Отрицание дизъюнкция конъюнкция

Раздел 1. Информация, информатика, информационные технологии

Тема 3. Математические и логические основы информатики

Лабораторная работа №4. Основные понятия математической логики.

 

Основные понятия математической логики

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности и ложности) и логических операций над ними [4].

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно [4].

Для обозначения истины (истинного высказывания) используется символ 1, а для обозначения лжи (ложного высказывания) используется символ 0.

Рассмотрим примеры логических высказываний (см. Таблицу 1):

Таблица 1. Примеры логических выражений

Предложение	Характеристика с точки зрения алгебры логики
Иваново – Родина Первого Совета	Истинное логическое высказывание
За зимой наступит весна	Истинное логическое высказывание
В городе Иваново проживают только граждане России	Ложное логическое высказывание
После дождя всегда тепло	Ложное логическое высказывание
После вторника будет выходной	Не является логическим высказыванием, т.к. не известно, о каком человеке, каком месяце и дне идет речь (если у человека текущий график работы, возможно, что у него в среду будет выходной, в противном случае среда – рабочий день; если в среду будет праздничный день, например, 8 марта, то этот день также будет выходным)

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить более сложные высказывания. Такие слова и словосочетания называют логическими связками. Высказывания, образованные с помощью логических связок – называют составными высказываниями. Высказывания, не являющиеся составными, называют элементарными.

Просмотрите презентацию и разберите понятия, представленные в ней.

Для обозначения логических высказываний, им назначают имена. Например, если А – высказывание «В четверг был дождь», В – высказывание «В пятницу было солнечно», то составное высказывание «В четверг был дождь, а в пятницу было солнечно», можно записать в виде:

А и В.

Здесь А, В – логические высказывания (могут быть либо истинными, либо ложными), и – логическая связка.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (см. Таблицу 2):

Таблица 2. Логические связки

№	Логическая связка	Название	Обозна-чение	Высказы-вание	Математическая запись
	и	конъюнкция логическое умножение	Ù, & *, And	A и В	A Ù B, A & B A * B, A And B
	или	дизъюнкция логическое сложение	Ú +, Or	A или В	A Ú B A + B, A Or B
	не	инверсия, логическое отрицание	, , Not	не А	А, , Not A
	Если…то	импликация, логическое следование	→, Þ	Если A, то В	A → B A Þ B
	тогда и только тогда	эквивалентность, равносильность, логическое тождество	«, º Û, ~	А тогда и только тогда, когда В	А«В, АºВ АÛВ, А~В

Логические связки удобно определять с помощью таблиц истинности составляющих высказываний и указывается соответствующее значение истинности высказывания, полученного в результате действия логической операции:

отрицание дизъюнкция конъюнкция

А	ØА		А	В	АÚВ		А	В	АÙВ

Импликация эквиваленция

А	В	АÞВ		А	В	АÛВ

 

 

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

A → B = А Ú B

(1)

Эквивалентность можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

A «B = (А Ú B) Ù (B Ú А)

(2)

Вычисление значения логического выражения производится слева направо в соответствии с таблицей истинности (см. Таблицу 3) и приоритетом выполнения логических операций (см. Таблицу 4). Порядок выполнения операций можно менять, используя круглые скобки.

Таблица 3. Таблица истинности

A	B	A Ú B	A Ù B	A

Таблица 4. Приоритет выполнения логических операций

Приоритет операции	Логическая операция
Первый (высший)	Логическое отрицание
Второй	Конъюнкция (логическое умножение)
Третий	Дизъюнкция (логическое сложение)
Четвертый	Импликация (следование)
Пятый (низший)	Эквивалентность (равносильность)