численное дифференцирование. Конечно-разностная аппроксимация.

Задача Коши для дифференциального уравнения 1 го порядка. Формулы Эйлера и Рунги-Кутты.

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

y’=f(x,y)

y(x₀)=y₀

Формулы Эйлера.

Метод Эйлера - наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

Формулы РунгЕ-Кутты.

 

Математические системы. Mathcad

Математические системы предназначены для численных, так и для аналитических (символьных) вычислений.

Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.

Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто испо

Среди возможностей Mathcad можно выделить:

1.Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами

2.Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)

3.Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте

4.Выполнение вычислений в символьном режиме

5.Выполнение операций с векторами и матрицами

6.Символьное решение систем уравнений

7.Аппроксимация кривых

8.Выполнение подпрограмм

9.Поиск корней многочленов и функций

10.Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей

11.Поиск собственных чисел и векторов

12.Вычисления с единицами измерения

численное дифференцирование.Конечно-разностная аппроксимация.

Численное дифференцирование — совокупность методов вычисления значения производной дискретно заданной функции.

В основе численного дифференцирования лежит аппроксимация функции, от которой берется производная, интерполяционным многочленом. Все основные формулы численного дифференцирования могут быть получены при помощи первого интерполяционного многочлена Ньютона (формулы Ньютона для начала таблицы).

Основная идея метода заключается в замене частных производных их разностными аналогами. Рисунок 1.2 (графическая интерпретация некоторых конечно-разностных аппроксимаций для производных).

 

- правая схема

- левая схема

 

- центральная схема