Интерполяционные многочлены Ньютона.

Итерационные методы решения решения СЛАУ.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений и систем нелинейных уравнений можно использовать итерационные методы.В случае решения СЛАУ итерационные методы заменяют,а иногда дополняют прямые методы.Так как прямые методы при больших значениях n накапливают погрешности,то результаты, полученные прямыми методами можно уточнять итерационными методами.они дополняют прямые методы.При очень больших значениях n, если матрица системы слабо заполнена,то систему не имеет смысла решать прямыми методами, ее решают итерационными методами,так как они требуют меньше машинной памяти и выполнения меньшего числа операций.

Рассмотрим итерационные методы для системы из трех уравнений:

a11x1+a12x2+a13x3=b1

a21x1+a22x2+a23x3=b2 (1)

a31x1+a32x2+a33x3=b3

Систему (1) преобразуем следующим образом:из первого уравнения выразим х1.из второго х2,из третьего х3.

x2= (2)

x3=

Метод Якоби.

Выберем начальное приближение x1(0)=0,x2(0)=0,x3(0)=0.

Итерацию будем выполнять по формулам.

X1 =

X2(k+1) = (3)

X3(k+1) =

K=0,1,2,3,… Если при использовании формул (3) -->C , X2(k)àC2, x3àc3,при кà ,то С=(с1,с2,с3) будет точным решением системы (2) и, следовательно, системы (1).Если итерация сходится, то они сходятся к точному решению.

Условия сходимости метода Якоби. Если коэф. Главной матрицы системы (1) удовлетворяют условию диагонального преобладания,т.е.

то последовательности x1(k) x2(k) 3(k), в формулах (3) стремятся при кà к точному решению системы (1) при любом начальном приближении.

Условие остановки итерационного процесса. Если требуется получить решение с точностью Е(эпсель),то итерации можно прекратить при выполнении условия:

max 1

Метод Зейделя. Выберем начальное приближение: x1(0)=x2(0)=x3(0)=0,И итерации будем выполнять по следующим формулам:

X2(k+1)=

X3= Достаточное условие сходимости и условие остановки метода Зейделя полностью совпадает с аналогичными условиями метода Якоби.

32. Аппроксимация функций.Постановка задачи и способы ее решение.

для каждого х из множества Х поставить в соответствие у из некоторого множества У, то говорят, что задана функция у=f(х). Это множество Х называется областью определения, У область значения. При математич. Моделировании приходится выявлять функциональную зависимость м/у величинами,характеризующими исследуемый объект или процесс. Во многих случаях для выявления таких зависимостей приходится ставить эксперементы.В результате получают таблицу