5. Подгруппа ― подмножество 
группы 
, само являющееся группой относительно операции, определяющей .
Примеры:
Подмножество группы , состоящее из одного элемента 
, будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы .
Сама также является своей подгруппой.
Полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией 
.
Примеры:
· Положительные целые числа с операцией сложения.
· Любая группа является также и полугруппой.
· Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
· Множество всех отображений множества в себя с операцией суперпозиции отображений
· Множество всех бинарных отношений на множестве с операцией умножения бинарных отношений.
· Множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации (присоединения)
Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биекция f: S → T, такая что 
.
6. Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение).
Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие общей алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителя нуля (произведение ненулевых элементов не равно 0).
7. Свойства колец:
1. 
— коммутативность сложения;
2. 
— ассоциативность сложения;
3. 
— существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. 
— существование противоположного элемента относительно сложения;
5. 
— ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы[1])
6. 
— дистрибутивность.
8. Подкольцо кольца 
— это пара 
, где 
— кольцо, а 
— мономорфизм (вложение) колец.
9. По́ле в общей алгебре — множество F с двумя бинарными операциями 
(аддитивная операция, или сложение) и 
(мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образуеткоммутативное ассоциативное кольцо c единицей 
, все ненулевые элементы которого обратимы.
Примеры полей:
· 
— рациональные числа,
· 
— вещественные числа,
· 
— комплексные числа,
10. Свойства полей:
· Характеристика поля всегда 
или простое число.
· Поле характеристики содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел .
· Поле простой характеристики 
содержит подполе, изоморфное полю вычетов 
.
· Количество элементов в конечном поле всегда равно 
— степени простого числа.
· При этом для любого числа вида существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из элементов, обычно обозначаемое 
.
· Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.
· В поле нет делителей нуля.
11. Подполем поля 
называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в .
12. Булевой алгеброй [1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями 
(аналог конъюнкции), 
(аналог дизъюнкции), унарной операцией 
(аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:
| 
| ассоциативность |
| 
| коммутативность |
| 
| законы поглощения |
| 
| дистрибутивность |
| 
| дополнительность |
