Обчислення випадкової похибки вимірювання

Кафедра електромеханіки

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання домашніх завдань з курсу

ОСНОВИ МЕТРОЛОГІЇ

ТА ЕЛЕКТРИЧНІ ВИМІРЮВАННЯ»

для студентів спеціальностей

7.010104, 7.090603, 7.090141, 7.092203, 7.092204

усіх форм навчання

Кривий Ріг-2004

СклалаЧернякова С.М.

Відповідальний за випуск: Толмачов С.Т.

Рецензент Ільченко О.В.

Коротка анотація

Методичні вказівки до виконання домашніх завдань з курсу „Основи метрології та електричні вимірювання” для студентів спеціальностей 7.010104, 7.090603, 7.090141, 7.092203, 7.092204 усіх форм навчання складені ст. викладачем кафедри електромеханіки Черняковою С.М. і включають в себе задачі з основних тем дисципліни згідно робочих програм, основні теоретичні відомості та довідковий матеріал, що є важливим для студентів заочної та прискореної форм навчання.

 

 

Розглянуто на засіданні кафедри електромеханіки Протокол №1 від 3.09.04р.

Схвалено на вченій раді електротехнічного факультету протокол № 1 від 10.09.04р.

 

Задача 1

Обчислення систематичної похибки

Визначити сумарну систематичну похибку вимірювання та записати довірчий інтервал, в якому знаходиться дійсне значення вимірюваної величини. При вимірюванні величини Х в електричному колі з опором R показання приладу А класу точності g складають k -ту частину від кінцевого значення А_max шкали приладу.

Назва, тип приладу, основні метрологічні характеристики (група експлуатації, нормуюче значення, параметри вимірювального кола, нормальний і робочий діапазони частот) вказані у таблиці 1.1.

Робочі умови вимірювань: температура навколишнього середовища (t_{р ,} ^оC), напруженість зовнішнього магнітного поля (Н, А/м), кут відхилення приладу від положення вказаного на шкалі (Da, град); частота мережі, при якій виконуються вимірювання (f _р), вказані у таблиці 1.2.

Інші умови вимірювання нормальні. Відомо, що значення вимірюваної величини не змінюється.

Методичні вказівки

Перед виконанням задачі рекомендується вивчити теоретичний матеріал, ознайомитись з принципом дії, властивостями, основними метрологічними характеристиками приладу та робочими умовами вимірювань і записати їх.

При виконанні одноразових технічних вимірювань за результат вимірювання слід прийняти показання приладу А (А_вим = А_{ma x} × k), а оцінку похибки результату вимірювання визначити по систематичній складовій похибки на основі метрологічних та експлуатаційних характеристик використовуваного приладу.

Сумарна систематична похибка вимірювання у відносній формі визначається за формулою:

, (%), (1-1)

де d_осн, d_t, d_пр, d_f – відносні складові систематичної похибки відповідно: основна, температурна, методична, частотна;

d_a, d_м – похибки, зв’язані зі зміною відхилення положення приладу від робочого та впливом зовнішніх магнітних полів;

m - коефіцієнт, що залежить від вибраної довірчої ймовірності P: при P = 0,9 m = 0,95; при P =0,95 m = 1,11.

Визначення складових систематичної похибки.

1. Основну складову похибки d_осн у відносній формі розрахувати в залежності від форми, в якій представлений клас точності приладу.

Якщо клас точності представлений у формі зведеної похибки g, то

, (1-2)

де А_н, D - нормуюче значення та абсолютна похибка приладу.

Якщо клас точності представлений у вигляді відношення c/d, то

(1-3)

де с, d – числа, вказані в паспорті приладу,

А_вим - показання приладу,

А_max – вибрана межа вимірювання.

2. Методична складова похибки прямого метода вимірювання залежить від власного споживання потужності вимірювальним приладом з електричного кола, в якому виконуються вимірювання, і обчислюється за формулами:

, (1-4)

де R_V, R_A – вхідний опір вольтметра та амперметра.

3. Додаткові складові похибки вимірювання обчислюють, враховуючи, що:

а) градуювання та перевірка приладів виконується при нормальній температурі t^о_н = (20±2)^оС. Відхилення температури навколишнього середовища від нормальної в межах робочих температур на кожні 10^оС викликає температурну похибку d_t, значення якої вказується у паспорті до приладу і приведені в табл.1.2. (див. графу „примітка”). В тих випадках, коли ці дані відсутні, треба обчислити d_t в залежності від групи експлуатації приладу та різниці температур, при якій перевіряється прилад (t_н ^оС) і значенням робочої температури навколишнього середовища (t_р ^оС).

D t ^оС=(t_н - t_р)^оС.

для груп А, Б₁, Б₂, Б₃ (1, 2, 3, 4 групи)

, % (1-5)

для груп В₁, В₂, В₃ (5,6,7 групи)

, % (1-6)

б) робочий діапазон частот вказується у паспорті до приладу. Всі щитові прилади змінного струму експлуатуються при промисловій частоті 50 Гц і в багатьох випадках це значення на шкалі приладу не позначається. Для переносних лабораторних приладів частота, при якій можна експлуатувати прилад, вказується у паспорті і на шкалі приладу у такому вигляді, наприклад: 45¸65...200 Гц. Ця позначка означає, що

· 45-65 Гц – робоча номінальна область частот, для якої цей прилад призначений і додаткова частотна похибка в межах цих частот дорівнює нулю;

· 65...200 Гц – це розширена область частот і додаткова частотна похибка d_f, викликана зміною частот, не буде перевищувати значення основної похибки d_f = d_осн.

Використання приладу при частотах більших, ніж верхня межа розширеної області частот, приводить до додаткової частотної похибки d¢_f, що дорівнює основній (d¢_f = d_осн) при збільшенні частоти мережі на кожні 10 %.

в) відхилення приладу від його робочого положення в любому напрямку на кут a =5^о приводить до виникнення додаткової похибки d_a,, що не перевищує значення границі допустимої основної похибки (якщо a =10^о, то d_a =2 d_осн і т.п.);

г) зовнішнє магнітне поле напруженістю Н =400 А/м при несприятливих умовах викликає додаткові похибки d_м, вказані у паспорті до приладів і приведені у графі „Примітка”. Якщо ці дані відсутні, то незалежно від класу точності для приладів МЕС d_м =1,5%, а для приладів ЕМС та ЕДС – d _м=3%.

4. Обчислити абсолютне значення сумарної систематичної похибки вимірювання

, (1-7)

та записати довірчий інтервал, в якому знаходиться результат вимірювання

(А_вим ± D_S), Р

У кінцевій формі запису похибки вимірювання прийнято виражати числом не більш, ніж двома значущими цифрами.

Примітка. Варіант завдання вибрати по номеру залікової книжки. Якщо номер залікової книжки більше 40, тоді варіант вибрати (№_книжки – 40).

Література

Л1. §§ 5.1–5.2, 5.6, 8.2, с. 62-72, 101-102, 172-182.

Л2. §§ 5.4, 6.1, 6.2 с. 113-120, 128-150, 150-164.

Л3. §§ 2.2, с. 10-14.

Л4. §§ 3.2, 3.5–3.8, с. 86-106, 129-136, 138-148.

Л5. §§ 5.2–5.6, 6.2, с. 100-120, 126-127.

 

 

Таблиця 1.1. Відомості про прилади	Діапазон норма-льних та робочих частот, Гц		0¸106...2,5×106		50¸1000...5000	50¸1000...5000	45¸60...10000	45¸65 …500	45¸1000 …2000	–
Параметр ви-мірювального кола приладу, Ом		106	0,2	0,15	0,15	20×103		0,078 Ом 0,025 мГн
Клас точ-ності приладу, %		0,5	1,0	~1,5; –1,0	~1,5; –1,0	~1,5	0,2	0,2	4,0
Вимірювальна величина та межа вимірювання приладу		150 В	100 мА	5 А	5 А	30 В	100 В	5 А	100¸0¸100 мкА
Група експ-луата-ції
Тип приладу		С502	М346	Ц4317	Ц4317	Ц56	Д5015	Д5014	М4228
№ варіан- ту

 

Продовження табл.1.1.

20¸106

20¸2×106

10¸105

45¸20×106

50¸250... 500

400¸500

400¸500

45¸65 … 400

50¸2×106 …5×106

20¸100000

107¸1010

0,15

107

107

0,02

5×103

0,015

107

1,0

1,5

0,15/0,2

0,6/0,5

1,5

1,5

1,5

2,5

0,5

1,5

0,03/0,005

300 В

5 А

200 В

20 В

150 В

300 В

20 А

250 В

60 В

10 А

100 В

С700М

Т19

В7-22

В7-22

Ц1611

Д151

Д180

Д180

Е532

Т18

В7-28

 

Продовження табл.1.1.		–	–	45¸1000 …3000			45¸1000 …4000		40¸100000	45¸500...1000
		10×106	1,52 Ом 0,68 мГн	104		0,005Ом 0,9мкГн	RІ =0,12 RU =32000	10×106	RІ =0,015 RU =30×103
	0,01/0,005	0,06/0,02	0,2	1,5	0,5	0,2	2,5	1,5	0,2	2,5
	10 мА	100 В	0,5 А	300 В	(55–65) Гц	10 А	1000 Вт	100 В	750 Вт	(45–55) Гц
	Щ31	Щ1413	Д5014/3	Е365	Ц1426	Д5017	Д369	Ф5053 Електрон- ний вольтм	Д5016/1	Д146

 

Продовження табл.1.1.

50...2×106

45¸500...1500

40¸100000

45¸106

45¸1000...5000

20¸2×106..5×106

130¸×10000

40¸×105 ...106

40¸×105 ...106

45¸65...400

3×106

0,015

5×106

2,5×106

200×103

107

106

107

5×103

4,0

1,0

0,5

2,5

4,0

2,5

1,0

1,5

1,0

1,5

0,5

180–220 Гц

30 кВ

10 А

300 мВ

300 В

100 В

50 В

2500 В

10 В

3 мВ

75 В

Е8004

С196

Е525

В3-42 електрон.

В3-50 електрон.

Ц4360

Т16

С75

Ф5053 електрон.

Ф5053 електрон.

Е516

 

Табл.1.2. Умови роботи приладів	Примітка		dt=1.2%/10оС												dt=0,8%/10оС; dм=1,5% da=1,0%
k		0,7	0,8	0,6	0,9	0,8	0,8	0,7	0,8	0,8	0,7	0,6	0,8	0,8
a, град				–			–
f мереж, Гц		1×106							–		1×106	–	1×106
H, A/м						–				–
t, 0C														-40
Rкола, Ом
№ ва- ріанта

 

Продовження табл.1.2.		da45=1%;dм=1,5%	da45=1%;dм=1%	dt=0,8%/10оС; dм=1%; da45=1%								dt=0,5dосн/10оС; dм=1,5%		dt=0,5dосн/10оС; dм=2,5%
	0,8	0,8	0,9	0,7	0,8	0,8	0,7	0,8	0,8	0,9	0,9	0,8	0,8	0,6
						–	–	–
					106									2×105
	-20	-10	-10				-10						-20

 

Продовження табл.1.2.		da45=1%	dм=2,5%;dt=1,2%/10оС	dt=2%/10оС
	0,8	0,9	0,85	0,7	0,8	0,7	0,9	0,8	0,9	0,7	0,8	0,9	0,6
							2×106		3×106	6×105	6×105	6×105
										–	–	–
											-10

 

Задача 2

Обчислення випадкової похибки вимірювання

При вимірюванні електричної величини х проведено n рівноточних спостережень. Результати вимірювань, постійна систематична похибка ряду D _С та довірча ймовірність P визначення довірчих меж похибки результату вимірювання дані в таблиці 2.4.

Запишіть результати вимірювання.

Методичні вказівки

Відомо, що похибка вимірювання складається з систематичної та випадкової. Систематичну складову похибку можна визначити по формулам, графікам, діаграмам і т.п.

Випадкова похибка вимірювального приладу це складова основної похибки, що змінюється випадково по законам, що невідомі експериментатору.

Для оцінки випадкових похибок досить визначити числові характеристики – математичне сподівання та середньоквадратичне відхилення, але значення цих характеристик можливо обчислити тільки при нескінченному числі вимірювань. Практично число вимірювань n завжди обмежене і тому в цьому випадку обчислюють наближені оцінки математичного сподівання та середньоквадратичного відхилення.

Для визначення складової випадкової похибки виконують n (n ³10) рівноточних спостережень. Ці спостереження називають ще рівнорозсіяними, якщо вони є незалежними, однаково розподіленими випадковими величинами. Експериментатор повинен виконувати вимірювання при незмінних умовах (температурі і вологості повітря, частоті та напрузі мережі, зовнішніх магнітних полях) і тими самими приладами.

Гіпотеза про нормальне розподілення результатів випадкових спостережень приймається без перевірки.

Статистична обробка групи результатів спостережень при рівноточних вимірюваннях та нормальному розподілу виконується в такій послідовності. Обробку проміжних результатів доцільно записувати в таблицю 2.1, кількість строчок в якій відповідає кількості спостережень.

 

Таблиця 2.1

Результати обробки ряду спостережень

хі	х¢і	х¢і ¯		ρ і	ρ і 2	s	n і	S	D дов

Прийняті позначки

х_і – результат і -того спостереження (графа 1);

х¢_і – виправлений результат, який одержуємо після виключення систематичної похибки D_С із результатів спостережень

(графа 2) (2-1).

В 3 графу записати виправлені результати спостережень у неспадній послідовності х¢₁ ¯ £ х¢₂ ¯ £ х¢₃ ¯... £ х¢_n ¯

Середньоарифметичне значення ряду спостережень виправлених результатів

(графа 4) (2-2).

Цю величину приймають за оцінку результату вимірювання.

Випадкове відхилення ρ _і виправленого результату окремого спостереження від середнього арифметичного виправлених результатів спостережень

(графа 5) (2-3).

При обробці результатів обчислень та ρ_і перевірити умову, що

У графу 6 занести величину ρ _і ²

Середньоквадратичне відхилення результату спостереження (СКВ) характеризує ступінь розсіяння результатів спостережень навколо середнього арифметичного значення

, (графа 7) (2-4). Виключення з ряду спостережень анормальних результатів (грубих похибок).

Для цього необхідно обчислити коефіцієнти n₁ і n _n

, (графа 8) (2-5)

і порівняти їх з коефіцієнтом b (табл.2.2), що залежить від даного об’єму вибірки та прийнятого рівня значущості a.

a = 1 – P (2-6)

Таблиця 2.2

Граничне значення b при оцінці анормальності результату спостереження

a	n
0,05	1,15	1,46	1,67	1,82	1,94	2,03	2,11	2,18	2,23	2,29	2,33
0,1	1,16	1,42	1,60	1,73	1,83	1,91	2,03	2,03	2,09	2,13	2,17

Якщо n₁<b та n _n <b, всі спостереження вважаються нормальними.

Обчислити середньоквадратичне відхилення результату вимірювання

(графа 9) (2-9)

Довірчі межі випадкової похибки результату вимірювання – це межі інтервалу, в якому знаходиться випадкова похибка вимірювання із заданою ймовірністю.

Зв’язок з похибкою вимірювання неоднозначний і залежить від числа спостережень n, функції розподілу випадкових похибок та коефіцієнта розподілу Стьюдента t _{( n )} (табл.2.3).

, (графа 10) (2-10)

Таблиця 2.3

Таблиця коефіцієнта t_(n) розподілення Стьюдента

P	n -1
0,95	3,182	2,776	2,571	2,447	2,365	2,306	2,262	2,228	2,201	2,179
0,9	2,353	2,132	2,015	1,943	1,895	1,860	1,833	1,812	1,796	1,782

Результати вимірювань записати у стандартній формі:

.

Якщо n¢₁³b та n¢ _n ³b (або один з них), то результати спостережень х ¢₁¯ та х ¢ _n ¯ (або один з них), відповідно анормальні і їх необхідно виключити з ряду.

При зменшенні кількості спостережень в ряді треба знову обчислити , r _і, s, n₁, n _n, дані розрахунків привести в новій таблиці і перевірити на наявність грубих похибок.

Примітка. Варіант завдання вибрати по номеру залікової книжки. Якщо номер залікової книжки більше 45, тоді варіант вибрати (№_книжки – 45).

 

Література

Л1. §§ 5.3, 5.7, с. 76-84, 104-107.

Л4. § 2.2, с. 52-57.

Л5. § 4.1, с. 59-67.

 

 

Табл.2.4. Вихідні дані до задачі 2	Задана ймовір-ність, Р		0,9	0,95	0,95	0,95	0,95	0,95	0,95	0,9	0,9	0,9	0,9	0,95	0,95
Значення система-тичної похибки, DС		3,0	-4,0	-3,0	0,2	0,5	0,4	0,5	-0,3	-0,2	0,5	0,4	0,05	0,03
Виміряне значення випадкової величини xi	x 12					19,5	16,0					16,0		10,3	7,12
x 11					24,1	14,0	15,0	12,0	15,3	11,4	20,2	15,4	10,38	7,22
x 10						13,6	14,7	14,9	15,9	20,0	18,9	19,8	10,4	7,07
x 9					17,4		15,2	14,0	15,0	15,1	18,0	15,6	10,5	7,02
x 8					21,4	20,0	15,1	13,8	14,8	13,8	17,8	17,6	10,5	7,19
x 7					18,4	15,1	13,9	19,0	14,1	16,8	20,4	17,0	19,6	6,97
x 6					20,3	14,5	14,1	15,0	16,8	13,6	20,0	18,9	9,88	6,9
x 5					19,1	15,2	14,5	15,2	13,8	14,8	19,1	14,0	10,9	6,95
x 4					20,0	14,8	13,9	14,7	14,7	15,0	17,4	15,9	10,05	7,00
x 3					20,4	14,1	12,9	14,3	11,8	15,9	23,0	16,6	10,2	7,15
x 2					17,8	15,8	11,8	14,2	19,0	15,3	18,4	16,2	10,0	7,1
x 1					16,0	13,9	14,0	13,8	15,1	14,7	20,3	15,0	10,02	7,05
№ ва-рі-анта

 

Продолжение табл. 2.4.		0,95	0,95	0,9	0,9	0,9	0,9	0,95	0,95	0,95	0,95	0,9	0,95	0,95	0,95	0,95	0,95
	0,1	-3,0	-,03	-,05	-,05	-0,2	0,2	-2,0	0,1	-0,2	-0,3	0,09	4,0	-5,0	3,0	0,5
					13,8	12,9			10,7	10,1		8,3
	11,5		15,6	20,6	14,9	14,9	24,2		10,0	11,0	7,7	8,25				46,2
	12,0		19,8	18,9	14,4	14,0	21,8		11,0	11,0	7,8	8,15				45,0
	11,8		15,6	18,2	13,8	13,9	17,5		10,8	10,2	7,2	8,13				45,8
	11,9		17,0	18,0	12,0	11,9	21,6		10,4	10,4	7,1	8,07				45,6
	11,6		15,9	20,0	19,0	19,0	18,4		9,8	9,7	7,7	8,0				48,2
	12,0		14,9	20,5	15,0	15,5	20,36		10,9	10,4	7,4	8,15				45,8
	12,5		14,0	19,2	15,3	15,6	19,1		10,8	10,9	7,8	8,28				44,0
	13,0		15,9	16,5	14,8	14,1	20,5		10,3	10,9	7,5	8,40				48,2
	12,0		16,6	23,6	14,4	14,3	20,0		10,6	10,7	7,0	8,19				46,4
	12,3		16,2	18,4	14,6	14,2	17,9		10,3	10,5	7,9	8,12				45,2
	12,1		15,0	20,2	13,8	13,8	19,8		10,0	10,0	7,6	8,06				46,8

 

Продолжение табл. 2.4.		0,95	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9	0,95	0,95	0,95	0,95	0,95	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9
	0,5	-2,0	-0,4	0,3	-0,5	0,2	0,05	0,2	0,6	0,8	0,2	-0,2	0,5	4,0	0,5	0,5
			14,9	16,0		10,1	8,0	18,7		55,0	7,5		17,6
	56,0		15,0	20,2	11,9	10,7	8,02	14,0	46,8	56,0	8,3	9,9	15,4		27,2	12,2
	55,0		15,9	18,9	11,0	10,0	8,15	14,8	46,2	53,9	7,5	11,0	19,8		27,8	12,8
	55,2		15,4	18,0	11,8	9,5	8,14	14,2	45,0	53,8	7,3	10,3	15,8		26,9	11,9
	56,2		14,1	17,9	11,9	10,1	8,17	13,9	48,2	53,9	7,2	10,2	17,2		27,1	12,1
	57,9		14,6	20,4	11,6	11,9	8,18	12,0	47,4	56,0	7,3	9,9	19,0		27,7	11,8
	54,9		16,3	20,0	12,0	9,8	8,09	19,0	44,0	55,0	7,4	10,1	15,9		27,4	12,0
	52,0		13,4	19,5	12,1	10,9	8,05	15,5	48,2	54,9	7,5	10,0	15,0		27,8	11,9
	54,9		13,2	17,0	13,9	10,0	8,31	15,6	47,0	52,0	6,9	10,6	16,9		27,5	12,1
	57,0		11,4	23,0	12,0	10,2	8,26	14,9	46,4	57,9	7,6	9,9	17,6		27,0	11,9
	56,4		19,0	19,3	12,1	10,6	8,19	14,1	45,8	54,9	6,9	9,8	17,2		27,9	11,8
	55,3		15,5	20,7	12,5	10,9	8,15	13,6	45,6	54,6	7,0	9,8	16,0		27,6	12,2

Задача 3