Вариант 2.
I. Даны множества А= {2; 6; 8 }, В={4; 8; 5}, С = {9;8}. Выполнить следующие действия над этими множествами:
а) А È С б) А Ç В в) В \ А г) АÈВ ÇС д) В x А
Решение:
а) А È С = {2; 6; 8; 9 }
б) А Ç В = { 8 }
в) В \ А ={4; 5}
г) АÈВ ÇС = { 8 }
д) В x А={(4,2); (8,2); (5,2); (4,6); (8,6); (5,6); (4,8); (8,8); (5,8)}
II. Построить три круга, изображающих три попарно пересекающихся множеств А, В и С.
С помощью кругов Эйлера проверить справедливость заданных равенств.
Для каждой части равенства (А È В) \ С = (А \ С) È (В \ С) сделать отдельный рисунок. На рисунке четко выделить границу множеств, полученных в правой и левой частях равенства.
Решение:
Левая часть равенства
Правая часть равенства
III. а) Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8 человек занимаются и в той, и в другой секции. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секции?
б) В школе 70 учеников. Из них 27 ходят в драмкружок, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов. 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не ходят в драмкружок? Множества учеников и отношение между ними проиллюстрировать кругами Эйлера.
Решение:
а) так как 12 школьников занимаются в волейбольной секции, а 15 – в баскетбольной, то всего человек занимающихся в секциях 12+15=27, но 8 человек занимаются и в той, и в другой секции, следовательно, 27-8=19 школьников занимаются в секциях. Таким образом 32-19=13 школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секции.
б) Найдем сколько учеников занимается только в драмкружке: 27-10-8-3=6, аналогично получаем, что только в хоре поют 32-10-6-3=13 человек и только увлекаются спортом 22-8-6-3=5 человек. Таким образом, 70- (10+3+6+8+6+13+5)=70-51=19 ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не ходят в драмкружок. Изобразим множества на кругах Эйлера:
IV. Дать определение основным геометрическим фигурам на плоскости и в пространстве (угол, развернутый угол, прямой угол, треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, остроугольный треугольник, тупоугольный треугольник, квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция, окружность, круг, параллелепипед, шар, пирамида, конус). Сделать чертеж всех приведенных геометрических фигур и макет одной пространственной фигуры.
Решение:
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла)
Угол, стороны которого лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами этой прямой, будем называть развернутым
Прямой угол равен 90°, является половиной развернутого угла
Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется остроугольным, если все три его угла — острые, то есть меньше 90°
Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов — тупой, то есть больше 90°
Квадрат — правильный четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам)
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Трапеция — четырёхугольник, у которого только пара сторон параллельна.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, удалённых от некоторой точки — центра окружности — на заданное расстояние, называемое радиусом окружности.
Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга.
Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.
Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.
Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.
Конус – тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.
V. Дать определение понятию «текстовая задача»? Привести собственный пример текстовой задачи. Для приведенной задачи указать:
- структуру
- основные этапы решения
- метод решения
- математическую модель
вспомогательные модели (хотя бы две).
Решение:
Текстовая задача – описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий.
Задача.
Лодка плыла по течению реки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч. Найти собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой пройден путь 41 км.
Структура
объект – лодка
величина – скорость
единица измерения величины - километры в час
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть х км/ч – собственная скорость лодки, тогда по течению она плывет со скоростью (х+2) км/ч, а против течения – со скоростью (х_2) км/ч.
По течению реки лодка плыла 3ч 12 мин. Поскольку скорость выражена в км/ч, это время надо записать в часах. Имеем: 12 мин=12/60 ч=1/5 ч=0,2 ч. Значит, 3 ч 12 мин=3,2 ч. За это время со скоростью (х+2) км/ч лодкой пройден путь 3,2(х+2) км.
Против течения лодка плыла 1,5 ч. За это время со скоростью (х-2) км/ч лодкой пройден путь 1,5(х-2) км.
По условию весь ее путь составил 41 км. Так как он состоит из пути по течению и пути против течения, то получаем:
3,2(х+2)+1,5(х-2)=41.
Это уравнение – математическая модель задачи.
Второй этап. Работа с составленной математической моделью.
Как всегда, на этом этапе думаем только о том, как решить модель – уравнение, а не о том, откуда эта модель взялась. Выполним в левой части уравнения умножение одночлена 3,2 на двучлен х+2, одночлена 1,5 на двучлен х-2, а затем полученные многочлены сложим:
3,2х+6,4+1,5х-3=41;
4,7х+3,4=41;
4,7х=41-3,4;
4,7х=37,6;
х=8.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т.е. чему равен х? Но ответ на этот вопрос уже получен: х=8.
Ответ: собственная скорость лодки 8 км/ч.
VI Назвать единицы измерения величин, указанных в таблице.
| длина | масса | ширина | объем | время | высота | количество |
| Миллиметры Сантиметры Дециметры Метры Километры | Граммы Килограммы Центнеры Тонны | Миллиметры Сантиметры Дециметры Метры Километры | Куб. Миллиметры Куб. Сантиметры Куб. Дециметры Куб. Метры Куб. Километры | Секунда Минута Час | Миллиметры Сантиметры Дециметры Метры Километры | Штук Единицы массы Единицы длины Единицы времени |
VII Сравнить величины
| а) 56 мини0,6 ч | в) 0,08 ми0,8 дм |
| б) 1,5 сми0,15 дм | г) 1,25 гаи125 м2 |
Решение:
а) так как 1 час = 60 мин, то 
, следовательно, 56 мин > 0,6 ч
б)так как1 дм = 10 см, то 
, следовательно 1,5 см = 0,15 дм
в)так как1 м = 10 дм, то 
, следовательно 0,08 м = 0,8 дм
г)так как1 га = 10000 м2, то 
, следовательно 1,25 га > 125 м2
VIII Назвать объект, его величину, численное значение, единицу измерения величины в каждом из следующих предложений:
| а) Глубина оврага 2 м. б) В корзине 8 кг 300г слив. в) В коробке 10 карандашей. | г) В сервизе 6 тарелок. д) Рост девочки 1 м 20см. е) Площадь огорода 5 соток. |
Решение:
а) объект – овраг
величина –глубина
численное значение - 2
единица измерения величины - метры
б) объект – корзина слив
величина – вес
численное значение - 8 кг 300г
единица измерения величины - килограмм, граммы
в) объект – коробка карандашей
величина – количество
численное значение - 10
единица измерения величины - карандаш
г) объект – сервиз
величина – количество
численное значение - 6
единица измерения величины - тарелка
д) объект – девочка
величина – рост
численное значение - 1 м 20 см
единица измерения величины - метры, сантиметры
е) объект – огород
величина – площадь
численное значение - 5
единица измерения величины - сотка
