Величина упругих перемещений инструмента и заготовки кроме силы резания зависит от жесткости элементов технологической системы. Под жесткостью технологической системы понимают ее способность оказывать сопротивление относительному перемещению режущего инструмента и обрабатываемой заготовки в направлении действия силы, порождающей это перемещение. В общем случае связь между силой 
и соответствующей ей упругому перемещению 
нелинейна, поэтому жесткость 
следует измерять отношением приращения деформирующей силы 
к приращению перемещения 
, измеренному в направлении ее действия
= 
.
Жесткость измеряется в килоньютонах на миллиметр (кН/мм).
Сила резания вызывает упругие отжатия (деформации) элементов технологической системы, а колебания силы резания приводят к постоянному изменению упругих отжатий. Общая картина деформирования системы показана на рис. 2. Режущий инструмент настроен на выполнение размера 
. Однако как только начинается процесс резания и появляется сила 
, технологическая система деформируется, центр 
заготовки упруго перемещается в положение 
на расстояние 
, а инструмент – на расстояние 
. Поэтому станок будет обтачивать заготовку диаметром 
. Такая ситуация характерна для определенного момента времени. В следующий момент силовая картина изменится, так как постоянно меняется сила резания. Поэтому упругие перемещения и нельзя полностью компенсировать предварительной настройкой технологической системы.
Рис.2. Схема определения упругих
деформаций технологической системы
При определении жесткости перемещение 
измеряется в направлении, перпендикулярном к обрабатываемой поверхности, и в расчет вводится нормальная составляющая 
силы резания. В качестве приближенной характеристики технологической системы используют среднюю жесткость для данного диапазона изменения силы
= 
. (1)
Эксперименты показывают, что жесткость зависит от направления действия силы резания, поэтому необходимо учитывать также ее составляющие 
и 
. В связи с этим при экспериментальном определении жесткости технологическую систему следует нагружать системой сил, близкой к эксплуатационной.
Свойство технологической системы упруго деформироваться под действием силы называется податливостью. Податливость численно равна величине обратной жесткости и измеряется в миллиметрах на килоньютон (мм/кН)
= 
. (2)
Суммарная деформация системы равна сумме деформаций отдельных элементов этой системы, приведенных к точке и направлению, принятым при измерении жесткости
.
Аналогично можно определить суммарную податливость системы по формуле
. 
Последнее выражение позволяет найти суммарная жесткость системы через жесткости отдельных звеньев системы
. (3)
В случае обработки заготовки на токарном станке при положении резца на расстоянии 
от передней бабки жесткость станка 
в сечении, где располагается резец, определяется по формуле
(4)
где 
– длина заготовки; 
и 
– жесткости задней и передней бабок, измеренные на заднем и переднем центрах соответственно; 
– жесткость суппорта; 
– жесткость резца.
При обработке нежестких валов необходимо также учитывать их деформацию, во многом зависящую от способа крепления заготовки на станке. Жесткость гладкого вала, консольно закрепленного в патроне может быть найдена по формуле
= 
(5)
где 
– длина выступающей из патрона части вала; 
– модуль упругости;
– момент инерции сечения заготовки.
Жесткость гладкого вала закрепленного в центрах значительно выше и ее минимальное значение при положении резца в середине вала составляет
= 
(6)
Жесткость вала закрепленного в патроне и поддерживаемого задним центром еще выше и ее минимальное значение равно
= 
(7)
Момент инерции сечения вала диаметром 
вычисляется по формуле
. (8)
Жесткость технологической системы во времени не является постоянной величиной. Значения характеристик жесткости станка в статическом состоянии и во время работы неодинаковы. В работающем станке возникают вибрации, толчки и удары, при наличии которых силы трения в стыках деталей уменьшаются, и зазоры между деталями выбираются при меньших нагрузках.
Как правило, заготовки имеют ступенчатую форму, поэтому деформации таких валов следует рассматривать как деформации ступенчатых балок. Для упрощения расчетов пользуются приведенным диаметром 
. Для деталей типа валов с разносторонним расположением ступеней (рис. 3, а)
= 
для валов с двухсторонним расположением ступеней (рис. 3, б)
где 
– число ступеней.
Рис.3. Виды ступенчатых валов
Существенное изменение жесткости станка вызывает его нагрев. Так, например, жесткость шпиндельной бабки круглошлифовального станка, составлявшая при нормальной температуре 15,1 кН/мм, через 30 минут его работы на холостом ходу достигала 22,4 кН/мм, т. е. возросла на 44%. Жесткость шпинделей станков также неодинакова в радиальном направлении.
Учитывая, что жесткость технологической системы переменна и ее значение зависит от многих факторов, проявление которых невозможно предвидеть заранее, ее характеристику следует отнести к разряду случайных величин.
Вследствие рассеяния значений припусков и характеристик свойств материалов заготовок, например твердости, значения сил резания будут также рассеиваться от 
до 
. Если при этом учесть, что значения жесткости технологической системы случайны и подлежат рассеянию от 
до 
, то даже при стабильном рассеянии значений силы резания, значения поля 
рассеяния упругих перемещений и координаты 
его середины не будут оставаться постоянными. Изменения характеристик рассеяния упругих перемещений в связи с изменением состояния технологической системы показаны на рис. 4, а. Заштрихованный участок диаграммы представляет собой поле 
рассеяния значений жесткости технологической системы. Постепенное увеличение жесткости технологической системы, которое может быть вызвано ее нагревом, будет сопровождаться уменьшением мгновенного поля 
рассеяния размеров 
(рис. 4,б) и смещением центра группирования 
к нижней границе поля допуска 
.
а) б)
Рис.4. Зависимость значения и положения поля рассеяния упругих
перемещений от жесткости технологической системы
Неравномерный припуск, снимаемый с поверхности заготовки, неоднородные свойства материала в различных частях заготовки, неодинаковая жесткость технологической системы при обработке заготовки в разных ее сечениях приводят к отклонениям формы обработанной поверхности детали. Например, удаление неравномерного припуска с поверхности заготовки (рис. 5) будет сопровождаться изменением силы резания. Ее изменениям будут соответствовать изменения упругих перемещений в технологической системе. Вследствие этого возникнут отклонения формы обработанной поверхности в продольном сечении детали 
, в определенной мере повторяющие форму поверхности заготовки. Произойдет так называемое копирование формы поверхности заготовки с ее уточнением.
Рис.5. “Копирование” формы заготовки в продольном сечении
По тем же причинам копирование формы поверхности заготовки наблюдается и в ее поперечном сечении. Если поверхность заготовки будет иметь отклонение от круглости, например эллипсность (рис. 6), то поверхность детали, полученная в результате обработки, будет иметь отклонение того же вида, но меньшего значения.
Рис.6. “Копирование” формы заготовки в поперечном сечении
Отношение одноименных погрешностей заготовки 
и обрабатываемой детали 
называется уточнением:
= 
. (9)
Величина обратная уточнению называется коэффициентом уменьшения погрешности
= 
(10)
При обработке заготовки вала (рис. 7, а), установленной в центрах (передний центр рифленый) токарного станка, причинами отклонений формы поверхности вала в продольном сечении будет являться переменная жесткость технологической системы по мере перемещения инструмента от задней к передней бабке станка.
В сечении заготовки, отстоящем от переднего центра на расстоянии , упругое перемещение в технологической системе под воздействием силы складывается из перемещений 
центров станка, самой заготовки из-за ее деформации 
, суппорта 
и резца 
:
+ + + .
По аналогии с перемещением жесткой балки на двух упругих опорах будем иметь
(11)
где 
жесткость передней бабки, измеренная на переднем центре; 
жесткость задней бабки, измеренная на заднем центре.
Рис.7. Образование упругих перемещений в технологической системе
при обработки жесткого вала
С изменением координаты упругое перемещение центров станка будет непостоянным. Наибольшие перемещения задний и передний центры будут иметь соответственно в моменты врезания резца в заготовку и завершения процесса резания. Поэтому по мере перемещения резца от задней бабки к передней податливость центров будет изменяться, и заготовка будет поворачиваться, огибая параболическую кривую. Это приведет к погрешности формы поверхности детали.
На погрешность формы, созданную податливостью центров, наложится погрешность формы из-за нежесткости самой заготовки и ее прогиба под действием силы (рис. 7, б). Прогиб вала в месте приложения силы
(12)
где 
модуль упругости материала заготовки; 
момент инерции сечения заготовки.
Таким образом, из-за податливости центров передней и задней бабок станка и нежесткости самой заготовки погрешность формы обрабатываемой поверхности вала является неизбежным явлением. Ее можно уменьшать, повышая жесткость технологической системы, но от нее нельзя избавиться, так как ни станок, ни заготовку нельзя сделать абсолютно жесткими.
На всей длине вала отклонения и будут дополняться упругими перемещениями суппорта и деформациями резца. Таким образом, упругое перемещение в технологической системе на расстоянии от передней бабки
(13)
где 
жесткость суппорта, 
жесткость резца.
Силу определяют расчетным путем исходя из условий обработки. Для этого используют эмпирическую формулу
(14)
где 
коэффициент, характеризующий условия обработки; 
глубина резания; 
– подача; 
– скорость резани; 
твердость обрабатываемого материала по Бринеллю; 
– показатели степеней, выбираемые в соответствии с конкретными условиями резания.
Следовательно, жесткость технологической системы существенно влияет на точность изготовляемых деталей. Вместе с тем от жесткости технологической системы зависит производительность процесса обработки. Стремясь удержать рассеяние упругих перемещений в допустимых пределах, приходится ограничивать колебания силы резания. Это может быть связано со снижением режимов обработки и увеличением числа рабочих ходов, т.е. с большими затратами времени на обработку.
