Движение в центральном поле.

Лекция 12. Задача двух тел.

Под задачей двух тел обычно понимают задачу о движении двух взаимодействующих тел в отсутствии внешних сил. Значение этой задачи велико: ее решение лежит в основе небесной механики и теории свободного движения спутников, в основе теории столкновений и рассеяния частиц.

В лабораторной системе координат радиус-вектор центра масс определяется соотношением или , где - радиусы-векторы масс , проведенные из начала координат, - масса системы.

Рассмотрим замкнутую систему двух материальных точек с массами и , потенциальная энергия взаимодействия которых зависит от расстояния между ними.

По определению (в системе центра) масс центром масс называется геометрическая точка, для которой сумма произведений масс на радиус векторы точек, проведенных из центра масс, равна нулю: .

Для двух тел с началом системы отсчета в центре масс имеем

, где .

Из этих двух уравнений находим , .

Заменяя в первом уравнении и , (где - радиус-вектор центра масс в лабораторной системе), получим . Дифференцирование этого выражения дает скорость движения центра масс .

В инерциальной системе отсчета движение точек описывается уравнениями

Сложив эти два уравнения, получим . После интегрирования имеем или .

Откуда , в частности

Центр масс изолированной системы движется равномерно прямолинейно или покоится относительно инерциальной системы отсчета. Поэтому система отсчета, начало которой совпадает с центром масс, а оси остаются параллельными самим себе, является также инерциальной системой. Эта система носит название системы центра масс (в отличие от лабораторной системы).

 

Сведение задачи двух тел к задаче одного тела.

Запишем уравнения движения в системе центра масс и .

Заменяя и в этих уравнениях, получим или , где .

Таким образом, задача о движении в системе центра масс двух тел m₁ и m₂ сводится к интегрированию уравнения для одного тела с воображаемой массой и последующего использования уравнений: и .

Точка m играет вспомогательную роль и называется приведенной массой. Траектории m₁ и m₂ подобны траектории точки m.

Сумма всех других характеристик двух точек – кинетической энергии, количества движения и момента количества движения - равны таковым для точки.

Формально задача двух тел сведена к задаче о движении тела с массой µ в центральном поле с неподвижным центром. Решив уравнение и определив зависимость можно найти законы движения каждого из тел.

 

Cтолкновение частиц.

Основой экспериментальных методов современной ядерной физики является изучение столкновения и рассеяния частиц.

Применим законы сохранения энергии и количества движения к исследованию распространенного и важного с практической точки зрения процесса столкновения частиц. Под столкновением будем понимать не только обычное соударение, но и любое взаимодействие частиц, описываемое с помощью центральных сил. Ограничимся случаем абсолютно упругого столкновения, в результате которого механическая энергия не меняется. Наиболее просто этот процесс можно исследовать в системе центра масс.

Как известно, в инерциальной системе отсчета полная механическая энергия и количество движения изолированной системы частиц, в которой нет диссипативных сил, сохраняются.

Пусть массы частиц и , а их скорости и в лабораторной системе. Тогда импульсы частиц и в СЦМ будут

и , где .

После простых преобразований получим

Таким образом, импульсы обеих частиц в СЦМ одинаковы по модулю и противоположны по направлению, т.е. суммарный импульс в СЦМ равен нулю.

 

Движение в центральном поле.

Рассмотрим движение во внешнем поле, потенциальная энергия в котором зависит от расстояния от некоторой определенной точки (центра) в пространстве. Такое поле называется центральным. Траектория точки в центральном поле сил есть плоская кривая. Это следует из закона сохранения момента количества движения относительно силового центра .

Поскольку векторы и взаимно перпендикулярны, постоянство означает, что при движении точки ее радиус-вектор остается в одной и той же плоскости.

Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле можно получить из законов сохранения энергии и момента количества движения.

(1)

(2)

Выражая из (2) и подставляя в (1), найдем значение

 

(3)

 

Разделяя переменные и интегрируя, получим

(4)

Эта формула в неявном виде определяет закон движения – зависимость от времени расстояния между силовым центром и движущейся частицей.

Для того, чтобы определить уравнение траектории , запишем (2) в виде

(5)

Подставим сюда из (3) и проинтегрируем: .

В общем виде задача решена.

Отметим некоторые особенности движения частицы в центральном силовом поле.

1. Из (2) видно, что никогда не меняет знака, т.е. угол φ всегда изменяется со временем монотонно.

2. Если положить , то из (1) и (2) можно получить следующее соотношение:

Решая это уравнение относительно r, можно определить точки, в которых радиальная скорость равна нулю. Однако это не означает остановку частицы, поскольку угловая скорость при в нуль не обращается.

Равенство соответствует точкам поворота и , в которых функция достигает минимального и максимального значений. Если область значений r ограничена условием , то движение частицы является инфинитным, она приходит из бесконечности и уходит в бесконечность.

Если же , то движение финитное и траектория целиком лежит внутри кольца, ограниченного окружностями с радиусами и .

3. Если движение финитно, то это значит, что траектория является замкнутой кривой. Она может бесчисленное количество раз достигать и , заполняя все пространство между граничными окружностями.

Существует лишь два типа полей, в которых все траектории финитных движений замкнуты. Это поля, в которых (например, гравитационное или кулоновское) и (например, центральное поле упругих сил).

4. Если силы, действующие на частицу являются силами притяжения, то при это не означает, что частица упадет на силовой центр.

Падение частицы на цент возможно, если потенциальная энергия быстро убывает при , т.е. должно быть , причем , либо при n>2.

 

Задача Кеплера.

При движении в гравитационном поле . Закон сохранения имеет вид или , так как , подстановка

дает: или , где .

При Е < 0 движение финитно: .

При Е ³ 0 движение инфинитно;

При Е = 0 частица на бесконечности имеет нулевую скорость, при скорость частицы на бесконечности конечна.

Уравнение траектории получается с помощью формулы (6). Подставляя в нее и производя интегрирование, получим

Выбирая начало отсчета угла так, чтобы , и вводя обозначения

и , будем иметь .

Это уравнение конической поверхности, где p и e – параметр и эксцентриситет траектории. Из аналитической геометрии известно, что при е<1 (Е<0) траекторией будет эллипс и движение финитно.

При е=1 (Е=0) частица движется по параболе.

При е>1 (Е>0) траекторией является гипербола. Вид траектории определяется начальными условиями.

 

Рассеяние частиц

Рассмотрим задачу об отклонении одной частицы массы m в поле неподвижного силового центра. Угол отклонения c частицы при ее пролете мимо центра .

Угол определяется интегралом

. (2)

 

Напомним, что r является корнем выражения, стоящего под знаком радикала.

При инфинитном движении удобно ввести вместо постоянных и другие - скорость и прицельное расстояние. Энергия и момент количества движения выражаются через эти величины: , и формула (2) приобретает вид

(3)

Вместе с соотношением (1) она определяет зависимость c от r. Пусть - число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы, лежащие в интервале c и c+dc.

Введем соотношение , (4)

где n - число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка. Это отношение имеет размерность площади и называется эффективным сечением рассеяния. Оно определяется видом рассеивающего поля и является важнейшей характеристикой рассеяния.

Связь и взаимооднозначна, если угол рассеяния является монотонно убывающей функцией прицельного расстояния. В таком случаев в заданный интервал углов и c+dc рассеиваются лишь те частицы, которые летят с прицельным расстоянием определенном интервале и .

Число таких частиц равно произведению n на площадь кольца между окружностями радиусами и , т.е. dN=2prdrn. Поэтому эффективное сечение равно ds=2prdr.

Чтобы найти зависимость эффективного сечения от угла рассеяния, перепишем это выражение в виде

.

Часто относят сечение не к элементу плоского угла , а к элементу телесного . Тогда телесный угол между конусами с углами рассеяния и c+dc есть . Поэтому

.

Формула определяет эффективное сечение в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции.

 

Формула Резерфорда.

Одно из важнейших применений полученных формул - рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле. Положив и производя интегрирование, получим

. Откуда . Так как , то .

Дифференцируя по и подставляя в , получим

 

или .

Это соотношение для эффективного сечения в центре инерции называется формулой Резерфорда.