5. Даны векторы a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3), c(c1; c2; c3) и d(d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
a (2;4;-6), b (1;3;5), c (0;-3;7), d (2;3;52).
Векторы a, b, c образуют базис в пространстве в том случае, если равенство aa + bb + gc = 0 выполняется лишь тогда, когда a = b = g= 0.
Рассмотрим это условие:
a(2;4;-6) + b(1;3;5) + g(0;-3;7)= (0;0;0) или
Рассмотрим матрицу данной системы и приведем ее к треугольному виду:
Умножим первую строку на -2 и сложим со второй, умножим первую строку на 3 и сложим с третьей; 
умножим вторую строку на -8 и сложим с третьей 
Так как число ненулевых строк в треугольной матрице равно числу переменных, то система имеет единственное решение, а именно a = b = g= 0. Значит, векторы a, b, c образуют базис. Вектор d в базисе a, b, c имеет вид:
a1a + b1b + g1c = d.
В расширенном виде:
Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (см. предыдущие действия):
Получим систему: 
Значит, вектор d в базисе a, b, c имеет координаты d(
; 
; 
).
15. Даны координаты вершины пирамиды А1А2А3А4.Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А2А3;
5) объём пирамиды;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;
Сделать чертёж.
А1(9;5;5), А2(-3;7;1),А3(5;7;8), А4(6;9;2)
1) Длина ребра А1А2 равна расстоянию между этими точками, которое находится по формуле: А 
2) Угол между рёбрами А1А2 и А1А4 равен углу между векторами А1А2 и А1А4. Найдём координаты этих векторов.
А1А2 =(-3-9;7-5;1-5)=(-12;2;-4)
А1А4= =(6-9;9-5;2-5)=(-3;4;-3)
Тогда, если φ угол между векторами А1А2 и А1А4, то
Тогда 
3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 найдём следующим образом: для начала узнаем уравнение грани А1А2А3, затем выпишем нормальный вектор этой грани, найдём угол между нормалью к грани А1А2А3 и вектором А1А4. Тогда искомый угол между гранью А1А2А3 и вектором А1А4 есть разность 900 и полученного последнего угла.
Уравнение плоскости А1А2А3 получим как уравнение плоскости, проходящей через три точки, а именно
или 
Значит, нормальный вектор будет иметь координаты N=(7;26;-8). Найдём угол между нормалью к грани А1А2А3 и вектором А1А4.
Тогда 
Значит, угол между гранью А1А2А3 и вектором А1А4 равен 40,770.
4) Найдём координаты векторов А1А2 и А1А3.
А1А2 =(-3-9;7-5;1-5)=(-12;2;-4)
А1А3= =(5-9;7-5;8-5)=(-4;2;3)
Тогда площадь грани А1А2А3 будет равна
ед2
5) Объём треугольной пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на рёбрах А1А2, А1А3, А1А4. Тогда
(ед3)
6) Уравнение прямой А1А2 имеет вид: 
, где (x0;y0;z0) – координаты точки, через которую проходит прямая, а (l;m;n) – координаты направляющего вектора. За координаты (x0;y0;z0) можно выбрать координаты точки А1, а за направляющий вектор взять вектор А1А2. Тогда получим:
– уравнение прямой А1А2 в симметричном виде.
7) Уравнение плоскости А1А2А3 было найдено в пункте 3), а именно
– уравнение плоскости в нормальном виде.
8) Высота, опущенная из вершины А4 на грань А1А2А3 имеет своим направляющим вектором нормальный вектор плоскости А1А2А3, а значит
- уравнение высоты в симметричном виде.
Сделаем чертёж.
25. Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку А(0;3).
Пусть M(x;y) – произвольная точка искомой кривой. Тогда каждая ее точка удовлетворяем условиям:
– проходит через точку А(0,3);
– радиус окружности. Тогда
Это парабола с вершиной в точке (0;3/2).
35. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
1) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [умножаем первую строчку на -4 и складываем со второй, умножаем первую на -2 и складываем с третьей ] = 
= [умножаем третью строку на -7 и складываем со второй] = 
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:
Тогда получим решение:
x 3 = 13; x 2 =8; x 1 =3.
2) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = 
, X = 
, B = 
.
Тогда X = A-1B.
Вычислим обратную матрицу 
.
Тогда A-1 = 
Получим X = A-1B = = 
= 
.
45. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений
Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [поменяем местами первую и третью строчки] = 
= [умножаем первую строчку на -3 и складываем со второй, умножаем первую на -7 и складываем с третьей] = 
= [умножаем вторую строку на -51, третью на 23 и складываем их] = 
.
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:
Пусть х3=t, тогда получим решение:
х 4= 
, x 3 = t; x 2 = 
; x 1 = 
.
55. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матриц.
Характеристическое уравнение имеет вид:
1=-2, 
2=1, 3=8 – собственные значения линейного преобразования.
Для 1=-2 найдём собственный вектор.
, где t – любое число.
Собственный вектор для 1=-2 имеет вид (-5t;-t;t).
Для 2=1 найдём собственный вектор.
, где s – любое число.
Собственный вектор для 2=1 имеет вид (0;s;0).
Для 3=8 найдём собственный вектор.
, где r – любое число.
Собственный вектор для 3=8 имеет вид (
; 
; r).
65. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм
Запишем данное уравнение в виде: 
Найдём матрицу Т ортогонального оператора, приводящего данную квадратичную форму 
к каноническому виду.
Запишем характеристическую матрицу:
Её корнями являются значения 1=1, 2=10.
Для 1=1 найдём собственный вектор.
, где t – любое число.
Собственный вектор-столбец для 1=1 имеет вид 
. Тогда 
есть нормированный собственный вектор-столбец.
Для 2=10 найдём собственный вектор.
, где s – любое число.
Собственный вектор-столбец для 2=10 имеет вид 
. Тогда 
есть нормированный собственный вектор-столбец.
Ортогональный оператор, приводящий квадратичную форму к каноническому виду, имеет матрицу 
.
Базисными векторами новой системы координат 
являются:
В системе координат уравнение данной фигуры примет вид:
Это эллипс, центр которого находится в точке (0,0) относительно системы координат , а оси симметрии параллельны координатным осям этой системы.
Введение в анализ
75. Построить график функции 
преобразованием графика функции y=sinx.
Записав данную функцию в виде 
замечаем, что у неё А= 
, 
.
1. Строим одну волну синусоиды и отмечаем на ней несколько точек.
2. Уменьшаяя в 3/4 раза ординаты выбранных точек графика функции и оставляя неизменными абсциссы y=sinx, затем стоим симметрично относительно оси абсцисс график функции y= sinx.
3. Увеличивая в 2 раза абсциссы точек графика функции y= sinx и сохраняя неизменными ординаты, строим график функции 
.
4. Перенося точки графика функции в направлении оси абсцисс на 2 единицы масштаба этой оси влево, строим искомый график функции .
|
|
|
|
85. Линия задана уравнением 
в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от φ=0 до φ=2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с плюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью и по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
1)
| φ | r |
| 5,00 | |
| π/8 | 4,07 |
| π/4 | 2,66 |
| 3π/8 | 1,75 |
| π/2 | 1,25 |
| 5π/8 | 0,97 |
| 3π/4 | 0,82 |
| 7π/8 | 0,74 |
| π | 0,71 |
| 9π/8 | 0,74 |
| 5π/4 | 0,82 |
| 11π/8 | 0,97 |
| 3π/2 | 1,25 |
| 13π/8 | 1,75 |
| 7π/4 | 2,66 |
| 15π/8 | 4,07 |
| 2π | 5,00 |
2) Найдем уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат
Подставим это значение в уравнение линии:
Это уравнение данной линии в декартовой системе координат.
Эта линия является эллипсом.
95. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) 
б)
в)
г)
105. Дана функция 
и два значения аргумента х1=8, х2=6. Требуется: установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж..
Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;6),(6;+∞).
Исследуем поведение функции в точках х1=8, х2=6. Найдём односторонние пределы.
При х=8 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. При х=6 функция имеет бесконечные пределы, значит, в этой точке функция разрывна.
115. Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;0], (0,2),[2;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Исследуем поведение функции. В точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х=0 и х=2. Найдём односторонние пределы.
При х=0 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. Т.к. односторонние пределы при х=2 различны, то функция терпит в точке разрыв. А т.к. односторонние пределы конечны, то х=2 – точка разрыва первого рода. Функция имеет скачок в этой точке равный 1-0=1.
График этой функции:
