Оператор поліноміальної інтерлінації функції на взаємно перпендикулярних лініях.

Інтерлінація функцій двох змінних (мішана інтерполяція).

 

Нехай задана функція двох змінних і система ліній

Слідом функції на лінії називається функція однієї змінної або , яка в кожній точці цієї лінії приймає такі ж значення, як і функція .

 

 

 

 

Функцією описуються дно океану.

Означення. Томограмою на площині будемо називати одну з трьох функцій

,

 

де - вирази, що отримуються розв’язанням рівняння відносно змінної .

Рис. 1. Графічна ілюстрація поняття томограми

 

 

Інтерлінацією функції (від англ. inter –між, line- лінія) на системі ліній називається відновлення її за допомогою слідів , .

 

 

Оператор інтерлінації функції на двох прямих.

Оператор

 

має такі інтерлінаційні властивості властивості:

 

 

При цьому справедлива тотожність ,

– інтегральній вигляд похибки наближення.

Приклад 1. Побудувати оператор інтерлінації функції двох змінних при заданих слідах цієї функції на двох прямих .

 

Розв’язання. Експериментальними даними є

.

Звідси витікає, що .

 

Оператор інтерлінації на двох лініях має вигляд

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.

 

Оператор інтерлінації функції на трьох прямих.

 

Оператор

має такі властивості:

При цьому, якщо , то для залишку справедлива рівність

Така формула інтерлінації може знайти застосування, наприклад, якщо треба задовольнити неоднорідні граничні умови у нестаціонарній задачі теплопровідності.

 

Приклад 2. Побудувати оператори інтерлінації функції двох змінних при заданих слідах цієї функції на трьох прямих .

Розв’язання. Експериментальними даними є

.

Звідси витікає, що .

Оператор інтерлінації функції двох змінних на трьох прямих має вигляд

.

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.

 

 

Оператор інтерлінації функції на чотирьох прямих.

Оператор

має властивості

 

При цьому для залишку справедлива рівність

Тобто оператор точно відновлює всі функції, які задовольняють умову

Якщо , то

,

Приклад 3. Побудувати оператори інтерлінації функції двох змінних при заданих слідах цієї функції на чотирьох прямих ;

 

Розв’язання. Експериментальними даними є

, ,

.

Звідси витікає, що

,

Оператор інтерлінації на чотирьох прямих має вигляд:

 

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.

Оператор поліноміальної інтерлінації функції на взаємно перпендикулярних лініях.

 

Оператор

має такі властивості .

є оператором поліноміальної інтерлінації функції двох змінних за змінною .

Оператор

має такі властивості

є оператором поліноміальної інтерлінації функції двох змінних за змінною .

Оператор

є оператором поліноміальної інтерполяції Лагранжа.

Оператор

є оператором поліноміальної інтерлінації на системі взаємно перпендикулярних прямих.