Задание: измерить теплоемкость стаканов и удельные теплоемкости латунного и дюралевого цилиндров
Оборудование и принадлежности: установка для проведения измерений.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Внешний вид установки показан на рисунке 1. На передней панели размещен экран 1, клавиатура управления 2 и датчик напряжения и силы тока 3. На задней панели расположен выключатель. Под теплоизолирующей крышкой 4 расположены два стакана с цилиндрами (рис. 2): первый 5 с латунным цилиндром (m=630г), второй 6 с дюралевым цилиндром m=217г). В основании каждого стакана установлен цифровой термометр для измерения температуры стакана (нагревателя) (THt1 и THt2). В верхнем основании цилиндров установлены такие же термометры для измерения температуры цилиндров (TVl1 и TVl2). Установка готова к работе (на экране высвечивается надпись «ENABLE»), если температура первого стакана превышает температуру воздуха (TAir) внутри прибора не более чем на 2 °С, в противном случае необходимо подождать, пока вентиляторы не охладят стакан 1. Поэтому, если предполагается работа с двумя стаканами, надо начинать со стакана 2. Управление прибором осуществляется при помощи клавиатуры (рис. 3).
Последовательным нажатием клавиши «ВЫБОР ОБРАЗЦА» осуществляется выбор стакана 1 или стакана 2. Клавишами Т ↕ можно изменять максимальную температуру нагревателя (от 50 °С до 80 °С). Клавиши Р↕ позволяют выбрать мощность нагревателя (от 60% до 100%). При нажатии клавиши «ВВОД» начнется нагрев выбранного стакана с последующим его охлаждением. Клавиша ПРОСМОТР позволяет после окончания эксперимента просмотреть полученные результаты. Клавиши ШАГ 1 и ШАГ 10 позволяют изменять шаг перемещения курсора. Перемещение курсора влево и право осуществляется с помощью клавиш 1/10 ► и ◄1/10. При подключенном принтере клавиша «ПЕЧАТЬ» позволяет распечатать графики, выведенные на экран. Клавиша «СБРОС» активирована до нажатия клавиши «ВВОД». То есть, процесс нагрева или охлаждения можно остановить только выключением прибора.
При нагревании на датчике 3 установки через каждые 4 с выводятся значения напряжения и силы тока нагревателя, что позволяет определить мощность и количество теплоты, выделившейся на нагревателе. Установка запоминает значения температуры стакана и цилиндра через каждые 4 с, строит графики зависимости температур стакана и цилиндра от времени. Эту информация отображается на экране.
В процессе работы на экране отображается следующая информация:
| V: 2 P = 1. 0 T m a x = 8 0 ° C |
| T h t 2 = + 4 0. 7 ° T v l 2 = + 4 1. 6 ° T a i r 2 = + 2 5. 4 ° |
V: 2 -номер стакана
P = 1. 0 -мощность нагревателя в %
T m a x = 8 0 ° C -максимальная температура нагрева
T h t 2 = + 4 0. 7 ° -температура нагревателя фактическая
T v l 2 = + 4 1. 6 ° -температура цилиндра
T a i r 2 = + 2 5. 4 ° -температура воздух вокруг стакана
В процессе остывания установка запоминает значения температуры стакана и цилиндра через каждые 2 с и строит графики зависимости температур стакана и цилиндра от времени. Эта информация также отображается на экране.
Нагреватель вмонтирован в дно стакана. Термометр стакана расположен рядом с нагревателем, его показания равны температуре нагревателя. Когда цилиндр вставлен в стакан, то температура нижнего основания цилиндра также равна температуре нагревателя, которую определяет термометр стакана.
Мощность нагревателя вычисляется по формуле
Ρ = I (U – αI) α = 0,33 Ом (1)
где I и U – сила тока и напряжение, показываемые датчиком 3.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
Общие сведения. Теплоемкостью тела называется физическая величина, равная отношению бесконечно малого количества теплоты, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры
. (2)
Из этого определения следует, что теплоемкость тела равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить телу для изменения его температуры на 1 K.
Теплоемкость зависит от массы тела и условий, в которых телу сообщается теплота и изменяется его температура. Например, теплоемкость газов при постоянном объеме значительно отличается от их теплоемкости при постоянном давлении.
Теплоемкость единицы массы тела называется удельной теплоемкостью тела
. (3)
Количество теплоты, отдаваемое в единицу времени нагретым телом (мощность тепловых потерь), прямо пропорционально разности температур между телом и окружающей средой:
Ps = a0(t –t0), (4)
где a0 – коэффициент теплового рассеяния. Пусть тело теплоемкости C, находящееся в воздухе температуры t0, получает теплоту от нагревателя мощности P. Запишем уравнение теплового баланса для бесконечно малого промежутка времени dt:
Pdt = Cdt + a0(t – t0)dt, (5)
Решение этого уравнения имеет вид:
. (6)
Если система теплоизолирована, т.е. коэффициент теплового рассеяния a0 = 0, то из (5) следует, что
. (7)
Пусть в теплоизолированной системе происходит теплообмен между двумя телами, начальные температуры которых равны t01 и t02 (t01 > t02).
соответственно теплоемкости и C1, C2 и. Уравнение теплового баланса для бесконечно малого промежутка времени dt можно записать в виде:
a(t1 – t2)dt = -Cdt1, (8)
a(t1 – t2)dt = cmdt2, (9)
где a – неизвестный коэффициент теплоотдачи первого тела, C – его теплоемкость, c и m – удельная теплоемкость и масса второго тела, t1 и t2 – температуры тел в данный момент времени. Из (8) и (9) получаем уравнение
(C +cm)a(t1 – t2)dt = -cmCd(t1 – t2), (10)
решение которого имеет вид
, (11)
где
(12)
время релаксации, то есть время, в течение которого разность температур уменьшается в е раз. Время релаксации находим из соотношения (11)
. (13)
Температуры тел
, (14)
, (15)
где tr – конечная, или равновесная температура тел.
Теория метода. Для измерения теплоемкости С стакана и удельной теплоемкости с цилиндра массой m сначала нагреваем стакан, цилиндр вынут из стакана и не нагревается. Затем цилиндр вставляем в стакан и закрываем теплоизолирующей крышкой. Между цилиндром и стаканом происходит теплообмен, пока их температуры не будут одинаковы.
При нагревании стакана количество теплоты, которое выделяет нагреватель, идет на нагревание стакана и частично рассеивается в воздухе. Особенности конструкции установки приводят к тому, что температура воздуха, окружающего стакан, будет повышаться. Поэтому изменение температуры стакана не будет в точности описываться уравнением (6).
Зависимость температуры стакана от времени будем аппроксимировать квадратичной параболической функцией
t = a0 + a1t + a2t2. (16)
Ограничившись первыми тремя членами разложения экспоненты (6) в ряд, получим
. (17)
Сравнивая (17) с (16), получим выражения для определения теплоемкости стакана и коэффициента тепловых потерь:
(18)
(19)
Определив значения температуры стакана t для трех моментов времени нагревания стакана t (в начале, середине и конце выбранного участка графика зависимости температуры от времени), получим три уравнения для определения коэффициентов a0, a1, a2.
Для более точного определения коэффициентов a0, a1, a2 необходимо применить метод наименьших квадратов. Пусть в эксперименте получен ряд значений температуры ti для соответствующих моментов времени ti, i = 1, 2, …N. Коэффициенты a0, a1, a2 нужно определить так, чтобы выражение
(20)
было минимальным. Для этого необходимо выполнение условий
, (21)
, (22)
. (23)
Введем обозначения:
, 
, 
, 
, 
, 
,
, 
, 
. (24)
Тогда
ti = a0 + a1ti + a2 zi, (25)
и из соотношений (21 – 23) получаем уравнения
a0 + <t>a1 + <z>a2 = <t>, (26)
N<t>a0 + S2a1 + T1a2 = S1, (27)
S2a0 + T1a1 + T2a2 = V1. (28)
для определения a0, a1, a2.
Для определения удельной теплоемкости цилиндра используем процесс релаксации (остывания) стакана с цилиндром. Стакан с цилиндром находятся в термостате. Пренебрегая тепловыми потерями, запишем уравнение теплового баланса для небольшого промежутка времени (оно следует также из формул (8) и (9)):
cmDt2 = -CDt1, (29)
где Dt1 и Dt2 – изменения температуры стакана и цилиндра за один и тот же промежуток времени. Отсюда находим удельную теплоемкость цилиндра
. (30)
По формуле (13) можно определить время релаксации стакана с цилиндром, а из (12) – коэффициент a:
(31)
УПРАЖНЕНИЯ
1. Включить установку.
2. Когда на экране появится надпись «ENABLE», нажать клавишу «ВЫБОР» и выбрать стакан 2.
3. Выбрать максимальные температуру нагрева стакана и мощность нагревателя, после чего нажать клавишу «ВВОД».
4. Записать значения напряжения и силы тока.
5. После окончания процесса нагревания, следуя указаниям установки, вставить цилиндр в стакан и закрыть крышку.
6. После окончания измерений со стаканом 2 выполнить пункты 2 – 5 со стаканом 1.
7. После окончания измерений снять координаты точек графика, передвигая курсор клавишами “> <” (рис. 3), или распечатать результаты, если подключен принтер.
8. Определить коэффициенты a0, a1, a2 уравнения (16) (по формулам (26) – (28) метода наименьших квадратов или методом трех точек графика t (t)). Из уравнений (18) и (19) вычислить теплоемкость и коэффициент тепловых потерь стаканов, из (30) – удельную теплоемкость цилиндров, из (13) и (31) – время релаксации и коэффициент теплоотдачи.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется теплоемкостью тела.
2. Дайте определение удельной теплоемкости тела.
3. От чего зависит удельная теплоемкость тела?
4. Что называется временем релаксации термодинамической системы?
5. Какие факторы влияют на точность измерений в данной работе?
ЛИТЕРАТУРА
1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Высш. шк., 1987. – 360 с.
2. Сивухин Д.В. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Наука, 1990. – 592 с.
