Требуется вычислить интеграл вида

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Постановка задачи, общая характеристика методов

Требуется вычислить интеграл вида

,

(5.1)

где f (x) - подынтегральная функция, непрерывная на [ a,b ];

a,b - нижний и верхний пределы интегрирования.

Геометрически вычисление определенного интеграла интерпретируется как вычисление площади, ограниченной осью OX и графиком f (x) на промежутке [ a,b ] изменения х (рис.5.1). К численному вычислению интеграла (чис­ленному интегрированию) обращаются в случаях, когда невозможно аналитически записать первообразную интеграла через элементарные функции или если такая запись имеет очень сложный вид.

Рис.5.1. Геометрическая интерпретация определенного интеграла

Суть большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции f (x) аппроксимирующей функцией , для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, т.е.

,

где S - приближенное значение интеграла (5.1);

R - погрешность численного вычисления интеграла J.

При численном интегрировании независимо от выбранного метода необходимо вычислять приближенное значение S интеграла (5.1) и оценивать погрешность R. В большинстве методов промежуток интегрирования [ a,b ] разбивается на некоторое число n интервалов, на каждом из которых подынтегральная функция f (x) аппроксимируется и вычисляется частичный интеграл, а конечный результат S есть сумма всех частичных интегралов (рис.5.2).

Рис.5.2. Геометрическая сущность численного интегрирования

Рис.5.3. Зависимость погрешности от числа разбиений

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции.

1-я группа: методы Ньютона-Котеса. Они основаны на полиномиальной аппроксимации. Методы этой группы отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит количество узлов, в которых необходимо вычислять значения подынтегральной функции f (x). Алгоритмы этих методов просты и легко поддаются программной реализации.

2-я группа: сплайновые методы. Эти методы различаются типами выбранных сплайнов. Такие методы имеет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппроксимации применяются на многих этапах обработки данных.

3-я группа: методы Гаусса-Кристоффеля. Это методы наивысшей алгебраической точ­ности. Они используют не равноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования. Алгоритмы этой группы методов требуют большей оперативной памяти ЭВМ, чем алгоритмы 1-ой группы.

4-я группа: методы Монте-Карло. В них используется вероятностный, случайный выбор узлов аппроксимации.

5-я группа: это специальные методы, специализированные под данный вид подынтегральной функции. Они характеризуются высокой точностью, но и большой сложностью алгоритмов и программной реализации.

При увеличении числа n, т.е. при уменьшении длины интервала разбиения, погрешность аппроксимации R будет уменьшаться, но при этом будет возрастать погрешность суммирования R_s частичных интегралов. Начиная с некоторого N _o, эта погрешность становится преобладающей, и тогда суммарная погрешность = R+R_s численного интегрирования будет возрастать (рис.5.3.). Поэтому не следует считать, что неограниченное увеличение N будет давать все более точный результат.

Методы прямоугольников

Данные методы относятся к простейшим из класса методов Ньютона-Котеса. В них подынтегральная функция f (x) на каждом интервале разбиения заменяется полиномом нулевой степени, т.е. константой. Такая замена является неоднозначной, т.к. константу можно выбрать равной значению f (x) в любой точке данного интервала разбиения.

В любом случае значение частичного интеграла определяется как произведение длины интервала разбиения на выбранную константу, т.е. как площадь прямоугольника. В зависимости от способа выбора аппроксимирующей константы различают методы левых, средних или правых прямоугольников (рис.5.4).

Левые

Средние

Правые

Рис.5.4. Геометрическая интерпретация методов прямоугольников

Введем следующие обозначения: точку a на оси OX обозначим через x ₀, точку b - через x _n, а точки разбиения промежутка [ a,b ] - через x ₁, x ₂,..., x _n-1. Предполагается, что длина интервала разбиения постоянна на всем [ a,b ]. Обозначим ее через h:

; x _i = x _i-1 + h, i =1,2,..., n.

Тогда в методе левых прямоугольников площадь каждого i -го прямоугольника

Si = h f (xi), i = 0,1,2,..., n -1,

(5.2)

а для всего промежутка [ a,b ]: