Простейшие одномерные модели вытеснения

Рассматривая здесь только задачи вытеснения нефти водой из чисто нефтяного пласта, мы с единых позиций подходим к двум основным одномерным моделям вытеснения: модели слоистого пласта (МСП) и модели Баклея-Леверетта (МБЛ). Частично сравнение этих моделей рассматривалось многими авторами, однако ясности в этом вопросе нет до сих пор. Ниже мы покажем, что в случае дебитного описания (говорим «как q-модель») МСП являете более общей, чем МБЛ, тогда как с учетом давления («как р-модель») МБЛ более реально может описывать вытеснение.

------------------------------------------------

1. Основанная на идее использования законов Дарси при поршневом вытеснении в каждом слое пласта с функцией распределения F(K) слоев по проницаемости, К = k / k_max, (k - абсолютная проницаемость, k_max - её максимальное значение), МСП приводит в конечном итоге к определению динамики добычи нефти в терминах безразмерной зависимости

Q_н(t)/Q_o= T(Q(t)/Q_o) (1)

(мы назовем ее T-зависимостью). Здесь Qн(t), Q(t) - количества добытых нефти и жидкости, Q₀ — извлекаемые запасы, а функция y = Т(x) = x при x ≤ δ

и параметрически задаётся соотношениями:

у = Г_н(ϰ), x = Г(ϰ), ϰ [0,1],

при х ≥ δ, где

(ϰ) δ=Γ_н(1)

(ϰ) = (ϰ)

Отметим, что при известном перепаде давления Δp (t) динамика добычи нефти и жидкости описывается формулами:

Q_н ­(t) = Q_o ·Г_н (ϰ (t), Q(t) = Q _oГ(ϰ(t)),

ϰ(t)= , Q_o(t) , (2)

где µ_b— вязкость воды, A- площадь поперечного сечения пласта, L - его длина, k_В/k = const.

2. Как легко видеть, функция у = Т(x) однозначно определяется по заданным µ и F(K) и не зависит от режима вытеснения. Более того, сама функция F(K) может быть найдена по известным Т(x) и µ, причем одной и той же Т(x) могут соответствовать различные пары (µ,F(K)). Выбор F(K) в том или ином одно- или многопараметри­ческом семействе функций, что обычно и практикуется при исполь­зовании МСП, эквивалентен выбору Т(x) в соответствующем се­мействе функций, также в одно- или многопараметрическом.

Особо выделим случай µ= 1, когда Т(x) записывается в явном виде через функцию

Кроме того, положение x(t,K) фронта ВНК в слое с проницаемостью К определяется в этом случае по формуле:

(3)

3. Хорошо известно, что выходные характеристики МБЛ выражаются также в терминах зависимости (1), и теперь функция Т(x) связана с основным параметром q-модели, функцией Баклея-Леверетта, либо параметрически по формулам:

f(σ)= 1 - Т'(х), σ = Т(х) - хТ'(х),

x Î[δ,∞), δ= 1/f’(0)

либо явно:

где σ =ψ(λ) — функция, обратная к λ = f'(σ). При этом T(x) ≡ х, если x ≤ δ.

Если расслоить теперь однородный пласт МБЛ в соответствии с функцией распределенияF(K,определяемой равенством

F(K)= 1 – ψ(К/δ), КÎ [0, 1], (4)

то получим совпадение функций Т(х) для МБЛ и МСП с такой функцией распределения и µ = 1. Более того, в силу соответствия

σ = 1 - F(K),f’(σ)=K/δ,

будут совпадать, согласно (3), и распределения водонасыщенности σ для этих двух моделей, что позволяет говорить о полной их эквивалентности. Последнее сравнение и было положено нами в основу обобщения схемы Баклея-Леверетта на многомерные q-модели вытеснения [2]. Вместе с тем отметим, что при µ≠1 даже при совпадении Т(х) для МСП и МБЛ распределения насыщенностей в них не совпадают.

4. В силу сказанного выше ясно, что МСП и МБЛ совершенно аналогично (в терминах Т-зависимости Т(х)) описывают процесс вытеснения при задании дебитов отбора. Однако необходимо отметить, что МСП, в отличие от МБЛ, допускает и случаи невыпуклых вверх функций Т(х), что и делает ее, как q-модель, более общей, чем МБЛ.

Отметим еще, что распределения давления в пласте в этих моделях (в МСП — осредненного по сечению) описываются по-разному: если в МСП оно, как и Т(х), полностью определяется функци­ейF(K), то в МБЛ необходимо привлекать, помимо f(σ), еще и одну из относительных фазовых проницаемостей. Именно наличие дополнительной функции-параметра и делает МБЛ, как р-модель, более универсальной.

Характеристики вытеснения

 

Описание технологических показателей разработки для отдельной скважины или участка месторождения проводится часто в терминах Т-зависимостей того или иного семейства, обычно в рамках МСП или МБЛ. Различие методик состоит лишь в способах выбора параметров этих семейств. Используются также и другие зависи­мости, например, содержащие среди характеристик вытеснения об­водненность продукции. Некоторые из простейших подходов такого типа описаны ниже.

1. Определяя обводненность продукции по функциям Q_н(t) и Q(t) формулой

(5)

при известной зависимости сразу же получаем зависимость ,

где

 

Если f(t) — монотонно возрастающая функция, то вместо форму­лы (5) легко получаем её интегральный вариант:

 

Здесь Q_н^*, Q^*, f ^*— значения технологических показателей в некоторый момент

 

времени t= t^*, Q_H(t) =Q^~_H(f(t)), Q(t) = Q^~(f(t)).

Так как обычно стремлению f к единице соответствует неогра­ниченный рост количества добытой жидкости, то в данном описании функция Q(f) в точке f = 1 должна иметь так называемую интегри­руемую особенность, т. е.

должен существовать как несобственный интеграл и равняться извлекаемым запасам Q₀. Рассматривая функцию с простейшей особенностью такого вида

,0< а <1

и определяя A и α из условий нормировки

, ,

приходим в итоге к T-зависимости:

Т(х) = 1 - (1 - D)•(D/x)^{D/(1 – D)}, D= Q_пр/Q₀,

широко используемой в методике [4] и полученной в рамках МБЛ по функции f(σ) = 1 - (1 - σ)^1/D. Отметим, что в таком случае

.

Простейшими обобщениями, отвечающими Q(f) вида

0 < α < 1,

являются двупараметрические зависимости

, (6)

D₁ = 1 - α, a = D₁/α). Они предложены в [3], где получены из других предположений, и могут быть записаны в более общем виде:

,

,

.

Подчеркнем, что соответствующая (6) функция Баклея-Леверетта не может быть записана явно, но легко указать вид обратной к ней функции.

 

2. Рассмотрим еще один подход к описанию Т-зависимостей, используя для этого набор стандартных функций Т(x) любого вида, в том числе и вышеприведенных.

Пусть даны возрастающие функции T_i(x) () такие, что

T_i(x) ≡ х на [0,D_i] и T'_i(D_i)=1, limT_i(x)= 1.

Составляя «выпуклую» комбинацию (ниже суммирование всюду по 1 от 1 до n)

 

, , (7)

при условии получаем T-зависимость, удовлетворяющую соотношениям

Т(х) ≡ х, x Î[0,D], T'(D) = 1, T(x) ® 1 при х ® ¥.

 

Если Т_i(х) выпуклые вверх, а ψ_i (λ.), λ Î[0,1/ D_i ] и F_i(K), К Î [0,1] - соответствующие им функции МБЛ и МСП с μ = 1, то Т(x) также выпукла вверх, и отвечающие ей функции ψ(λ) и F(K) определяются формулами

, F(K)= .

3. Предыдущий подход в рамках МБЛ по физическому смыслу эквивалентен условному разбиению однородного пласта на n пропластков с долей мощности m_i, , в каждом из которых вытеснение происходит по своему закону с функцией Баклея-Леверетта, определяемой по Т(x).

Действительно, формальное суммирование технологических показателей для любых n несообщающихся пропластков, в которых

вытеснение описывается T-зависимостями Тi(х), доля закачки в i-ый пропласток есть величина vi = const, а доля запасов равна μi, и приводит в терминах T-зависимости T(x) для пласта в целом к соотношению

Сравнение с (7) показывает, что этой формуле соответствует доля закачки в i-ый пропласток, равная μi•Di/D).

4. Запишем теперь размерный аналог (7):

 

, Mi=μiQ₀.

При заданных Т(x) и Qпр задача аппроксимации реальной зависимости (Q(t), Qн(t)) такой линейной комбинацией известных функций по методу наименьших квадратов сводится, как легко видеть, к задаче квадратичного программирования с неизвестными Мi ≥ 0,..., Мn ≥0 и связью. При этом извлекаемые запасы будут определяться по формуле

Динамический вариант этой задачи, когда на различные моменты истории разработки производится пересчет коэффициентов μi = Mi / Q_о, можно интерпретировать как изменение во времени долей извлекаемых запасов («перетоки» из пропластка в пропласток) и самих извлекаемых запасов (маложелательный, но «объяснимый» эффект).

Отметим, что число неизвестных параметров при таком подходе к задаче идентификации может ограничиваться только возможностями методов квадратичного программирования.