Нелинейные парные регрессионные модели
Парная регрессионная модель считается линейной, если она является линейной как относительно независимой переменной 
, так и относительно своих параметров. Так, например, модель 
является линейной как по параметрам, так и относительно независимой переменной. В то же время модели 
и 
являются нелинейными. Первая из них не линейна относительно независимой переменной, а вторая является нелинейной не только относительно независимой переменной, но и относительно параметра 
.
Оценивание силы нелинейной парной регрессионной зависимости с помощью корреляционного отношения
Для решения этой проблемы наиболее предпочтительной является ситуация, когда характер выборочных данных позволяет осуществить их группировку по оси независимой переменной . В этом случае может быть вычислено корреляционное отношение
, 
(1.61)
где 
- число значений независимой переменной, попавших в 
-й интервал группирования, а 
- среднее значение зависимой переменной 
в тех парах наблюдений 
, в которых значение независимой переменной 
принадлежит -му интервалу группирования. Близкие к единице значения корреляционного отношения свидетельствуют о наличии регрессионной зависимости между переменными и . По величине разности 
можно судить о том, насколько вид регрессионной зависимости близок к линейному.
Устранение нелинейности в парной регрессионной модели
. В некоторых случаях нелинейность может быть устранена. Нас будет интересовать главным образом возможность преобразования исходной нелинейной модели к виду парной линейной регрессионной модели, для которой имеется возможность использования описанных выше теоретических результатов. Основными приемами используемыми для устранения нелинейности, являются замена переменной и линеаризация.
Пример 1.2. Модель 
свести к парной линейной.
Решение. Нелинейность в данном случае устраняется с помощью замены переменной 
. После замены переменной исходная нелинейная относительно переменной модель становится линейной: 
.
Пример 1.3. (использование преобразования Бокса-Кокса). Модель
, где 
заданные константы,
свести к парной линейной регрессионной модели.
Решение. Нелинейность в данном случае устраняется с помощью двукратного использования преобразования Бокса-Кокса:
, 
.
После этой замены переменных получим модель 
.
Нелинейность по параметру устраняется обычно путем равносильных преобразований обеих частей регрессионной модели. Чаще всего используется логарифмическое преобразование. Например, следующие нелинейные модели после логарифмирования становятся линейными:
· степенная модель 
(после логарифмирования получаем линейную модель 
);
· экспоненциальная модель 
(после логарифмирования получаем линейную модель 
).
Отметим, что модель вида применяется в теоретической экономике при моделировании спроса (кривые Энгеля), а модель вида — при моделировании временных трендов экономических показателей, имеющих постоянный темп роста.
