Пересечение криволинейных поверхностей

Позиционные задачи

Графические работы, пронумерованная числами первой сотни (с 161 по 199), и графические работы, пронумерованная числами второй сотни (с 261 по 299), содержат по три задачи. Решение этих задач должно быть выполнено непосредственно на листах, содержащих условия задач (см. файл ЗАДАНИЕ). При этом условия задач должны быть формата А4. Обязательным требованием к копиям является максимально точное повторение графических условий оригинала. Все построения выполняются простым карандашом и сохраняются. Ответ задачи выделяется цветным карандашом. На каждом из листов в правом нижнем углу указывается фамилия студента и группа, в которой он числится.

Предоставляемые студентами работы не требуют текстовых пояснений. Однако для более глубокого понимания решений в приводимых примерах графические построения сопровождаются развернутыми пояснениями.

 

Примеры решения задач

Пример 1 (рис. 1.1).

Задача 1. Построить проекции линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF, соблюдая условия видимости.

Анализируя графические условия задачи, можно видеть, что и горизонтальная abc, и фронтальная a’b’c’ проекции треугольника АВС представляют треугольники. Следовательно, плоскость АВС – плоскость общего положения. Горизонтальная проекция треугольника DEF – треугольник def, но фронтальная проекция треугольника DEF – отрезок d’f’. Последнее обстоятельство позволяет придти к заключению: плоскость DEF перпендикулярна к фронтальной плоскости проекции (фронтально-проецирующая плоскость).

Рис. 1.1

Прямая, по которой пересекаются заданные плоскости, принадлежит обеим плоскостям, в частности, и плоскости DEF. Поэтому фронтальная проекция искомой прямой должна совпадать с фронтальной проекцией d’f’, в которую проецируется все множество точек плоскости DEF. Отсюда следует, что фронтальной проекцией линии пересечения мы уже располагаем, и остается достроить лишь ее горизонтальную проекцию.

Проекцию можно достроить по точкам М и N пересечения сторон треугольника АВС с плоскостью DEF: фронтальные проекции m’ и n’ очевидны, а горизонтальные проекции m и n располагаются на соответствующих проекциях сторон треугольника АВС.

Определение видимости значительно упрощается наличием фронтально-проецирующей плоскости. На фронтальной проекции треугольник АВС виден весь, за исключением линии пересечения. На горизонтальной проекции видна та часть треугольника АВС (треугольник АМN), которая выше плоскости DEF.

Задача 2. Построить проекции прямой, проходящей через точку С и пересекающей прямую АВ и ось проекций ОХ.

Ось проекции ОХ перпендикулярна к профильной плоскости проекций. После построения профильных проекций прямой АВ и точки С можно утверждать, что любая прямая, проходящая через точку С и пересекающая ось ОХ, должна иметь профильную проекцию, проходящую через точки c” и О. Такая прямая пересекает ось ОХ в некоторой точке D, имеющей профильную проекцию d”. Если эта прямая пересекает прямую АВ, то точка e” – профильная проекция точки Е пересечения прямой АВ и прямой CD. Определив фронтальную e’ и горизонтальную e проекции, располагающиеся на соответствующих проекциях прямой АВ, получаем возможность построить недостающие проекции прямой ED. Контролем точности графических построений может служить совпадение горизонтальной d и фронтальной d проекций точки D.

Задача 3. Построить проекции треугольника АВС, если сторона ВС лежит на прямой MN, параллельной плоскости Н, а сторона АС параллельна плоскости V. Основание D высоты AD делит сторону ВС в отношении çBDç: çDCç = 1: 2.

Поскольку прямая MN параллельна горизонтальной плоскости проекций, то, в соответствии с теоремой о частном случае проецирования прямого угла, прямой угол на плоскость Н проецируется без искажения. Следовательно, перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую MN, будет иметь горизонтальную проекцию ad ^ mn, где d – горизонтальная проекция точки D, в которой перпендикуляр AD пересекает прямую MN.

Поскольку сторона АС параллельна плоскости V, то горизонтальная проекция стороны должна быть направлена параллельно оси ОХ, а в безосном чертеже – перпендикулярно к линии связи. Пересечение проведенной прямой с прямой MN позволяет найти точку С (проекции с и с’) - вторую вершину треугольника.

В соответствии с условием задачи, расстояние от точки D до вершины В вдвое меньше расстояния от точки D до точки С. Поэтому отрезок CD следует разделить пополам, и одну из его частей отложить на прямой MN. Если в пространстве точка делит отрезок в некотором отношении, то проекции точки делят проекции отрезка в том же отношении. Следовательно, для осуществления намеченных действий можно воспользоваться одной из проекций. На чертеже отрезок cd поделен пополам, найдена его середина 1 и отрезок 1d отложен на прямой mn, что позволило определить горизонтальную b, а затем и фронтальную b’ проекции вершины В. Конечно, для подобных построений можно было бы воспользоваться фронтальной проекцией, но это потребовало дополнительно построить фронтальную d’ проекцию точки D.

 

Пример 2 (рис. 1.2).

Задача 1. Достроить горизонтальную проекцию плоского четырехугольника ABCD.

 

Рис. 1.2

Построение недостающей проекции точки В следует основывать на признаке принадлежности точки плоскости: точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей плоскости. Поэтому через точку В мысленно следует провести прямую, принадлежащую плоскости четырехугольника, построить проекции этой прямой и найти недостающую проекцию точки.

Для осуществления намеченного плана можно воспользоваться многими прямыми, проходящим через точку В, однако наиболее удобным представляется использование диагонали BD. Фронтальная проекция b’d’ очевидна, а для построения горизонтальной проекции следует вначале выяснить направление последней. Учитывая, что задан плоский четырехугольник, можно провести проекции диагонали АС. Диагонали четырехугольника пересекаются, точки 1’ и 1 соответственно фронтальная и горизонтальная проекции точки пересечения. Проведя прямую че-рез точки d и 1, выясним направление горизонтальной проекции диагонали, на которой располагается горизонтальная проекция b точки В. Остается завершить построение горизонтальной проекции четырехугольника.

Примечание. Если считать фронтальные проекции a’b’ и c’d’ сторон АВ и CD параллельными между собой, то, учитывая, что это – стороны плоского четырехугольника, занимающие общее положение относительно плоскостей проекций, следует заключить, что стороны АВ и CD параллельны в пространстве. Такие прямые должны иметь параллельные между собой горизонтальные проекции. Проведя из точки a прямую, параллельную cd, и определив точку b можно соединить ее с точкой с, завершив решение задачи.

Задача 2. Построить проекции прямой, проходящей через точку С и параллельную отрезку АВ.

Если прямые в пространстве параллельны, то параллельны их одноименные проекции. Однако судить по чертежу о взаимном положении прямых, занимающих частное положение относительно плоскостей проекций, можно только в том случае, если имеется проекция прямых на ту плоскость, которой прямые параллельны.

Прямая АВ – профильная прямая, поэтому для решения задачи необходимо располагать профильными проекциями прямой и точки С. Построив с помощью постоянной линии чертежа проекции a”b” и c”, следует через точку c” провести прямую, параллельную a”b”. Зафиксировав профильную проекцию d”, произвольно выбранной точки D, и учитывая, что [ab] çç [cd], а [a’b’] çç [c’d’] следует закончить построения.

Задача 3. Построить проекции равнобедренной трапеции ABCD, основание AD которой равно 40 мм, а основание ВС равно 80 мм и расположено на прямой MN, параллельной плоскости Н.

Рассмотрим вначале решение задачи при планометрическом задании условий (см. чертеж в правом верхнем углу). Если прямая MN и точка А располагаются в плоскости чертежа, то из точки А следует провести луч, параллельный прямой MN, и отложить на нем 40 мм. Конец этого отрезка – точка D. От оснований Е и F перпендикуляров, опущенных из точек А и D на прямую MN, следует отложить отрезки ВЕ и СF, равные 20 мм. Получим равнобедренную трапецию АВСD с основаниями çАDç = 40 мм и çВСç = 80 мм.

Переходя к решению задачи на чертеже, отражающем пространственную ситуацию, следует учесть, что план решения, рассмотренный выше, не может измениться, но реализация этого плана должна учитывать закономерности проецирования отрезков прямых и углов между прямыми. Поскольку параллельные прямые изображаются параллельными одноименными проекциями, то из точек a и a’ можно провести лучи, параллельные соответственно (mn) и (m’n’). Прямая MN параллельна горизонтальной плоскости проекций, поэтому отрезки этой прямой, а также прямых ей параллельных, проецируются на плоскость Н без искажения. На луче из точки a следует отложить отрезок, равный 40 мм, конец которого даст проекцию d. В проекционной связи на луче из a’ находим проекцию d’.

Поскольку (MN) ççН, то, по теореме о частном случае проецирования прямого угла, прямые углы в основании перпендикуляров, проведенных к этой прямой из точек А и D, должны на горизонтальную плоскость проекций проецироваться без искажения. Поэтому из точек a и d проводим перпендикуляры к (mn). От точек e и f откладываем отрезки be и cf, равные 20 мм. По горизонтальным проекциям b и c достраиваем проекции b’ и c’. Проведя проекции прямых АВ и СD, завершаем решение задачи.

 

 

Метрические задачи

Примеры решения задач

Пример 1 (рис. 2.1).

Задача 1. Построить проекции линии пересечения плоскости треугольника АВС с плоскостью, заданной параллельными прямыми DE и FG, соблюдая условия видимости.

Заданные плоскости занимают общее положение относительно плоскостей проекций, поэтому алгоритм, регламентирующий порядок решения подобных задач, должен быть использован в полном объеме.

Две плоскости пересекаются по прямой, для построения которой надо найти проекции двух точек, общих для заданных плоскостей. Одна из точек найдена следующим образом. Введена горизонтально-проецирующая плоскость Т₁,заданная следом T_1h. Эта плоскость пересекает плоскость параллельных прямых по прямой 1⁰2⁰ (проекции 1-2 и 1’2’), а плоскость треугольника – по прямой 3⁰4⁰ (проекции 3-4 и 3’4’). Прямые 1⁰2⁰ и 3⁰4⁰ пересекаются, поскольку лежат в одной и той же плоскости Т, и точка М (проекции m и m’) является общей для трех плоскостей: Т, АВС и {DE ççFG}. В этом утверждении следует обратить внимания, что точка М является общей для плоскостей АВС и {DE ççFG}, т.е. точка М – одна из точек прямой, по которой пересекаются заданные плоскости.

Для определения проекций второй точки линии пересечения плоскостей можно выяснить проекции точки, в которой прямая DE пересекает плоскость треугольника АВС. Заключим прямую DE в горизонтально-проецирующую плоскость Т₂, задав ее следом T_2h. Эта плоскость пересекает плоскость треугольника по прямой 5⁰6⁰ (проекции 5-6 и 5’6’). Прямые DE и 5⁰6⁰ пересекаются, поскольку лежат в одной и той же плоскости Т₂, и точка N (проекции n и n’) является общей для прямой DE и плоскостью АВС, т.е. является точкой пересечения прямой DE и плоскостью АВС, а также второй точкой, по которой пересекаются плоскости АВС и {DE ççFG}.

 

Рис. 2.1

Соединив одноименные проекции точек М и N прямыми линиями, получим проекции линии пересечения заданных плоскостей.

Будем считать что одна из плоскостей ограничена треугольником АВС, а другая – расстоянием между параллельными прямыми DE и FG. Определим видимость этих плоскостей относительно плоскостей проекций. Для определения видимости относительно горизонтальной плоскости проекций рассмотрим видимость конкурирующих точек 5⁰ и 7⁰. Из взаимного расположения фронтальных проекций 5’ и 7’ следует, что точка 5⁰, принадлежащая стороне АВ, находится выше точки 5⁰, принадлежащей прямой DE, из чего можно сделать заключение: на горизонтальной проекции мы видим точку 5⁰ (и прямую АВ), а точка 7⁰ (и прямая DE в этом месте) закрыта точкой 5⁰. Для определения видимости относительно фронтальной плоскости проекций можно рассмотреть видимость конкурирующих точек 8⁰, принадлежащей прямой АВ, и 9⁰, принадлежащей прямой FG. Из взаимного расположения горизонтальных проекций 8 и 9 следует, что точка 9⁰ находится дальше от фронтальной плоскости проекций, чем точка 8⁰. Поэтому на фронтальной проекции мы будем видеть точку 9⁰ (и прямую FG), а не точку 8⁰ (и прямую АВ). Показав видимые участки прямых сплошными основными линиями, а невидимые – тонкими штриховыми линиями, следует закончить графическое оформление задачи.

Задача 2. Построить проекции плоскости, проходящей через точку М и параллельную плоскости, заданной точкой А и прямой ВС.

Решение задачи должно отвечать признаку параллельности двух плоскостей: две пересекающиеся прямые одной плоскости должны быть параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Поэтому плоскость, проходящую через точку М, целесообразно задать двумя пересекающимися прямыми, параллельными двум пересекающимися прямыми плоскости {А,(ВС)}. Поскольку последняя задана точкой и прямой, необходимо в плоскости {А,(ВС)} провести какую-либо прямую, пересекающую прямую ВС. Проще всего такую прямую провести через точку А, например, прямую AD, пересекающую (ВС) в точке 1⁰. Тогда искомую плоскость можно задать двумя лучами: [MN) çç(ВС) и [MK) çç[AD).

Задача 3. Построить проекции прямоугольника ABCD, вершина А которого принадлежит прямой EF, а сторона ВС расположена на луче ВМ и равна 50 мм.

Пространственный план решения задачи состоит в том, что к лучу ВМ из точки В следует восставить перпендикуляр, пересекающий прямую EF в точке А. На луче BM надо отложить отрезок, равный 50 мм, конец которого будет являться вершиной С прямоугольника. Из точек А и С провести прямые, параллельные соответственно отрезкам ВС и АВ. Пересечение проведенных прямых в точке D завершит построение прямоугольника.

Реализуем разработанный пространственный план на предлагаемом чертеже. Множество перпендикуляров к лучу BM, проходящих через точку В, представляет плоскость, перпендикулярную к ВМ и проходящую через точку В. Точка пересечения такой плоскости с прямой EF определит точку А, и даст возможность построить сторону АВ. Руководствуясь правилом изображения проекций перпендикуляра к плоскости, зададим плоскость горизонталью и фронталью, направив горизонтальную проекцию горизонтали перпендикулярно к (bm), а фронтальную проекцию фронтали перпендикулярно к (b’m’). Для определения проекций точки пересечения прямой EF с заданной плоскостью заключим прямую EF в горизонтально-проецирующую плоскость Т, задав ее следом T_h. Плоскость Т пересекает плоскость, заданную фронталью и горизонталью, по прямой 1⁰2⁰ (проекции 1-2 и 1’2’). Пересечение прямой 1⁰2⁰ с прямой EF дает возможность определить проекции a’ и a точки А. Соединив одноименные проекции точек А и В прямой получим проекции стороны АВ.

Прямая ВМ занимает общее положение относительно плоскостей проекций, поэтому отрезки этой прямой проецируются с искажением. Для того, чтобы на луче ВМ можно было отложить 50 мм, следует преобразовать чертеж таким образом, чтобы луч стал параллелен какой-либо плоскости проекций, и, следовательно, отрезки, откладываемые на [BM), проецировались без искажения. Как один из возможных способов преобразования можно использовать способ вращения. Произвольным образом на луче ВМ зафиксируем точку 3⁰ (проекции 3 и 3’). Полагая, что ось вращения перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций и проходит через точку В, повернем отрезок В3⁰ в положение В3₁⁰ (проекции b3₁ и b’3₁’). Теперь отрезок параллелен фронтальной плоскости проекций, величины отрезков проецируются на фронтальную плоскость без искажения, и на прямой b’3’ можно отложить отрезок b’c₁’, равный 50 мм. При обратном вращении проекции точки С займут положение c’ и с.

Проведя из проекций точек А и С прямые, параллельные соответствующим проекциям противоположных сторон прямоугольника и определив точки их пересечения, получим проекции d и d’ точки D. Контролем точности выполненных построений может служить расположение проекций d и d’ на одной линии связи.

Пример 2 (рис. 2.2)

Задача 1. Вращением вокруг оси О₁О₂ ввести точку А на поверхность цилиндра.

Ось О₁О₂ перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, поэтому плоскость вращения Р, заданная на чертеже следом P_h, параллельна фронтальной плоскости проекций. Следовательно, окружность радиуса R_вр, по которой точка А двигается при вращении, на фронтальную плоскость проецируется без искажения.

Все образующие прямого кругового цилиндра перпендикулярны к фронтальной плоскости проекций, поэтому все множество точек цилиндрической поверхности на фронтальную плоскость проецируется в виде окружности.

После введения точки А на поверхность цилиндра точка должна принадлежать как окружности, описываемой точкой при вращении, так и поверхности цилиндра, потому фронтальная проекция такой точки есть точка пересечения проекции окружности радиуса R_вр с фронтальной проекцией цилиндрической поверхности.

Рис. 2.2

Задача имеет два решения, поскольку окружность, по которой вращается точка А, дважды пересекает поверхность цилиндра – в точках А₁ и А₂. Фронтальным проекциям a’₁ и a’₂ соответствую горизонтальные проекции a₁ и a_2, лежащие на следе P_h. Видимой является только горизонтальная проекция a₂ точки А₂.

Задача 2. Достроить горизонтальную проекцию сферы с центром О, срезанной фронтально-проецирующими плоскостями.

Любая плоскость (за исключением касательной) пересекает сферу по окружности. Однако проекции этих окружностей могут выглядеть по-разному: если плоскость окружности параллельна плоскости проекций, то окружность проецируется на эту плоскость без искажения; если плоскость окружности перпендикулярна к плоскости проекций, то окружность проецируется на нее в виде отрезка; в остальных случаях окружность проецируется в виде эллипса.

Поскольку заданные в задаче плоскости перпендикулярны к фронтальной плоскости проекций, то окружности, лежащие в этих плоскостях, проецируются на фронтальную плоскость в виде отрезков, ограниченных проекциями концов отрезков, по которым пересекаются плоскости окружностей. Горизонтальная окружность с центром С (проекции c и c') без искажения проецируется на горизонтальную плоскость проекций, и ограничена точками 1⁰ и 1⁰₁. Окружность с центром Р (проекции p и p'), ограниченная точками 2⁰2⁰₁, лежит в профильной плоскости, поэтому на горизонтальную плоскость проекций проецируется в виде отрезка. Плоскость с центром Q (проекции q и q'), расположенная наклонно к горизонтальной плоскости проекций, проецируется на нее в виде эллипса. Эллипс касается экватора сферы в точках 3⁰ и 3⁰₁. Горизонтальная проекция любой точки этой кривой может быть найдена из соображений принадлежности точки сфере. Например, через произвольно выбранные точки 4⁰ и 4⁰₁ (фронтальные проекции 4' и 4₁') проведена горизонтальная окружность, построена горизонтальная проекция окружности, на которой найдены горизонтальные проекции 4 и 4' точек 4⁰ и 4⁰₁.

Задача 3. Построить проекции равнобедренного треугольника АВС, основание ВС которого расположено на прямой MN, параллельной горизонтальной плоскости проекций, и вдвое больше опущенной на него высоты.

Если бы искомый треугольник располагался в плоскости чертежа, следовало из точки А опустить перпендикуляр на прямую MN до пересечения в точке D, а отрезок AD отложить на прямой MN по обе стороны от точки D. Полученные таким образом вершины треугольника В и С соединить с точкой А.

При построении проекций треугольника, отражающих пространственную ситуацию, каждое действие должно основываться на правилах начертательной геометрии. Поскольку прямая MN параллельна горизонтальной плоскости проекций, по теореме о частном случае проецирования прямого угла, прямой угол должен на горизонтальную плоскость проецироваться без искажения. Поэтому из точки a можно опустить перпендикуляр на mn до пересечения в точке d, и построить фронтальную проекцию a'd' высоты AD. Отрезки горизонтальной прямой MN на горизонтальную плоскость проецируются без искажения, но высота AD занимает общее положение, и в исходной системе плоскостей проекций проецируется с искажением. Для определения натуральной величины отрезка AD следует преобразовать чертеж так, чтобы отрезок стал параллелен какой-либо плоскости проекций. Один из возможных вариантов - выполнить замену плоскостей проекций: перейти от системы V,H к системе H,S, расположив плоскость S параллельно [AD]. Проекция a_sd_s отрезка AD на плоскость S соответствует истинной величине отрезка, поэтому [a_sd_s] следует отложить на горизонтальной проекции mn по обе стороны от точки d, и получить горизонтальные проекции b и с вершин треугольника. Достроив фронтальные проекции b' и c', а также соединив одноименные проекции вершин, получим требуемые проекции треугольника АВС.

 

Пересечение криволинейных поверхностей

 

Графические работы (см. файл ЗАДАНИЕ), пронумерованные числами третьей сотни (с 301 по 399), состоят в том, что по заданным изображениям некоторых поверхностей надо построить их профильную проекцию, а также построить все проекции линий пересечения заданных поверхностей. Работы выполняются на чертежной бумаге (ватмане) формата А3, располагающегося горизонтально. Графические условия задачи вычерчиваются по заданным размерам в масштабе 1:1. Лист должен быть оформлен в соответствии с ГОСТ 301-68 на форматы чертежа. В правом нижнем углу должна располагаться основная надпись, форма, размеры и порядок оформления которой установлен ГОСТ 2.104-68. Необходимые сведения по названным стандартам можно найти в рекомендуемых учебных пособиях, в сборниках стандартов или другой справочной литературе. Построение проекций линий пересечения должно поясняться подробным построением хотя бы одной из промежуточных (нехарактерных) точек. При определении существования или видимости линий на чертеже следует считать, что кривые поверхности ограничивают монолитное непрозрачное тело.

 

 

Примеры решения задач

Пример 1 (рис. 3.1).

Заданы горизонтальная и фронтальная проекции прямых круговых конусов с вершинами S₁ и S₂. Требуется построить профильную проекцию заданных поверхностей, а также проекции их линии пересечения.

Пересекающиеся поверхности имеют фронтальную плоскость симметрии. Отсюда следует, что искомая линия пересечения также будет симметрична относительно этой плоскости, и фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения будут совпадать.

Очерковые образующие конусов, лежащие во фронтальной плоскости симметрии, пересекаются, что позволяет найти проекции двух характерных точек: самой низкой точки 1⁰ (проекции 1 и 1') и самой высокой точки 2⁰ (проекции 2 и 2') линии пересечения. Для построения проекций промежуточных точек следует использовать алгоритм построения линии пересечения поверхностей, рассмотренный в теоретической части курса.

Выбирая для решения данной задачи вспомогательные поверхности, пересекающие заданные, целесообразно остановиться на горизонтальных плоскостях. Введем плоскость Т₁, задав ее следом T_1v. Плоскость пересекает конус с вершиной S₁ по окружности с радиусом r₁, а конус с вершиной S₂ - по окружности с радиусом R₂, причем радиусы этих окружностей проецируются на фронтальную плоскость без искажения. Окружности, лежащие в плоскости Т₁ пересекаются в точках, общих для заданных конических поверхностей, т.е. являются одними из точек искомой линии пересечения. Построив горизонтальные проекции окружностей с радиусами r₁ и R₂, можно определить проекции 3 и 3₁. Фронтальные проекции 3' и 3₁^' совпадают и располагаются на следе T_1h (на проекциях окружностей с радиусами r₁ и R₂).

Для построения проекций других точек линии пересечения следует вводить новые вспомогательные горизонтальные плоскости, располагающиеся не ниже точки 1⁰ и не выше точки 2⁰, и повторять описанные выше построения. Так введение плоскости Т₂, заданной следом T_2v, позволяет построить окружности с радиусами R₁ и r₂. Пересечение окружностей определяет проекции точек 4⁰ и 4⁰₁.

Рис. 3.1

Закрытая основанием конуса с вершиной S₂, линия пересечения на горизонтальной плоскости проекции не видна.

Располагая горизонтальной и фронтальной проекциями пересекающихся поверхностей, а также проекциями линии пересечения, можно построить профильную проекцию конусов. При этом следует обратить внимание на проекции двух пар характерных точек: точки 5⁰ и 5⁰₁ линии пересечения принадлежат профильным образующим конуса с вершиной S₁, а точки 6⁰ и 6⁰₁ - профильным образующим конуса с вершиной S₂. Следовательно, в точках 5" и 5₁^" профильная проекция линии пересечения касается проекций соответствующих образующих конуса с вершиной S₁, а в точках 6" и 6"₁ - образующих конуса с вершиной S₂.

Ось конуса с вершиной S₂ находится дальше от профильной плоскости проекций (и ближе к наблюдателю), чем ось конуса с вершиной S₁, поэтому видимость заданных поверхностей определяет поверхность конуса с вершиной S₂. Образующие последнего существуют от основания конуса до точек 6⁰ и 6⁰₁, ограничивая видимость профильной проекции линии пересечения участком 6"1"6₁". Точки 5⁰ и 5⁰₁ являются границами существования профильных образующих конуса с вершиной S₁. Часть этих образующих остается невидимой, поскольку закрыта другим конусом.

Пример 2 (рис. 3.2).

Задана горизонтальная и фронтальная проекции тора с осью О₁О₂ и проекции прямого кругового цилиндра с осью I₁I₂. Требуется построить профильную проекцию заданных поверхностей, а также проекции их линии пересечения.

Оси обеих поверхностей вращения перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций и задают профильную плоскость симметрии, относительно которой будет симметрична и искомая линия пересечения. Следовательно, на профильной проекции видимая и невидимая части линии пересечения будут совпадать.

Все образующие прямого кругового цилиндра перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций, поэтому все множество точек цилиндрической поверхности, включая искомую линию пересечения, на горизонтальную плоскость проекций проецируется в виде окружности. Это означает, что горизонтальной проекцией линии пересечения мы располагаем, и остается достроить фронтальную и профильную проекции.

Для построения фронтальной проекции линии пересечения следует учесть, что точки этой линии принадлежат не только цилиндру, но и тору, поэтому фронтальные проекции точек можно строить как недостающие проекции точек, лежащих на торе. Например, на поверхности тора провести некоторую окружность m⁰ (проекции m и m') с радиусом R, отметить горизонтальные проекции 1 и 1₁, а затем найти фронтальные проекции 1' и 1₁'.

Рис. 3.2

Однако методически правильным является начинать построения с определения проекций характерных точек. Такими точками являются самая низкая 2⁰ и самая высокая 3⁰ точки линии пересечения, точки 4⁰ и 4₁⁰, лежащие на главном меридиане тора и определяющие границы существования меридиана, а также точки 5⁰ и 5₁⁰, ограничивающие существование очерковых образующих цилиндра на фронтальной проекции.

Поскольку цилиндр выдвинут вперед относительно тора, то видимость на фронтальной проекции определяет поверхность цилиндра. В точках 5' и 5₁' проекция линии пересечения касается очерков цилиндра и теряет видимость, а в точках 4' и 4₁' линия касается очерков тора.

Располагая горизонтальной и фронтальной проекциями любой точки заданных поверхностей, можно построить их профильную проекцию, включая проекцию линии пересечения.