me = π / 12.
▲
286. Случайная величина X в интервале (2, 4) задана плотностью распределения
\contr-1.zip-WinRAR \
Задание 5. Пусть Х – число выигрышных билетов. При чем, вероятность выигрыша одного билета р =0,7 (q= 1 –p= 0,3). Составим таблицу распределения вероятностей случайной величины Х, если куплено 3 билета.
Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Х.
Решение.
Случайная величина Х может быть равна 0, если нет выигрышных билетов,
1, 2 и 3, если есть билеты выигрышные.
Тогда вероятность того, что среди купленных билетов нет выигрышных по формуле Бернулли равна:
Аналогично найдем
;
;
.
Получим, что дискретная случайная величина X имеет таблицу распределения вероятностей.
| ||||
| 0,027 | 0,189 | 0,441 | 0,343 |
Вычислим 
, 
, 
.
Так как известна таблица распределения вероятностей, то воспользуемся формулой:
= 
= 1,66
Для вычисления найдем сначала 
:
= 
.
Дисперсию найдем по формуле:
= 
.
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле:
= 1,51.
Задание 7. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти параметр 
, функцию распределения 
, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
Вычислить вероятность 
.
Решение:
Так как все значения непрерывной случайной величины X принадлежат интервалу 
, то, используя 
,
Получим 
.
Для нахождения функции распределения воспользуемся формулой:
.
При 
.
При 
= 
.
При 
=1.
Таким образом, 
Найдем математическое ожидание, используя формулу
.
Дисперсию случайной величины найдем по формуле:
= 
= 
.
Зная дисперсию, найдем среднее квадратическое отклонение:
.
Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал 
:
= 
.
Задание 8. Дана выборка 2, 2, 1, 1, 1, 4, 5, 3, 1, 2, 5, 3. Построить вариационный ряд, статистическое распределение частот и относительных частот. Найти размах варьирования, выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсии, эмпирическую функцию.
Решение:
Вариационный ряд – последовательность значений , записанных в возрастающем порядке
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5.
Статистическое распределение частот и относительных частот:
| |||||
| |||||
| 1/3 | 1/4 | 1/6 | 1/12 | 1/6 |
=4.
Выборочная средняя: 
= 
.
Выборочная дисперсия: 
= 
.
Исправленная дисперсия: 
= 
.
Эмпирической функцией распределения называют функцию 
, определяющую для каждого значения 
относительную частоту события 
:
= 
, где 
− число вариант, меньших ;
− объем выборки.
Наименьшая варианта равна 1, поэтому 
=0 при 
.
Значение 
наблюдалось 4 раза, следовательно, = 
при 
.
Значение 
наблюдалось 4+3=7 раз, следовательно, = 
при 
.
При 
= 
.
При 
= 
.
Так как 
– наибольшая варианта, то =1 при 
.
= 
Задание 9. Даны результаты некоторого статистического наблюдения.
| № | ||||||||||
| у | 20+n | 10+n | 30+n | 20+n | 20+n | 30+n | 10+n | 20+n | 10+n | 30+n |
| x | 3+n | 2+n | 4+n | 2+n | 3+n | 5+n | 1+n | 3+n | 2+n | 4+n |
где n − номер варианта.
Например:
| № | ||||||||||
| у | 12 | 11 | 13 | 14 | 15 | 14 | 16 | 18 | 17 | 19 |
| x | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 10 | 11 | 12 | 14 | 15 |
Провести корреляционно-регрессионный анализ:
найти выборочное уравнение прямой лини регрессии у на х по данным, приведенным в таблице, проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости 
, найти коэффициент детерминации.
Решение.
Найдем выборочный коэффициент корреляции rв по формуле:
.
Найдем средние значения:
Получим:
,
.
Найдем наблюдаемое значение критерия:
.
Требуется проверить нулевую гипотезу Н о:
rв = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции.
По таблице критических точек распределения Стьюдента,
по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k = n – 2 = 8
найдем критическую точку
tкр (0,05; 8) = 2,31 двусторонней критической области.
Тнабл< tкр, 1,11 < 2,31
следовательно нет оснований отвергать гипотезу Н о,
это значит, что переменные х и у некоррелированы, то есть независимы.
0, х <0
2) Найти моду, медиану, МХ с.в. Х с плотностью f(x) = 3 х², 0 ≤ x ≤ 1
0, x >1
Задание 6. Решить уравнение 
.
Решение:
, 
, 
, 
.
Но – натуральное число и не меньше 4 (по определению сочетания и размещения).
Значит .
Ответ: 12.
