Iнтерполяцiйнi сплайни двох змiнних

Поняття багатовимiрної iнтерполяцiї

Двовимiрнi таблицi широко розповсюдженi в технiцi та фiзицi. Тривимiрнi таблицi складають i використовують значно рiдше, бо такi таблицi дуже громiздкi. Тому для простоти обмежимося двовимiрними таблицями.

Двовимірна інтерполяція означає побудову функції, що проходить через точки, задані в просторі. Таким чином, замість залежності , яку ми інтерполювали, наприклад, поліномом Лагранжа , слід будувати інтерполяцію за даними , тобто знайти функцію двох змінних.

Нехай фузли інтерполяції розташовані в точках

.

В цих точках відомі значення функції . Потрібно побудувати поліном по цим значенням.

Така задача виникає, наприклад, при відновленні рельєфу дна моря за допомогою промірів глубин ехолотом

Основні поняття

– Точки називаються вузлами інтерполяції, а їх сукупність – інтерполяційною сіткою.

– Трійки називаються точками даних або базовими точками

 

Задача інтерполяції складається у пошуку такої функції , що виконуються інтерполяційні властивості, а саме

.

максимально наближує функцію в довільній точці всередині інтерполяційній сітці.

– Функцію називають інтерполюючою функцією або інтерполянтом

 

 

Приклад самої простої інтерполяції – кусково-постійна інтерполяція

 

 

2. Інтерполяційна формула Лагранжа

Нехай функція двох змінних задана таблицею значень

Таблиця 1

де

 

 

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа для наближення функцiї двох змiнних має наступний вигляд:

(1)

Випишемо частинний випадок при , тобто коли задана наступна таблиця значень

формула (1) прийме вигляд:

(2)

Приклад 1. Побудувати інтерполюючу функцію (табл. 2) за допомогою полінома Лагранжа за даними

Таблиця 2

0,1	0,5	0,1	0,3
		0,01	0,25
	0,2	0,05	0,29
	0,4	0,17	0,41

 

Розв'язування.

Iнтерполяцiйна формула Лагранжа для функцій двох змінних має вигляд

Порiвняємо знайдене наближене значення з точним, знаючи, що таблицею 2 задана функцiя . Точне значення дорiвнює

Отже, абсолютна похибка наближення дорiвнює

Таким чином, знайдено наближене значення функціїї з похибкою .

 

Iнтерполяцiйнi сплайни двох змiнних

 

Як правило, полiноми вищих степенiв для iнтерполяцiї функцiй двох змiнних використовуються рiдко. Краще скористатися iнтерполяцiйними сплайнами двох змiнних.

 

Нехай маємо функцiю , задану таблицею 1.

Iнтерполяцiйним бiлiнiйним сплайном називається функцiя , яка є лiнiйною вiдносно i вiдносно в кожному прямокутнику i задовольняє умови

 

Iнтерполяцiйний бiлiнiйний сплайн має такий вигляд:

(3)

де

 

Приклад 2. Побудувати інтерполюючу функцію (табл. 2) за допомогою сплайнув першого степеня за даними

Таблиця 2

0,1	0,5	0,1	0,3
		0,01	0,25
	0,2	0,05	0,29
	0,4	0,17	0,41

 

Розв’язування.

Iнтерполяцiйний бiлiнiйний сплайн має такий вигляд:

.

Для того, щоб обчислити , треба визначити iнтервали, в якi потрапили i

Тоді

 

 

Порiвняємо знайдене наближене значення з точним. Абсолютна похибка наближення дорiвнює

Таким чином, знайдено наближене значення функціїї

з похибкою