I.Применение метода сеток для решения одномерных краевых задач. Формулы для определения производных в узловой точке по значениям функции в узлах интерполяции, расположенных симметрично с обеих сторон от рассматриваемого узла:
Производные, определяем по формулам (5.0), принято называть центральными. Формулы (5.0) используются при замене дифференциальных уравнений и граничных условий краевых задач уравнениями в конечных разностях.
В качестве примера рассмотрим изгиб непризматической балки, лежащей на сплошном упругом основании и загруженной поперечной нагрузкой интенсивности q(x) и осевыми растягивающими силами Т.
Дифференциальное уравнение изгиба для такой балки имеет вид
или
где
В дополнение к уравнению (5.1) следует написать по два граничных условия на каждом торцевом сечении балки (x=0; x=l). Однако граничными условиями займемся несколько позже, а сейчас остановимся на операции замены дифференциального уравнения системой уравнений в конечных разностях. С этой целью разобьем интервал (0, l) изменения переменной x на n равных участков точками 
и для каждого из внутренних точек 
выпишем конечно-разностную аппроксимацию уравнения (5.2). Для этого необходимо в уравнении (5.2) заменить входящие в него производные их приближенными центральными разностными формулами (5.0).
Однако если изменение жесткости балки 
задано графически, то переход от уравнения (5.1) к уравнению (5.2) становится затруднительным. В этом случае целесообразно, используя формулы (5.0), поступать с первым членом в уравнении (5.1) следующим образом:
но 
и, следовательно,
Имея выражение 
, уже без особых трудностей сможем выписать для уравнения (5.1) его конечно-разностную аппроксимацию: 
Система уравнений (5.4), наряду с перемещениями для внутренних узловых точек содержит неизвестные перемещения граничных (контурных) точек 
и внешних (законтурных) точек 
. В связи с этим система (5.4) должна быть дополнена еще четырьмя уравнениями, которые можно получить путем конечно-разностной аппроксимации граничных условий (по два на каждом торце балки).
При замене производных в граничных условиях их конечно-разностными соотношениями желательно использовать, как и при аппроксимации основного дифференциального уравнения, зависимости (5.0). Однако если в граничные условия входят члены, содержащие третью производную, то использование для этой производной соответствующей зависимости из (5.0) приводит к появлению узловых перемещений для двух законтурных точек. Поскольку два граничных условия на каждом торце балки могут дать лишь два дополнительных уравнения для определенных неизвестных в контурной и одной законтурной точках, то узловое перемещение во второй законтурной точке оказывается «лишним». Появления второй законтурной точки, а следовательно, и лишнего неизвестного узлового перемещения можно избежать, если для аппроксимации третьей производной на левом торце балки использовать зависимость, позволяющую выразить значение производной в узловой точке через значения искомой функции в узлах, расположенных справа, а для аппроксимации третьей производной на правом торце использовать соответствующую зависимость, которая выражает значение производной в контурной точке через значения искомой функции в узлах, расположенных слева, т.е. во внутренних узлах балки.
Рассмотрим несколько вариантов закрепления левого торцевого сечения балки:
а) левый конец балки свободно оперт на жесткую опору при х=0:
(5.5)
Используя из формул (5.0) выражение для второй производной вместо выражений (5.5), получаем два следующих разностных отношения (рис.5.1,а):
(5.6)
Рис.5.1
б) левый конец балки жестко заделан на жесткой опоре при х=0:
(5.7)
Разностные отношения условий (5.7) (см. рис.5.1, б)
(5.8)
в) левый конец балки оперт на упругую опору с коэффициентами податливости А и упруго заделан с коэффициентом упругой заделки при х=0:
(5.9)
Для первого граничного условия, если воспользоваться выражениями производных через центральные разности (5.0), получим
(5.10)
Во втором граничном условии для первой производной от функции 
воспользуемся формулой
Внося в полученное выражение значения вторых производных через центральные разности, получаем
С учетом (5.11) разностная аппроксимация второго граничного условия из (5.9) окончательно запишется (рис.5.2) следующим образом:
Аналогично можно произвести замену граничных условий балки на правом конце соответствующими конечно-разностными условиями.
Рис.5.2
|
Совокупность разностных уравнений (5.4) с граничными условиями, представленными в конечно-разностной форме, образует систему алгебраических уравнений, решение которых позволяет определить перемещения в узловых точках. По найденным значениям узловых перемещений определяются производные, а по ним и все интересующие нас элементы изгиба рассматриваемой балки, в том числе изгибающие моменты и перерезывающие силы.
Задача 5.1. Найти опорную реакцию 
и момент защемления 
. Балка переменной ширины 
.
Решение. Степень статической неопределимости балки 
В качестве неизвестного примем .
Моменты инерции и изгибающие моменты в сечениях 1,2,3 и 4 (они же узлы сетки МКР):
ВСТАВИТЬ ИНФОРМАЦИЮ ИЗ ЛЕКЦИИ!!
Разрешающие уравнения примут вид:
1) 
2) 
3) 
4) 
откуда 
(точное решение 0,363ql),
(точное решение 0,137 
).
Задача 5.2. Найти прогибы в точках 1,2 и 3 (они же узлы сетки МКР) для балки ступенчато-переменной жесткости.
Решение. Балка статически определима. Для точки 2 жесткость примем:
Задача 5.3. Составить систему конечно-разностных уравнений метода сеток для расчета на изгиб призматической балки жесткости EI, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q. Левый конец балки жестко заделан, а правый (x=l) свободен (рис.5.3).
Решение. Изгибрассматриваемой балки описывается дифференциальным уравнением:
(5.13)
при граничных условиях
(5.14)
Разобьем балку на пять равных участков (рис.5.4). Используя формулы (5.0), перепишем граничные условия (5.14) в конечно-разностном виде:
(5.15)
Уравнение равновесия (5.13) преобразуется для i -й узловой точки в следующее уравнение в конечных разностях:
(5.16)
Совокупность четырех уравнений (5.15) с уравнениями (5.16), написанными для точек i = 1, 2, 3, 4, образуют систему из восьми линейных алгебраических уравнений относительно восьми неизвестных узловых перемещений 
| |
| Рис.5.3 | Рис.5.4 |
II.Применение метода сеток для решения двухмерных краевых задач. Пусть на некоторую двухмерную область наложена ортогональная сетка, образованная семейством прямых:
В этой области задана некоторая функция f(x,y). Вводя для точки с координатами 
обозначение (i,k) (рис.5.5) и используя выражение для центральных производных (5.0), легко получить формулы для определения смешанных производных 
в любой узловой точке:
(5.17)
Погрешность формул (5.17) имеет порядок 0(
).
Задача 5.3. Решить методом сеток задачу об изгибе прямоугольной квадратной пластины, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q. Кромки пластины x=const свободно оперты, а кромки y=const жестко заделаны (рис.5.6).
Решение. Изгиб рассматриваемой пластины описывается дифференциальным уравнением
при граничных условиях
Наложим на пластину сетку с квадратными ячейками, размер сторон которых равен 
(рис.5.7). Легко видеть, что для рассматриваемой пластины перемещения в узловых точках, симметрично расположенных относительно координатных осей, одинаковы. Это позволяет сократить число неизвестных узловых перемещений.
Дополнительно к внутренним узловым точкам на рис.5.7 нанесен ряд наружных узловых точек, которые входят в разностные уравнения равновесия и граничные условия.
| ||
| Рис.5.5 | Рис.5.6 | Рис.5.7 |
Согласно граничным условиям w=0 при 
перемещения в узловых точках, расположенных вдоль контура пластины, равны нулю и из числа основных неизвестных исключаются.
Приступим к составлению системы разностных уравнений для определения десяти неизвестных узлов перемещений. Эта система объединяет разностные уравнения равновесия типа
(5.19)
для внутренних узловых точек 1, 2, 3, и 4 и разностные уравнения для тех граничных условий на опорном контуре пластины, которые остались невыполненными. При получении уравнения (5.19) мы воспользовались формулами (5.17).
Разностные уравнения равновесия (5.19), если учесть нумерацию узловых точек (см.рис.5.7), а также, что в рассматриваемом случае 
, принимают вид
Граничное условие 
в узловых точках кромки 
приводит к следующим разностным отношениям:
а граничное условие 
в узловых точках кромки 
- к разностным отношениям вида
Уравнения (5.20)-(5.22) образуют систему десяти линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых переменных 
Располагая значениями узловых перемещений, по приведенным выше формулам можно найти интересующие нас значения производных, а затем, используя соответствующие зависимости теории изгиба пластин, найти деформации, напряжения и оценить прочность рассматриваемой пластины.
III.Применение метода сеток для решения трехмерных краевых задач. Всеосновные положения метода сеток, изложенные выше для решения одномерных и двухмерных краевых задач, полностью сохраняются при рассмотрении трехмерных задач, таких как определение напряженно-деформированного состояния в объемных телах при действии на них заданных внешних нагрузок. Поэтому считаем возможным остановиться лишь на получении конечно-разностных формул для смешанных производных функции трех независимых аргументов x, y, z.
Пусть область изменения функции f(x, y, z) разбита на отдельные одинаковые параллелепипеды со сторонами 
с помощью плоскостей, параллельных координатным плоскостям. Из-за громоздкости в общем случае конечно-разностных формул для смешанных производных типа 
ограничимся выводом выражения для производной 
в точке с координатами 
:
Аналогично могут быть получены смешанные производные более высоких порядков для функции f(x, y, z).
