Пересечение тел плоскостями

При пересечении поверхности или какого-либо геометрического тела плоскостью получается плоская фигура, которая называется сечением.

В результате пересечения плоскостью многогранника получается плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, многоугольник. Вершинами полученного многоугольника будут точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами многоугольника будут линии пересечения его граней с секущей плоскостью.

На рис. 6 показано построение линии пересечения четырехугольной призмы с фронтально проецирующей плоскостью. Искомая линия пересечения пройдет через точки пересечения боковых ребер с плоскостью и через точки, в которых плоскость пересекается со сторонами верхнего основания.

Построение линии пересечения пирамиды с фронтально проецирующей плоскостью показано на рис. 7. Фронтальные проекции точек пересечения ребер с плоскостью расположены на фронтальном следе секущей плоскости, а горизонтальные и профильные проекции точек – на соответствующих проекциях ребер пирамиды.

Линия пересечения плоскости с поверхностями тел вращения в общем случае представляет собой замкнутую кривую. Когда секущая плоскость проходит через прямолинейные образующие или пересекает основания, линия пересечения будет включать прямолинейные участки.

Положение кривой линии определяется рядом ее точек. Чем больше точек кривой будет известно, тем точнее она будет построена.

Чтобы построить линию пересечения плоскости с цилиндром (рис. 8) или шаром (рис. 9) берут опорные (верхнюю и нижнюю, левую и правую) точки и несколько произвольных на той проекции сечения, в которой оно проецируется в линию, и находят две другие их проекции, способами, описанными выше. При этом в сечение шара может быть только окружность, а в сечение цилиндра – эллипс (или его часть), окружность, прямоугольник.

Пересечение плоскости с конусом рассмотрено отдельно, поскольку в сечении могут быть четыре различные кривые: окружность, эллипс, парабола и гипербола.

На рис. 10, а показаны положения секущей плоскости для получения окружности (плоскость H, которая параллельна плоскости основания) и эллипса (плоскость K, пересекающая все образующие конуса). На рис. 10, б показано положение секущей плоскости для получения параболы (плоскость L, параллельная одной образующей конической поверхности) и плоскость J (прошедшая через вершину конуса), имеющую с конической поверхностью общую прямую. На рис. 10, в изображены плоскость N, пересекающая плоскость по гиперболе (плоскость параллельна двум образующим), и плоскость T, в сечении которой образуются две пересекающиеся прямые (плоскость проходит через вершину конуса).

На рис. 11 приведены фронтальные проекции поверхности конуса, следы фронтально проецирующих секущих плоскостей и указан вид получаемой в сечении кривой.