Федеральное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
_________________________________________
Кафедра “Высшая математика”
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Рабочая программа и контрольные задания
Для студентов - заочников
Часть 4
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
Студенты всех специальностей, кроме ЛТ, АТС, ЭТ, В, выполняют контрольные работы N 9 и N 10.
Контрольная работа N 9 (теория вероятностей), состоит из 9 задач:
Д0701-Д0710, Д0711-Д0720, Д0721-Д0730,
701-710, 711-720,721-730, 731-740(a), 741-750,751-760.
Контрольная работа N 10 (теория вероятностей и математическая статистика), состоит из 6 задач:
Д0731-Д0740, Д0741-Д0750,
761-770, 771-780, 781-790, 801-810(а, б, в, г).
Студенты специальностей ЛТ, АТС, ЭТ, В, выполняют контрольную работу N 9 и курсовую работу по высшей математике, состоящую из 6 задач:
Д0731-Д0740, Д0741-Д0750,
761-770, 771-780, 781-790, 801-810(а, б, в, г).
Защита контрольных работ выполняется по задачам с
литерой Д и по вопросам для самопроверки.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Теория вероятностей
1. Предмет теории вероятностей. Испытания и события. Классификация событий. Операции над событиями Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
2. Понятие случайного события. Относительная частота событий и ее свойства. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности.
3. Классическое и геометрическое определение вероятности. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей.
4. Условная вероятность. Независимые события. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Теорема Пуассона.
6. Дискретные случайные величины. Законы распределения. Примеры. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Биноминальный закон распределения. Закон Пуассона.
7. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Примеры. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины, их свойства. Начальные и центральные моменты распределения случайной величины. Равномерное и показательное распределения и их свойства.
8. Нормальный закон распределения. Вероятностный смысл параметров нормального распределения. Вероятность попадания нормально распределенной величины в заданный интервал. Правило трех сигм.
9. Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева. Закон больших чисел для схемы Бернулли. Центральная предельная теорема Ляпунова. Условие Ляпунова. Интегральная теорема Лапласа - частный случай центральной предельной теоремы.
Основные понятия математической статистики
1. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения, выборочные средняя и дисперсия.
2. Статистическая оценка параметров распределения. Точечные оценки параметров генеральной совокупности. Принцип выбора точечных оценок (состоятельность, несмещённость, эффективность). Точечная оценка математического ожидания. Точечная оценка дисперсии.
3. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Доверительный интервал для математического ожидания. Определение необходимого объема выборки.
3. Статистическая проверка гипотез. Понятие о критериях согласия. Критерий согласия Пирсона.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики / СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. - 254 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшее образование, Юрайт, 2010.-479 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статике. - М.: Высшее образование, Юрайт, 2009.-416 c.
4. Письменный Д.Г. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. М.: Высшее образование, Айрис-пресс, 2010.-288 с.
5. Теория вероятностей: учеб. пособие. Ч. 1: Случайные события и вероятность/ З. С. Галанова, И. М. Соловьева, И. И. Павлова. - СПб.: ПГУПС, 2006. - 36с.
6. Теория вероятностей: учеб. пособие. Ч. 1 / В. А. Ходаковский, Л. А. Кухаренко, Л. П. Пирозерская. - СПб.: ПГУПС, 2009. - 31 с.
7. Теория вероятностей: учеб. пособие для втузов. Ч. 2: Случайные величины /З. С. Галанова, И. М. Соловьева, И. И. Павлова. - СПб.: ПГУПС, 2008. - 40 с.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте классическое определение вероятности. В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?
2. Дайте определение условной вероятности. Какие события называются независимыми?
3. Дайте определение произведения событий. Сформулируйте теоремы умножения для зависимых и независимых событий.
4. Какие события называются несовместными? Сформулируйте теоремы сложения для совместных и несовместных событий.
5. Напишите формулу Бернулли. Когда эта формула применяется?
6. Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.
7. Дайте определение функции распределения и плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
8. Напишите формулы для математического ожидания и дисперсии случайной величины.
9. Нарисуйте график плотности вероятности нормально распределенной случайной величины. Как меняется график при изменении параметров а и s?
10. Как построить гистограмму?
11. Какая разница между точечной и интервальной оценками параметра?
З А Д А Ч И ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Д0701. В коробке 5 синих и 3 красных карандаша. Вынимаем случайным образом один карандаш. Какова вероятность того, что он:
а) синий; б) красный; в) зеленый; г) синий или красный?
Д0702. В урне 10 белых и 4 черных шара. Наугад вынимаем один шар. Какова вероятность того, что он:
а) белый; б) чёрный; в) красный; г) черный или белый?
Д0703. Брошена игральную кость. Какова вероятность того, что выпало:
а) 5 очков; б) 17 очков; в) четное число очков; г) больше 2-х очков?
Д0704. Проэкзаменовано20 человек: 4 студента получили «5», 8 студентов получили «4», 6 студентов получили «3». По списку выбирают одного студента. Какова вероятность того, что он получил:
а) «5»; б) «4»; в) «5» или «4»; г) «2»?
Д0705. В колоде 52 карты. Наудачу вытягивают одну карту. Какова вероятность того, что она:
а) туз; б) красной масти; в) бубновой масти?
Д0706. Из коробки, в которой лежат только карточки с буквами «к», «а», «р», «н», «т», «о», не глядя, вынимают по одной карточке и кладут вверх буквами друг за другом. Какова вероятность того, что получится слово «картон»?
Д0707. В урне 3 белых и 4 черных шара. Вынимают один шар, возвращают в урну, перемешивают, опять вынимают. Какова вероятность того, что были извлечены:
а) оба раза черные шары; б) один раз – белый, второй – черный?
Д0708. В колоде 52 карты. Наудачу вытягивают одну карту. Какова вероятность того, что эта карта:
а) дама; б) не туз; в) не черной масти?
Д0709. На блюде одинаковые с виду пироги: 6 с вареньем и 5 с капустой. Берут один пирог. Какова вероятность того, что он:
а) с вареньем; б) с капустой; в) с рыбой; г) с вареньем или капустой?
Д0710. В группе из 17 человек пятеро родились в июле, один в апреле и трое в сентябре. Назначают по списку старосту. Какова вероятность того, что староста:
а) родился в июле; б) родился в сентябре; в) родился не в апреле?
Д0711-Д0720. Спортсмен стреляет в мишень n раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна р. Какова вероятность того, что спортсмен поразит мишень ровно m раз?
| Задачи | Д0711 | Д0712 | Д0713 | Д0714 | Д0715 |
| n | |||||
| p | 0,9 | 0,8 | 0,5 | 0,7 | 0,6 |
| m |
| Задачи | Д0716 | Д0717 | Д0718 | Д0719 | Д0720 |
| n | |||||
| p | 0,8 | 0,6 | 0,3 | 0,9 | 0,5 |
| m |
Д0721-Д0730. В урне m белых шаров и n черных. Случайным образом вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что шары:
а) оба белые; б) оба черные; в) один белый, а второй – черный?
| Задачи | Д0721 | Д0722 | Д0723 | Д0724 | Д0725 |
| m | |||||
| n |
| Задачи | Д0726 | Д0727 | Д0728 | Д0729 | Д0730 |
| m | |||||
| n |
Д0731-Д0740. Дискретная случайная величина задана таблицей. Найти неизвестную вероятность 
, математическое ожидание M(X), и вероятность попадания случайной величины в интервал 
.
Д0731. 
| Д0732. 
| ||||||||||
| -1 |
| -2 | -1 | |||||||
| 0,1 | 0,2 | 
| 0,1 | 0,1 |
| 
| 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,1 |
Д0733. 
| Д0734. 
| ||||||||||
|
| -3 | -1 |
| -20 | 0,5 | ||||||
|
| 0,1 | 0,3 | 0,1 | 
| 0,1 |
| 0,1 | 0,1 | 
| 0,2 | 0,1 |
Д0735. 
| Д0736. 
| ||||||||||
|
| -12 |
| -5 | ||||||||
|
| 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 
|
| 
| 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,2 |
Д0737. 
| Д0738. 
| ||||||||||
|
| -1 | -0,5 |
| -2 | -1 | ||||||
|
| 0,1 | 
| 0,2 | 0,1 | 0,1 |
| 
| 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
Д0739. 
| Д0740. 
| ||||||||||
|
| -5 | -1 |
| -8 | -2 | ||||||
|
| 0,2 |
| 0,1 | 0,1 | 0,1 |
| 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,1 |
|
Д0741-Д750 Дана функция распределения F(x) случайной величины X. Найти плотность распределения вероятности 
, математическое ожидание M(X) и вероятность попадания случайной величины в интервал 
.
Д0741. 
Д0742. 
Д0743 
Д0744 
Д0745 
Д0746 
Д0747 
Д0748 
Д0749 
Д0750 
701-710. Студент идет сдавать экзамен, зная m вопросов из n. Какая вероятность у студента сдать экзамен, если для этого достаточно:
а) ответить на k вопросов из s;
б) ответить на все s вопросов;
в) ответить не менее чем на один вопрос?
| Задачи | ||||||||||
| n | ||||||||||
| m | ||||||||||
| s | ||||||||||
| k |
711-720. Производительность первого конвейера в k раз больше, чем второго. Первый конвейер допускает p% брака, второй q%, брака. Детали с обоих конвейеров поступают на склад.
а) Какова вероятность того, что случайно взятая со склада деталь будет стандартна?
б) Какова вероятность того, что случайно взятая со склада деталь будет не стандартна?
в) Случайно выбранная на складе деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что деталь изготовлена на первом конвейере, на втором конвейере?
| Задачи | ||||||||||
| k | 2.5 | 3.5 | 2.5 | 3.5 | ||||||
| p | 10% | 5% | 15% | 10% | 5% | 15% | 10% | 5% | 15% | 10% |
| q | 10% | 10% | 15% | 15% | 5% | 15% | 5% | 10% | 5% | 5% |
721-730. В первом ящике находится N деталей, из них M -стандартны. Во втором ящике n деталей, из которых m стандартны. Без проверки на стандартность перекладывается из первого ящика во второй k деталей. Какова вероятность того, что случайно взятая из второго ящика деталь будет:
а) стандартна; б) не стандартна?
| Задачи | ||||||||||
| N | ||||||||||
| M | ||||||||||
| n | ||||||||||
| m | ||||||||||
| k |
731-740. На клумбу посеяно n семян цветов одного сорта со всхожестью P. Полагая, что 
- количество взошедших семян, найти вероятности событий: =m; <m; ³m; m1£ £m2; m1< <m2; ³1; <n.
а)
| Задачи | ||||||||||
| P | 50% | 60% | 70% | 80% | 90% | 50% | 60% | 70% | 80% | 90% |
| n | ||||||||||
| m | ||||||||||
| m1 | ||||||||||
| m2 |
б)
| Задачи | ||||||||||
| P | 50% | 60% | 70% | 80% | 90% | 50% | 60% | 70% | 80% | 90% |
| n | ||||||||||
| m | ||||||||||
| m1 | ||||||||||
| m2 |
741-750. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения х1 и х2, причем х1 < х2. Известны вероятность P1 возможного значения х1, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х). Найти закон распределения случайной величины Х.
| Задачи | ||||||||||
| P1 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 0.3 | 0.5 | 0.7 | 0.9 | 0.4 | 0.8 |
| M(X) | 1.8 | 2.2 | 2.2 | 1.8 | 4.5 | 4.0 | 3.1 | 1.8 | 2.6 | 2.4 |
| D(X) | 0.16 | 0.96 | 2.16 | 2.56 | 5.25 | 9.00 | 10.29 | 5.76 | 0.24 | 0.64 |
751-760. Дискретная случайная величина задана таблицей. Найти неизвестное значение xi, неизвестную вероятность Pi, дисперсию D(X), среднеквадратичное отклонение sx и вероятность событий Х < M(Х) и
Х ³ M(x).
751. M(X)= 0.9 752. M(X) =0.6
| xi | x1 | 0.6 | 1.2 | 1.8 | 2.4 | xi | 0.4 | 0.8 | 1.2 | x5 | ||
| Pi | P1 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 | Pi | 0.2 | 0.4 | 0.2 | P4 | 0.1 |
753. M(X) =0.3 754. M(X) =0.45
| xi | 0.2 | 0.4 | x4 | 0.8 | xi | 0.3 | x3 | 0.9 | 1.2 | |||
| Pi | 0.2 | 0.4 | P3 | 0.1 | 0.1 | Pi | 0.2 | P2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
755. M(X) =0.75 756. M(X)= 0.25
| xi | 0.5 | x3 | 1.5 | 2.0 | xi | 0.1 | 0.2 | x3 | 0.4 | 0.5 | ||
| Pi | 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | P5 | Pi | P1 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
757. M(X) =0.75 758. M(X) =1
| xi | 0.3 | 0.6 | 0.9 | x4 | 1.5 | xi | x1 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 2.0 | |
| Pi | P1 | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.1 | Pi | 0.2 | P2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
759. M(X) =1.25 760. M(X) =0.5
| xi | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | x5 | xi | 0.2 | x2 | 0.6 | 0.8 | 1.0 | |
| Pi | 0.2 | 0.4 | P3 | 0.1 | 0.1 | Pi | 0.2 | 0.4 | 0.2 | P4 | 0.1 |
761-770. Дана функция распределения F(x) случайной величины Х. Найти плотность распределения вероятности f(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднеквадратичное отклонение sx, построить графики функций F(x) и f(x), найти вероятность попадания случайной величины в интервал х1£ X £ x2.
771-780. Дана функция распределения f(x) случайной величины Х. Найти параметр A, функцию распределения F(x), построить графики функций F(x) и f(x), вычислить математическое ожидание М(X), дисперсию D(X), среднеквадратичное отклонение sx, вероятности событий X<x0, X>x0, x1£X£x2.
781-790. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а и s. Найти вероятности событий Х<А; X>B; А£X£B; | X-a | <ts. Найти интервал [ а-d, а+d ], в который случайная величина попадает с вероятностью Р.
| Задачи | ||||||||||
| а | ||||||||||
| s | ||||||||||
| А | ||||||||||
| В | ||||||||||
| t | 1.5 | 0.5 | 1.0 | 2.0 | 1.5 | 2.0 | 1.0 | 0.5 | 1.5 | 1.0 |
| Р | 0.9 | 0.8 | 0.95 | 0.9 | 0.8 | 0.85 | 0.95 | 0.9 | 0.8 | 0.8 |
791-800. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0.95, зная выборочную среднюю 
, объем выборки n и среднеквадратичное отклонение s.
| Задачи | ||||||||||
|
| 75.08 | 75.17 | 75.10 | 75.15 | 75.12 | 75.13 | 75.14 | 75.11 | 75.16 | 75.09 |
| n | ||||||||||
| s |
801-810. В таблице приведены данные о пробеге колесных пар до ремонта (в сутках).
а) Упорядочить выборку в порядке возрастания (построить вариационный ряд).
б) Построить группированную выборку, выбрав число интервалов от 7 до 10.
в) Построить гистограммы абсолютных и относительных частот.
г) Найти оценки для математического ожидания а и дисперсии s2 по группированной выборке.
д) Найти оценки асимметрии А и эксцесса Е.
е) Для доверительной вероятности Р =0.95 построить доверительный интервал для математического ожидания.
ж) Проверить соответствие выборки нормальному закону распределения с помощью критерия c2 .
Пробег колесных пар до ремонта (в сутках)
Таблица 1
СОСТАВИЛИ: профессор Гарбарук В. В.,
доцент Канунников В. Н.,
доцент Костроминов А. А.,
ст. преп. Луценко Ю. Г.
