Вопрос 2. Обобщенные характеристики законов распределения

Тема 2. Математические основы надежности

Случайные величины, законы распределения, их характеристики

 

Вопрос 1. Случайные величины, закон распределения случайной величины.

 

Случайной называют величину, которая в результате испытания может принять одно из возможных заранее неизвестных значений. Случайным величинам противопоставляются величины детерминированные, значения которых предопределяются начальными условиями.

Случайные величины подразделяются на дискретные (принимающие отдельные значения) и непрерывные. Число дефектных деталей в партии изделий - дискретная случайная величина, возможные значения которой 0, 1, 2, 3,.... Время безотказной работы изделия - непрерывная случайная величина.

Совместные (несовместные) события – такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

Зависимые (независимые) события – такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А – событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается ).

Полная группа событий – такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности. Очевидно, что события А и составляют полную группу событий.

Закон распределения случайных величин указывает на взаимосвязь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

 

Возможные значения				…
Вероятности				…

 

Закон распределения может быть задан аналитически (формулой), в виде таблицы, графиком или диаграммой (рис. 1)

Рис. 1

 

Основное свойство любого закона распределения

где — вероятность значения случайной величины .

Это свойство становится понятным, если учесть, что вероятность значения , есть относительная доля общего числа случаев, приходящаяся на данное значение параметра.

 

 

Вопрос 2. Обобщенные характеристики законов распределения

 

Основными обобщенными характеристиками (параметрами) закона рас­пределения являются среднее значение и среднеквадратичное отклонение. Среднее значение случайной величины представляет собой обычное среднее всех значений, полученных во время испытаний. Общая совокупность боль­шого числа однородных изделий (теоретически бесконечная) называется генеральной, а партия испытуемых изделий - выборкой (объема ) из генеральной совокупности.

В теории вероятности большую роль играет понятие математическою ожидания (среднего значения для генеральной совокупности).

Математический ожиданием случайной величины , имеющей возмож­ные значения с вероятностями называют

(взвешенная формула)

 

В некоторых случаях математическое ожидание слу­чайной величины принято обозначать .

Среднеквадратичное отклонение случайной величины определяют но формуле

(взвешенная формула)

Для теоретического анализа часто оказывается более удобным понятие дисперсии случайной величины , которая представляет собой математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины: