Крушняк Н.Т.
Методические указания
По выполнению домашнего задания № 2
«Оценка точности измерения плотности твердого тела»
по дисциплине «Прикладная метрология»
Москва
Домашнее задание № 2
“Оценка точности измерения плотности твердого тела”
Плотность твердого тела определяется косвенным измерением по формуле
r = 
,
где m – масса тела, V – объем тела.
Данная зависимость является степенной нелинейной функцией
r = m 
V 
с коэффициентами 
= 1 и 
= -1.
Результат измерения плотности
= 
,
где 
и 
- среднее арифметическое значение результатов наблюдений при измерении массы тела m и объема V
= 
; 
= 
,
где n 
и n 
- числа наблюдений при измерениях массы и объема.
Так как зависимость нелинейная, то для оценивания погрешности измерения используем метод линеаризации. Данный метод применим в том случае, если можно пренебречь остаточным членом R разложения функции (1) в ряд Тейлора. Остаточный член вычисляют по формуле
R = 
(Dхj)2 = 
.
Остаточным членом пренебрегают, если
R 
0,8 
= 0,8 
.
Погрешность измерения плотности содержит случайную и неисклю-ченную систематическую составляющие.
Случайная погрешность измерения плотности
e(P) = t × 
,
где t – коэффициент Стьюдента; – эмпирическое среднее квадратическое отклонение результата измерения плотности.
Так как зависимость r = 
степенная, то расчеты проводим в относительной форме
S(d 
) = 
= 
= 
,
где S2(dm) и S2(dV) – оценки дисперсий результатов наблюдений массы m и объема V, выраженные в относительной форме:
(dm) = 
; (dV) = 
;
и 
– эмпирические средние квадратические отклонения результатов наблюдений массы и объема
= 
; = 
.
Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения плотности в абсолютной форме равна
= S(
) × .
Неисключенная систематическая погрешность результата измерения плотности q(r) определяется неисключенными систематическими погрешностями измерения массы qm и объема qV.
Неисключенную систематическую погрешность результата измерения плотности определим в относительной форме
q(P) = 
= 
,
где - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р (при
Р = 0,95 = 1,1)
В абсолютной форме
q(P) = q(d 
.
Для определения полная погрешности результата измерения плотности вычисляем отношение 
.
При условии 
полная погрешность результата измерения плотности содержит как случайную ε(P), так и неисключенную системати-ческую θ(P) пгрешности и определяется по формуле
,
где 
, 
.
При условии 
пренебрегают неисключенной систематической погрешностью и принимают, что общая погрешность измерений равна случайной погрешности
.
При условии 
пренебрегают случайной погрешностью и принимают, что общая погрешность измерений равна неисключенной систематической погрешности
.
Пример. Плотность твердого тела определяется по результатам измерения массы тела m и его объема V
r = .
Масса тела измеряется методами точного взвешивания с применением набора образцовых гирь, погрешность которых не превышает 0,01 мг. Объем тела определяется методом гидростатического взвешивания с применением того же набора гирь.
Определить результат измерения плотности по следующим результатам наблюдений.
| m, г | 252,9119 | 252,9133 | 252,9151 | 252,9130 | 252,9109 |
V, см 
| 195,3799 | 195,3830 | 195,3790 | 195,3819 | 195,3795 |
| 252,9094 | 252,9113 | 252,9115 | 252,9119 | 252,9115 | 252,9118 |
| 195,3788 | 195,3792 | 195,3794 | 195,3791 | 195,3791 | 195,3794 |
Результаты расчетов представим в виде таблицы.
Таблица
| Масса тела m, г |  ,г
|  г 
| Объем тела V,
см
|  ,
см
|  ,
см 
| |
| 252.9119 252.9133 252.9151 252.9130 252.9109 252.9094 252.9113 252.9115 252.9119 252.9115 252.9118 | -1 +13 +31 +10 -11 -26 -7 -5 -1 -5 -2 | 195.3799 195.830 195.790 195.819 195.795 195.788 195.792 195.794 195.791 195.791 195.794 | +1 +32 -8 +21 -3 -10 -6 -4 -7 -7 -4 |
Определим средние арифметические значения результатов измерения массы 
и объема 
, а также эмпирические оценки дисперсий:
252,9120 г; 
195.3798 см ;
213.2 
10 
, г ;
180.5 10 , см 
. 
Оценки дисперсий в относительной форме
;
.
Результат измерения плотности
Для оценивания погрешности измерения используем метод линеаризации, но сначала надо проверить допустимость этого приема. Для этого следует вычислить остаточный член R по формуле
.
Определим частные производные
;
Частные производные будем вычислять в точке с координатами 
и 
, так как погрешности Dm и DV незначительны. Получим
или в относительной форме
При оценке 
и 
в качестве DV и Dm возьмем наибольшие отклонения от средних значений, наблюдавшиеся при измерении
; 
.
Тогда
;
.
Так как погрешности случайные, то их знак можно не учитывать. Поэтому
.
Проверим условия, позволяющие пренебречь остаточным членом
R < 0,8 
или в относительной форме
dR < 0,8 
где 
;
.
Вычислим
> 
.
Поэтому остаточным членом можно пренебречь.
Оценку среднего квадратического отклонения 
результата измерения плотности найдем в относительной форме
Откуда
г/см3.
Определим доверительные границы случайной погрешности измерения
плотности
где t = 2,23 при P = 0,95 и (n – 1) = 10.
Определим неисключенную систематическую погрешность результата измерения плотности. Так как qm = ± 0,01 мг и qV = ± 0,01 
, то неисключенная систематическая погрешность результата измерения плотности в относительной форме равна
в абсолютной форме
.
Вычислим отношение
< 0,8.
Так как 
< 0,8, то пренебрегаем неисключенной систематической погрешностью и принимаем
D(P) = e(P) = ± 0,000008 г/см3.
Результат измерения плотности
P = 0,95; n = 11.
Сравним полученный результат с результатом, получаемым при использовании приближенной оценки числа степеней свободы по формуле
.
Так как n1 = n2 = n = 11, то
.
При P = 0,95 и kэф = 21 коэффициент Стьюдента t = 2,08. Поэтому
ε(P) = 2,08∙3,5∙10-6 = 7,28∙10-6 г/см3.
Полученное значение ε(P) достаточно близко к предыдущему результату ε(P) = 7,8∙10-6 г/см3.
Приложение 1
Таблица П1
Значения коэффициента Стьюдента t
| Число степеней свободы k | t при доверительной вероятности Р, равной | |||
| 0,90 | 0,95 | 0,98 | 0,99 | |
| 6,31 | 12,71 | 31,82 | 63,66 | |
| 2,92 | 4,30 | 6,96 | 9,92 | |
| 2,35 | 3,18 | 4,54 | 5,84 | |
| 2,13 | 2,78 | 3,75 | 4,60 | |
| 2,02 | 2,57 | 3,36 | 4,03 | |
| 1,94 | 2,45 | 3,14 | 3,71 | |
| 1,89 | 2,36 | 3,00 | 3,50 | |
| 1,86 | 2,31 | 2,90 | 3,35 | |
| 1,83 | 2,26 | 2,82 | 3,25 | |
| 1,81 | 2,23 | 2,76 | 3,17 | |
| 1,80 | 2,20 | 2,72 | 3,11 | |
| 1,78 | 2,18 | 2,68 | 3,06 | |
| 1,77 | 2,16 | 2,65 | 3,01 | |
| 1,76 | 2,14 | 2,62 | 2,98 | |
| 1,75 | 2,12 | 2,58 | 2,92 | |
| 1,73 | 2,10 | 2,55 | 2,88 | |
| 1,72 | 2,09 | 2,52 | 2,84 | |
| 1,72 | 2,07 | 2,51 | 2,82 | |
| 1,71 | 2,06 | 2,49 | 2,71 | |
| 1,71 | 2,06 | 2,48 | 2,78 | |
| 1,70 | 2,05 | 2,47 | 2,76 | |
| 1,70 | 2,04 | 2,46 | 2,75 | |
| 1,64 | 1,96 | 2,33 | 2,56 |
Приложение 2
Варианты домашнего задания № 2.
№ 1
| m, г | 300,2354 | 300,2357 | 300,2394 | 300,2314 | 300,2368 | 300,2387 | 300,2325 |
| V, см
| 150,1263 | 150,1267 | 150,1253 | 150,1296 | 15,1241 | 150,1273 | 150,1260 |
№ 2
| m, г | 423,3642 | 423,3645 | 423,3635 | 423,3674 | 423,3618 | 423,3652 | 423,3627 |
| V, см
| 156,7348 | 156,7351 | 156,7342 | 156,7372 | 156,7327 | 156,7336 | 156,7363 |
№ 3
| m, г | 357,6374 | 357,6378 | 357,6367 | 357,6375 | 357,6358 | 357,6391 | 357,6346 |
| V, см
| 238,4249 | 238,4267 | 238,4253 | 238,4233 | 238,4251 | 238,4241 | 268,4243 |
№ 4
| m, г | 675,2136 | 675,2139 | 675,2141 | 675,2162 | 675,2127 | 675,2123 | 675,2131 |
| V, см
| 373,1187 | 373,1199 | 373,1183 | 373,1192 | 373,1169 | 373,1174 | 373,1176 |
№ 5
| m, г | 837,2347 | 837,2344 | 837,2349 | 837,2331 | 837,2364 | 837,2353 | 837,2338 |
| V, см
| 256,8204 | 256,8236 | 256,8209 | 256,8187 | 256,8199 | 256,8201 | 256,8207 |
№ 6
| m, г | 743,5451 | 743,5450 | 743,5483 | 743,5432 | 743,5453 | 743,5459 | 743,5448 |
| V, см
| 313,7321 | 313,7325 | 313,7317 | 313,7343 | 313,7309 | 313,7313 | 313,7334 |
№ 7
| m, г | 768,3327 | 768,3329 | 768,3321 | 768,3358 | 768,3088 | 768,3341 | 768,3316 |
| V, см
| 183,8116 | 183,8148 | 183,8101 | 183,8123 | 183,8113 | 183,8108 | 183,8134 |
№ 8
| m, г | 543,7834 | 543,7837 | 543,7831 | 543,7841 | 543,7827 | 543,7857 | 543,7811 |
| V, см
| 117,4371 | 117,4373 | 117,4368 | 117,4397 | 117,4351 | 117,4382 | 117,4365 |
№ 9
| m, г | 624,6712 | 624,6723 | 624,6705 | 624,6740 | 624,6703 | 624,6718 | 624,6728 |
| V, см
| 121,5314 | 121,5318 | 121,5309 | 121,5304 | 121,5321 | 121,5348 | 121,5330 |
№ 10
| m, г | 867,3241 | 867,3275 | 867,3243 | 867,3237 | 867,3221 | 867,3218 | 867,3254 |
| V, см
| 152,9672 | 152,9673 | 152,9669 | 152,9698 | 152,9684 | 152,9655 | 152,9681 |
№ 11
| m, г | 478,6493 | 478,6495 | 478,6489 | 478,6498 | 478,6471 | 478,6525 | 478,6507 |
| V, см
| 75,7356 | 75,7388 | 75,7367 | 75,7333 | 75,7362 | 75,7351 | 75,7141 |
№ 12
| m, г | 913,4556 | 913,4567 | 913,4593 | 913,4531 | 913,4542 | 913,4551 | 913,4561 |
| V, см
| 121,3088 | 121,3082 | 121,3091 | 121,3051 | 121,3108 | 121,3095 | 121,3090 |
№ 13
| m, г | 977,4248 | 977,4203 | 977,4250 | 977,4273 | 977,4670 | 977,4236 | 977,4254 |
| V, см
| 124,6715 | 124,6755 | 124,6693 | 124,6743 | 124,6702 | 124,6713 | 124,6718 |
№ 14
| m, г | 302,2354 | 302,2357 | 302,2394 | 302,2314 | 302,2368 | 302,2387 | 302,2325 |
| V, см
| 119,4371 | 119,4373 | 119,4368 | 119,4397 | 119,4351 | 119,4382 | 119,4365 |
№ 15
| m, г | 433,3642 | 433,3645 | 433,3635 | 433,3674 | 433,3618 | 433,3652 | 433,3627 |
| V, см
| 153,9672 | 153,9673 | 153,9669 | 153,9698 | 153,9684 | 153,9655 | 153,9681 |
№ 16
| m, г | 685,2136 | 685,2139 | 685,2141 | 685,2162 | 685,2127 | 685,2123 | 685,2131 |
| V, см
| 85,7356 | 85,7388 | 85,7333 | 85,7362 | 85,7351 | 85,7341 | 85,7367 |
№ 17
| m, г | 847,2347 | 847,2344 | 847,2349 | 847,2331 | 847,2364 | 847,2353 | 847,2338 |
| V, см
| 248,4249 | 248,4267 | 248,4253 | 248,4233 | 248,4251 | 248,4241 | 248,4243 |
№ 18
| m, г | 488,6493 | 488,6495 | 488,6489 | 488,6498 | 488,6471 | 488,6525 | 488,6507 |
| V, см
| 131,5314 | 131,5318 | 131,5309 | 131,5304 | 131,5321 | 131,5348 | 131,5330 |
№ 19
| m, г | 634,6712 | 634,6723 | 634,6705 | 634,6740 | 634,6703 | 634,6718 | 634,6728 |
| V, см
| 363,1187 | 363,1199 | 363,1183 | 363,1192 | 363,1169 | 363,1174 | 363,1176 |
№ 20
| m, г | 923,4556 | 923,4567 | 923,4593 | 923,4531 | 923,4542 | 923,4551 | 923,4561 |
| V, см
| 166,7348 | 166,7351 | 166,7342 | 166,7372 | 166,7327 | 166,7336 | 166,7363 |
№ 21
| m, г | 745,5451 | 745,5450 | 745,5483 | 745,5432 | 745,5453 | 745,5459 | 745,5448 |
| V, см
| 246,8204 | 246,8236 | 246,8209 | 246,8187 | 246,8199 | 246,8201 | 246,8207 |
№ 22
| m, г | 367,6374 | 367,6378 | 367,6367 | 367,6375 | 367,6358 | 367,6391 | 367,6346 |
| V, см
| 111,3088 | 111,3082 | 111,3091 | 111,3051 | 111,3108 | 111,3095 | 111,3090 |
№ 23
| m, г | 564,6556 | 564,6557 | 564,6593 | 564,6531 | 564,6542 | 564,6551 | 564,6561 |
| V, см
| 101,1187 | 101,1183 | 101,1192 | 101,1179 | 101,1177 | 101,1190 |
№ 24
| m, г | 427,6374 | 427,6378 | 427,6367 | 427,6375 | 427,6358 | 427,6391 | 427,6346 |
| V, см
| 216,4249 | 216,4267 | 216,4253 | 216,4233 | 216,4251 | 216,4241 | 216,4243 |
№ 25
| m, г | 957,4556 | 957,4567 | 957,4593 | 957,4531 | 957,4542 | 957,4551 | 957,4561 |
| V, см
| 211,3078 | 211,3072 | 211,3081 | 211,3041 | 211,3098 | 211,3085 | 211,3080 |
№ 26
| m, г | 314,2354 | 314,2357 | 314,2394 | 314,2314 | 314,2368 | 314,2387 | 314,2325 |
| V, см
| 121,4371 | 121,4373 | 121,4368 | 121,4397 | 121,4351 | 121,4382 | 121,4365 |
№ 27
| m, г | 657,1235 | 657,1238 | 657,1242 | 657,1262 | 657,1237 | 657,1221 | 657,1232 |
| V, см
| 264,2188 | 264,2197 | 264,2181 | 264,2167 | 264,2175 | 264,2193 | 264,2174 |
№ 28
| m, г | 823,6548 | 823,6542 | 823,6541 | 823,6530 | 823,6565 | 823,6557 | 823,6539 |
| V, см
| 168,9303 | 168,9338 | 168,9308 | 168,9286 | 168,9298 | 168,9305 | 168,9309 |
№ 29
| m, г | 755,6352 | 755,6345 | 755,6392 | 755,6330 | 755,6355 | 755,6368 | 755,6341 |
| V, см
| 412,5427 | 412,5423 | 412,5416 | 412,5453 | 412,5408 | 412,5415 | 412,5438 |
№ 30
| m, г | 578,4243 | 578,4238 | 578,4232 | 578,4245 | 578,4227 | 578,4263 | 578,4209 |
| V, см
| 227,9883 | 227,9865 | 227,9872 | 227,9898 | 227,9846 | 227,9884 | 227,9869 |
№ 31
| m, г | 673,4521 | 673,4532 | 673,4507 | 673,4554 | 673,4500 | 673,4519 | 673,4527 |
| V, см
| 94,6716 | 94,6723 | 94,6707 | 94,6701 | 94,6728 | 94,6757 | 94,6732 |
№ 32
| m, г | 981,6742 | 981,6787 | 981,6753 | 981,6734 | 981,6723 | 981,6713 | 981,6752 |
| V, см
| 146,2391 | 146,2385 | 146,2354 | 146,2407 | 146,2383 | 146,2341 | 146,2396 |
