5			Т22/0,019	0,5	0,8
	0,016	0,024	1,5			Т22/0,019	0,8	0,3
	0,016	0,027	1,5			Т22/0,019	0,8	1,3
	0,02	0,03	1,5			Т22/0,019	0,8	1,3
	0,04	0,06	1,5			И-30А/0,027	1,6	3,2
	0,045	0,054	1,2			И-30А/0,027	3,2	6,3
	0,05	0,075	1,5			И-30А/0,027	3,2	6,3
	0,06	0,09	1,5			И-30А/0,027	3,2	6,3
	0,063	0,095	1,5			И-30А/0,027	3,2	6,3
	0,032	0,048	1,5			Т22/0,019	1,6	3,2
	0,04	0,06	1,5			И-30А/0,027	1,6	3,2
	0,05	0,065	1,3			И-30А/0,027	1,6	3,2
	0,048	0,062	1,3			И-30А/0,027	1,6	3,2
	0,05	0,07	1,5			И-30А/0,027	1,6	3,2
	0,042	0,063	1,5			Т22/0,019	1,6	3,2
	0,056	0,073	1,3			И-30А/0,027	1,6	3,2
	0,056	0,073	1,3			И-30А/0,027	1,6	3,2
	0,042	0,063	1,5			Т22/0,019	1,6	3,2

 

Таблица 2 Исходные данные к задаче 2
№ ва-ри-анта	Номи-нальный диаметр сопряжения D, м	Внут-ренний диаметр вала d1, м	Наружный диаметр втулки D2, м	Длина сопряжения l, м	Крутящий момент, Мкр, нм	Вал	Отверстие
Материал	Ed, Па	sТd, Па	md	Rzd	Материал	ED, Па	sТD Па	mD	RzD
	0,090	0,06	0,15	0,06		Ст 45	2·1011	35,5·107	0,3	3,2	Сч 18	1·1011	18·107	0,25	1,6
	0,080	0,04	0,1	0,06		Ст 45	2·1011	35,5·107	0,3		Сч 28	1·1011	28·107	0,25	6,3
	0,120	0,06	0,16	0,08		Ст 45	2·1011	35,5·107	0,3		Сч 12	1·1011	12·107	0,25
	0,240	0,12	0,26	0,05		Ст 30	2·1011	29,4·107	0,3		Сч 28	1·1011	28·107	0,25
	0,100	0,05	0,15	0,1		Ст 40	2·1011	30·107	0,3	6,3	Сч 28	1·1011	28·107	0,25	3,2
	0,110	0,05	0,16	0,06		Ст 45	2·1011	35,5·107	0,3	6,3	Сч 18	1·1011	18·107	0,25	3,2
	0,200	0,1	0,25	0,05		Ст 30	2·1011	29,4·107	0,3		Сч 18	1·1011	18·107	0,25
	0,150	0,075	0,2	0,05		Ст 30	2·1011	29,4·107	0,3		Сч 12	1·1011	12·107	0,25	6,3
	0,060	0,03	0,12	0,05		Ст 45	2·1011	35,5·107	0,3	6,3	Сч 28	1·1011	28·107	0,25	3,2
	0,160	0,08	0,21	0,07		Ст 45	2·1011	27,4·107	0,3		Сч 18	1·1011	18·107	0,25
	0,180	0,01	0,40	0,015		Ст 25	2·1011	27,4·107	0,3	1,6	АЖ 9-4	0,9·1011	27,4·107	0,35	3,2
	0,020	0,012	0,042	0,018		Ст 30	2·1011	31,4·107	0,3	1,6	АЖ 9-4	0,9·1011	27,4·107	0,35	3,2
	0,024	0,016	0,046	0,024		Ст 35	2·1011	33,3·107	0,3	1,6	АЖ 9-4	0,9·1011	27,4·107	0,35	3,2
	0,026	0,016	0,048	0,027		Ст 40	2·1011	35,3·107	0,3	3,2	АЖ 9-4	0,9·1011	27,4·107	0,35	6,3
	0,030	0,02	0,052	0,03		Ст 45	2·1011	26·107	0,3	3,2	АЖ 9-4	0,9·1011	27,4·107	0,35	6,3
	0,080		0,12	0,06		Ст 20	2·1011	26·107	0,3	2,5	Ст 20	2·1011	20·107	0,3	3,2
	0,100		0,18	0,08		Ст 20	2·1011	29,4·107	0,3	3,2	Ст 20	2·1011	29,4·107	0,3	6,3
	0,120		0,16	0,1		Ст 30	2·1011	31,4·107	0,3	3,2	Ст 30	2·1011	31,4·107	0,3	6,3
	0,160		0,2	0,12		Ст 35	2·1011	33,3·107	0,3	3,2	Ст 35	2·1011	33,4·107	0,3	6,3
	0,180		0,22	0,15		Ст 40	2·1011	18·107	0,3	6,3	Ст 40	2·1011	36,4·107	0,3
	0,250	0,21	0,29	0,045		Ст 18	1·1011	36,3·107	0,25	6,3	Ст 45	2·1011	26,4·107	0,3	6,3
	0,320	0,26	0,38	0,06		Ст 45	2·1011	36,3·107	0,3	6,3	Сч 18	1·1011	18·107	0,25	6,3
	0,360	0,3	0,42	0,07		Ст 45	2·1011	27,4·107	0,3	6,3	Сч 18	1·1011	18·107	0,25	6,3
	0,320	0,26	0,38	0,067		Ст 45	2·1011	36,3·107	0,3	6,3	Сч 18	1·1011	18·107	0,25	6,3
	0,350	0,28	0,41	0,075		Ст 45	2·1011	36,4·107	0,3	6,3	Сч 18	1·1011	8·107	0,25	6,3
	0,300	0,25	0,35	0,06		Ст 45	2·1011	35,4·107	0,3	6,3	Сч 18	1·1011	18·107	0,25	6,3
	0,360	0,3	0,42	0,055		Ст 45	2·1011	36,4·107	0,3	6,3	Сч 18	1·1011	18·107	0,25	6,3
	0,350	0,28	0,41	0,45		Ст 45	2·1011	36,5·107	0,3	6,3	Сч 18	1·1011	18·107	0,25	6,3
	0,280	0,22	0,33	0,082		Ст 45	2·1011	36,3·107	0,3	6,3	Сч 18	1·1011	18·107	0,25	6,3
	0,300	0,25	0,35	0,045		Ст 45	2·1011	36,2·107	0,3	6,3	Сч 18	1·1011	18·107	0,25	6,3

Исходные данные к задаче 3

Номер наблюдения	Номер варианта
Показания измерительного средства, мкм
	-0,15	+0,01	-0,12	+0,05	-0,20	+0,18	+0,32	-0.06	-0,15	+0,20	-0,25	-0,30	-0,20	-0,08	+0.12	+0,05	-0,03	+0,08	+0,18	+0,15	+0,05	+0,15	+0,05	-0,30	-0,03	-0,25	-0,18	+0,07	-0,08
	-0,18	+0,15	-0,18	+0,25	-0,25	+0,01	+0,40	-0.18	-0,25	+0,25	-0,32	-0,25	-0,12	-0,02	+0.08	+0,18	-0,08	+0,05	+0,20	+0,09	+0,28	-0,45	-0,30	-0,30	-0,05	+0,05	+0,09	+0,18	-0,12
	-0,12	+0,25	-0,08	+0,27	-0,15	-0,10	+0,18	-0.25	-0,32	+0,18	-0,45	-0,08	-0,15	+0,15	+0.20	+0,16	-0,05	-0,02	+0,22	+0,07	+0,20	-0,28	-0,08	-0,25	-0,18	-0,06	+0,06	+0,20	-0,10
	-0,03	+0,18	+0,10	+0,12	-0,03	-0,25	+0,12	-0.05	-0,40	+0,03	-0,52	+0,05	-0,05	+0,18	+0.15	+0,25	-0,12	-0,06	+0,28	+0,10	+0,18	-0,35	-0,12	-0,27	-0,22	-0,12	+0,03	+0,20
	+0,01	+0,07	+0,20	+0,03	+0,05	-0,18	+0,01	-0.08	-0,28	+0,08	-0,38	+0,01	-0,17	+0,25	+0.22	+0,30	-0,18	-0,01	+0,20	+0,05	+0,14	-0,32	-0,18	+0,15	-0,12	-0,16	+0,18	+0,25	-0,08
	-0,05	-0,08	+0,25	-0,08	+0,15	-0,06	-0,15	+0.10	-0,35	-0,07	-0,36	-0,06	-0,20	+0,30	+0,25	+0,22	-0,15	+0,08	+0,25	+0,12	+0,20	-0,09	-0,15	+0,15	+0,1	+0,03	-0,02	+0,19	+0,06
	+0,02	-0,15	+0,15	-0,02	+0,22	-0,16	-0,03	+0.18	-0,17	-0,22	-0,20	-0,22	-0,25	+0,22	+0,20	+0,28	-0,22	+0,12	+0,33	+0,08	-0,02	+0,07	+0,25	+0,18	+0,20	+0,12		+0,33	+0,12
		+0,01	+0,01	-0,17	+0,01	-0,25	-0,20	+0.22	-0,05	-0,30	-0,11	-0,12	-0,05	+0,36	+0,18	+0,32	-0,20	+0,05	+0,38	+0,05	-0,03	+0,02	+0,28	+0,20	+0,06	+0,05	-0,04	+0,24	+0,18
	-0,02	+0,08	+0,03	-0,20	+0,17	-0,30	-0,12	+0,32	+0,08	-0,12	-0,17	-0,25	+0,02	+0,20	+0,03	+0,25	-0,12	+0,01	+0,24	+0,02	+0,08	+0,12	+0,30	+0,25	+0,18	+0,10	-0,06	+0,20	+0,22
	-0,08	+0,03	-0,10	-0,05	+0,02	-0,18	-0,02	+0,25	+0,018	-0,36	-0,08	-0,15	+0,05	+0,25	-0,05	+0,32	-0,02	-0,12	+0,20	-0,03	+0,15	+0,16	+0,20	+0,23	+0,25	-0,20	-0,07	+0,15	-0,20
	-0,12	-0,10	-0,27	+0,12	-0,06	-0,35		+0,42	+0,27	-0,42	+0,03	-0,16	+0,06	+0,16	-0,18	+0,36	+0,10	-0,21	+0,16	-0,08	+0,28	+0,20	-0,09	+0,31	+0,20	-0,25	-0,12	+0,10	-0,15
	-0,1	-0,15	-0,42	+0,25	-0,09	-0,42	+0,11	+0,48	+0,32	-0,55	+0,08	-0,03	+0,15	+0,02	-0,16	+0,18	+0,12	-0,22	+0,10	-0,02	+0,20	+0,24	+0,25	+0,27	+0,37	+0,40	+0,02	-0,02	-0,10
	-0,08	-0,25	-0,35	+0,28	-0,18	-0,30	+0,13	+0,55	+0,36	-0,40	+0,10	+0,12	+0,18	-0,12	-0,05	0,20	+0,02	-0,18	-0,02	-0,05	-0,40	+0,01	+0,35	+0,28	+0,40	+0,35	+0,22		-0,12
	-0,15	-0,20	-0,18	+0,35	-0,22	-,22	+0,08	+0,30	+0,42	-0,18	+0,22	+0,25	+0,25	-0,08	+0,03	+0,16	+0,08	-0,20		-0,12	-0,32	+0,02	+0,20	-0,08	+0,32	+0,30	+0,30	-0,05
	-0,03	-0,12	-0,05	+0,40	-0,40	-0,18	-0,05	+0,25	+0,38	-0,16	+0,18	+0,27	+0,28	-0,02	-0,08	+0,02	+0,06	-0,25	-0,05	-0,15	-0,30	+0,20	-0,07	-0,09	+0,30	-0,25	-0,01	-0,07	+0,20
	+0,5	-0,10	+0,08	0,32	-0,32	-0,05	-0,17	+0,18	+0,30	-0,05	+0,15	+0,15	+0,15		+0,05	+0,10	+0,12	-0,18	-0,07	-0,17	+0,20	-0,15	-0,10	+0,14	+0,27	+0,30	-0,06	-0,08	+0,25
	+0,08	-0,15	+0,25	+0,30	-0,18		-0,06	+0,02	+0,35	+0,12	+0,25	+0,05	+0,05	-0,10	-0,09	-0,02	+0,18	-0,15	-0,08	-0,15	+0,03	-0,08	-0,17	+0,18	+0,21	+0,35	+0,07	-0,12	+0,21
	+0,01	-0,02	+0,03	+0,42	-0,20	+0,03	+0,03	-0,10	+0,22	+0,05	+0,16	-0,08	-0,07	-0,18	-0,22	-0,05	+0,21	-0,08	-0,12	-0,21	-0,20	+0,20	+0,14	+0,19	+0,12	+0,40	+0,02	+0,05	+0,22
	-0,05	+0,05	-0,17	+0,50	-0,37	+0,15	+0,20	-0,12	+0,20	+0,27	+0,30	-0,15	+0,02	-0,27	-0,24	-0,02	+0,25	-0,10	-0,02	-0,18	-0,10	-0,06	+0,19	-0,04	+0,08	-0,35	-0,04	-0,01	-0,07
	-0,08	+0,15	-0,05	+0,28	-0,15	-0,02	+0,25	-0,18	+0,25	+0,08	+0,42	-0,27	-0,10	-0,30	-0,16	+0,05	+0,27	-0,12	+0,05	-0,20	+0,45	+0,02	+0,22	-0,06	+0,10	+0,28	-0,08	+0,02	-0,05
	-0,02	+0,01	-0,08	+0,25	+0,07	-0,25	+0,18	-0,05	+0,12	-0,02	+0,25	-0,35	-0,20	-0,35	-0,25	+0,15	+0,20	-0,05	-0,01	-0,16	+0,25	-0,22	-0,32	+0,12	-0,02	+0,25	-0,06	+0,07	+0,11
	+0,08	-0,08	+0,10	+0,22	+0,22	+0,32	+0,24	-0,01	+0,07	-0,16	+0,12	-0,32	-0,25	-0,32	-0,28	+0,08	+0,30	-0,02	-0,03	-0,15	+0,35	-0,16	-0,27	+0,13	-0,20	-0,03	-0,07	-0,02	+0,18
	+0,1	+0,03	+0,12	+0,17	+0,25	-0,28	+0,35	+0,07	+0,17	-0,22	+0,10	-0,42	-0,30	-0,40	-0,22	+0,10	+0,38	-0,08	+0,02	-0,20	-0,28	+0,40	-0,22	+0,20	-0,22	+0,02	+0,04	-0,05	+0,22
	+0,3	+0,08	+,20	+0,25	-0,35	-0,35	+0,40	+0,05	+0,25	-0,27	+0,22	-0,40	-0,32	-0,42	-0,32	+0,01	+0,32	-0,10	+0,07	-0,22	-0,30	+0,35	-0,35	-0,02	-0,15	+0,07	+0,10	-0,02	+0,25
	-0,1	+0,12	+0,27	+0,15	+0,30	-0,22	+0,27	+0,08	+0,30	-0,25	+0,16	-0,45	-0,28	-0,38	-0,35	-0,05	+0,40	-0,06	+0,02	-0,16	-0,25	+0,35	+0,40	+0,25	-0,20	+0,08	+0,14	-0,07	+0,27

ЛИТЕРАТУРА

 

Основная

1. Белкин И.М. Допуски и посадки / И.М. Белкин. М.: Машиностроение, 1992.

2. Болдин А.А. Основы взаимозаменяемости и стандартизации в машиностроении / А.А. Болдин. М.: Машиностроение, 1984.

3. Дунин-Барковский И.В. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения / И.В. Дунин-Барковский. М.: Изд-во стандартов, 1987.