МММФ 7 класс Раскраски-2 6 апреля 2013

МММФ 7 класс Раскраски-2 6 апреля 2013

 

1. Несколько кузнечиков сидят на одной прямой, причём расстояния между соседями - одинаковы.

Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого

кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Саша оказаться на том месте, где в начале

сидел его сосед Лёша?

2. Раскрасьте плоскость в три цвета так, чтобы на каждой прямой были точки не более чем двух цветов, и каждый цвет был бы использован.

3. На шахматной доске 8×8 двое сыграли в "Морской бой" не по правилам: один расставил 21 трёхпалубный корабль, а второй выстрелил один раз и не попал. Куда он мог выстрелить? (Укажите все возможные варианты).

4. Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что три кузнечика никогда не смогут оказаться на одной прямой, параллельной стороне квадрата.

 

5. На бесконечной клетчатой бумаге отметили 400 клеток. Докажите, что из них можно выбрать 100 клеток так, чтобы они не имели между собой общих точек.

 

6. Какое наибольшее количество ромбов, каждый из которых составлен из

двух равносторонних треугольников со стороной 1, можно вырезать из

равностороннего треугольника со стороной 5 (рис.1)?

 

 

7. Треугольный замок разделён на 100 одинаковых треугольных залов

(рис.2). В середине каждой стены сделана дверь. Сколько залов может

осмотреть человек, не желающий нигде побывать больше одного раза?

 

 

 

МММФ 7 класс Раскраски-2 6 апреля 2013

 

1. Несколько кузнечиков сидят на одной прямой, причём расстояния между соседями - одинаковы.

Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого

кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Саша оказаться на том месте, где в начале

сидел его сосед Лёша?

2. Раскрасьте плоскость в три цвета так, чтобы на каждой прямой были точки не более чем двух цветов, и каждый цвет был бы использован.

3. На шахматной доске 8×8 двое сыграли в "Морской бой" не по правилам: один расставил 21 трёхпалубный корабль, а второй выстрелил один раз и не попал. Куда он мог выстрелить? (Укажите все возможные варианты).

4. Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что три кузнечика никогда не смогут оказаться на одной прямой, параллельной стороне квадрата.

 

5. На бесконечной клетчатой бумаге отметили 400 клеток. Докажите, что из них можно выбрать 100 клеток так, чтобы они не имели между собой общих точек.

 

6. Какое наибольшее количество ромбов, каждый из которых составлен из

двух равносторонних треугольников со стороной 1, можно вырезать из

равностороннего треугольника со стороной 5 (рис.1)?

 

 

7. Треугольный замок разделён на 100 одинаковых треугольных залов

(рис.2). В середине каждой стены сделана дверь. Сколько залов может

осмотреть человек, не желающий нигде побывать больше одного раза?

 

 

Решения:

1. Раскрасим места где могут сидеть кузнечики в 2 цвета, всех четных кузнечиков в черный,

нечетных – в белый. Получаем что, при скачке кузнечики не меняют свой цвет. Значит соседи не

могут поменяться местами.

 

2. Возьмем любые две пересекающиеся прямые. Покрасим их в 1й цвет, точку пересечения во 2й

цвет, остальную часть плоскости в 3й цвет.

3.

4. Рассмотрим только вертикальные прямые:

Сначала раскрасим все вертикальные прямые (параллельные вертикальным сторонам квадрата) на

которые могут попасть кузнечики в два цвета. Все прямые на которые могут попасть кузнечики с

первой стороны квадрата покрасим в белый цвет, остальные в черный. Получаем что, кузнечики не

меняют цвет при прыжке. Значит все кузнечики не могут оказаться на одной вертикальной прямой.

Аналогичное рассуждение проводим для горизонтальных прямых.

5.

 

 

Раскрашиваем плоскость в 4 цвета,

По принципу Дирихле на какой-то из цветов попадет не менее 100

клеток. Они нам и подойдут.

 

 

6. Раскрашиваем треугольник в «шахматную раскраску». В каждом ромбе содержится

1 белая и 1 черная. Значит количество ромбов ограничено количеством белых

(которых меньше). Ответ: 10.

 

7. Применяем ту же раскраску. В пути, проходящим по комнатам, будут чередоваться

черные и белые клетки. Значит, максимальная длина пути ограничена количеством

тех клеток, которых в раскраске меньше. Меньше очевидно белых. Их 45 штук.

Поставив между всеми белыми по черной, получим 45+44.

И ещё есть пара черных клеток, которые можно поставить в начало и конец пути.

Ответ: 45+44+2=91.