Распределение Стьюдента с степенями свободы

,

где , , – независимые случайные величины, имеет плотность распределения

;

, , .

Пример 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найти , , , где , .

Решение. Так как случайная величина равномерно распределена на отрезке , то

Следовательно,

.

.

Аналогично найдем

.

,

.

Пример 5. Случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром . Найти , , , где, , .

Решение. По условию параметр экспоненциального распределения равен 4, следовательно,

.

Аналогично найдем

. Дважды интегрируя по частям, получим .

Пример 6. Плотность распределения случайной величины равна . Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Так как функция строго возрастающая при всех и имеет обратную, то плотность распределения случайной величины найдем по формуле

Для этого находим , Подставляем эти выражения в формулу, представляющую решение задачи в общем виде. То есть плотность распределения случайной величины будет равна

.

Пример 7. Плотность распределения случайной величины

равна . Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. 1 способ. Решение задачи располагаем в виде двух столбцов: слева будем писать обозначения функций, принятые в общем случае; справа – конкретные функции, соответствующие данному примеру. Учитывая, что, несмотря на разрывный характер функции обратная функция однозначна, и решая задачу по правилам для монотонной функции, получаем:

2 способ.

.

Пример 8. Случайная величина распределена равномерно на интервале [0,2].

Функция задана графически

Рис. 3

Найти плотность распределения вероятности случайной величины .

Решение. В данном случае функцию аналитически можно задать следующим образом: или

Плотность распределения случайной величины имеет вид

Для нахождения воспользуемся формулой . Тогда

= = .

= ,

где – функция Хэвисайда.

Итак, .

Пример 9. Случайная точка распределена равномерно внутри круга радиуса Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение. Плотность распределения вероятности

= =

.

В приложенияхчасто используется следующая теорема.

Теорема. Пусть независимые случайные величины, Тогда .

Замечание. Здесь и в дальнейшем запись означает, что непрерывная случайная величина имеет плотность распределения вероятности .

Замечание. Операция называется сверткой функции f₁ и f₂.

Пример 10. Независимые случайные величины имеют показательные распределения с параметрами и . Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. По условию задачи случайные величины имеют плотности распределения

и

Так как случайные величины независимы, то их совместная плотность распределения

Случайная величина может принимать только положительные значения, следовательно

.