Устранение нелинейности в парной регрессионной модели

Нелинейные парные регрессионные модели

 

Парная регрессионная модель считается линейной, если она является линейной как относительно независимой переменной , так и относительно своих параметров. Так, например, модель является линейной как по параметрам, так и относительно независимой переменной. В то же время модели и являются нелинейными. Первая из них не линейна относительно независимой переменной, а вторая является нелинейной не только относительно независимой переменной, но и относительно параметра .

 

Оценивание силы нелинейной парной регрессионной зависимости с помощью корреляционного отношения

Для решения этой проблемы наиболее предпочтительной является ситуация, когда характер выборочных данных позволяет осуществить их группировку по оси независимой переменной . В этом случае может быть вычислено корреляционное отношение

, (1.61)

где - число значений независимой переменной, попавших в -й интервал группирования, а - среднее значение зависимой переменной в тех парах наблюдений , в которых значение независимой переменной принадлежит -му интервалу группирования. Близкие к единице значения корреляционного отношения свидетельствуют о наличии регрессионной зависимости между переменными и . По величине разности можно судить о том, насколько вид регрессионной зависимости близок к линейному.

 

Устранение нелинейности в парной регрессионной модели

. В некоторых случаях нелинейность может быть устранена. Нас будет интересовать главным образом возможность преобразования исходной нелинейной модели к виду парной линейной регрессионной модели, для которой имеется возможность использования описанных выше теоретических результатов. Основными приемами используемыми для устранения нелинейности, являются замена переменной и линеаризация.

Пример 1.2. Модель свести к парной линейной.

Решение. Нелинейность в данном случае устраняется с помощью замены переменной . После замены переменной исходная нелинейная относительно переменной модель становится линейной: .

 

Пример 1.3. (использование преобразования Бокса-Кокса). Модель

, где заданные константы,

свести к парной линейной регрессионной модели.

Решение. Нелинейность в данном случае устраняется с помощью двукратного использования преобразования Бокса-Кокса:

, .

После этой замены переменных получим модель .

Нелинейность по параметру устраняется обычно путем равносильных преобразований обеих частей регрессионной модели. Чаще всего используется логарифмическое преобразование. Например, следующие нелинейные модели после логарифмирования становятся линейными:

· степенная модель (после логарифмирования получаем линейную модель );

· экспоненциальная модель (после логарифмирования получаем линейную модель ).

Отметим, что модель вида применяется в теоретической экономике при моделировании спроса (кривые Энгеля), а модель вида — при моделировании временных трендов экономических показателей, имеющих постоянный темп роста.