Деление многозначного числа на разрядное число. 2 страница

- Прочитайте равенства второго столбика (из 10 вычесть 1, получится 9).

Во всех этих равенствах есть знак «-«, который читается как «минус». Это значит, что в равенствах второго столбика выполняется действие вычитания, и их можно прочитать так: «10 минус 1, равно 9».

2. а±2, а±3, а±4.

Уже на следующем уроке ставится задача обучения детей выполнению упражнений вида ž+1+1, ž-1-1. Это является непосредственной подготовкой к рассмотрению приемов прибавления и вычитания числа 2.

Учебник, М1М. Ч. 1, с.

- Сколько лягушек сидит в воде? (4).

- К ним прыгает еще одна. Сколько лягушек станет в воде? (4 да 1=5).

- Если еще одна лягушка прыгнет в воду, сколько будет всего лягушек? (5 да 1=6).

- Итак, сколько было лягушек в воде? (4).

- Сколько к ним сначала добавилось? (1). Сколько потом? (1). Сколько всего прибавилось? (2).

- Сколько всего стало лягушек? (6).

- Рассмотрите рисунок с треугольниками и подписи под ним. Расскажите еще раз, как найти значение выражения 4+1+1.

Таким образом, дети формулируют вывод: если прибавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 2.

При изучении случая а±2 вначале вспоминается состав числа 2, затем постепенно составляются таблицы «Прибавить 2», «Вычесть 2», которые подлежат заучиванию.

Учебник М1М, ч. 1, с. 76.

- Сколько игрушечных машинок стоит в гараже? Сколько машинок готовится въехать в гараж? Сколько машинок станет в гараже, когда в него въедет первая машина? Вторая машина?

- Ниже каждую машину обозначим кружком. Почему 6 кружков одного цвета, а 2 – другого? Рассмотрите запись 6+2 и объясните, как к 6 прибавить 2.

- Лена посадила на диван 6 кукол. Двух кукол она взяла в руки: сначала Пьеро, потом Мальвину. Сколько кукол осталось на диване? Как узнали? (6-2=4). Как считали? (6-1=5, 5-1=4).

- Каждую куклу обозначим кружком. Лена взяла одну куклу – зачеркнем 1 кружок, взяла вторую куклу – второй кружок.

- Рассмотрите рисунок с кружками и записи под ним. Объясните, как из 6 вычли 2.

Сначала прием проговаривается подробно: чтобы прибавить 2, прибавим сначала 1, потом еще 1; чтобы вычесть 2, вычтем сначала 1, потом еще 1. Впоследствии дети переходят к присчитыванию и отсчитыванию сразу по 2 (рассуждения – про себя, вслух – только результат).

Методика изучения случаев а±3, а±4 в целом такая же, как и а±2. Сначала вспоминается состав числа 3, затем числа 4. при этом число 3 представляется как сумма 2+1 или 1+2, а число 4 как сумма 2+2, 3+1, 1+3.

Представление чисел 3 и 4 суммами единиц нецелесообразно, т.к. увеличивается количество операций (5+4=5+1+1+1+1), а значит, возрастает вероятность ошибок.

Работа по изучению случаев а±3, а±4 заканчивается составлением таблиц сложения и вычитания. На последующих уроках основное внимание уделяется упражнениям на запоминание таблиц и состава чисел.

3. а+5, 6, 7, 8, 9.

В этих суммах второе слагаемое больше первого, прибавление его по частям осуществить трудно. Если сначала применить перестановку слагаемых, то все эти случаи сведутся к ранее изученным вида а+1, а+2, а+3, а+4. Например:

3+5=5+3=5+(2+1)=7+1=8

Чтобы применение приема перестановки было осознанным, целесообразно вначале раскрыть им суть переместительного свойства сложения.

Любое математическое правило можно ввести тремя способами:

1) нахождение значений целесообразно подобранных выражений;

2) решение задачи несколькими способами;

3) моделирование ситуации.

Например, предлагается следующая ситуация:

а) на левой тарелке 4 апельсина, а на правой – 3. Покажи, сколько апельсинов на двух тарелках.

Ученики выполняют схематический рисунок и записывают равенство, подсчитав количество апельсинов на двух тарелках.

в) теперь на левой тарелке 3 апельсина, а на правой – 4. Покажи, сколько апельсинов на двух тарелках.

Ученики также составляют схематический рисунок и записывают равенство.

4+3=7

3+4=7

 

 

Сравнивая рисунки и записи, дети помечают, что количество апельсинов на двух тарелках не изменилось.

Возможен и другой вариант моделирования переместительного свойства сложения:

Т=▲▲ Т+К=▲▲ œ œ œ

К=œ œ œ К+Т=œ œ œ ▲▲

Задание. Найти в учебниках математики страницы, на которых рассматривается переместительное свойство сложения. Как можно организовать деятельность школьников, используя предлагаемые иллюстрации и задания? Придумайте (подберите) задания, которые вы могли бы предложить при изучении переместительного свойства сложения.

После того как дети убедятся на нескольких конкретных примерах, что при сложении двух одинаковых чисел ответ получается один и тот же, в каком бы порядке мы их не складывали, полезно показать практическое применение этого вывода. Для этого рассматривается конкретный случай прибавления к меньшему числу большего, используя сначала известный уже способ прибавления по частям, а затем – способ перестановки слагаемых. Важно, чтобы дети осознали, в каких случаях новый способ облегчает вычисления.

Учебник, М1М, ч. 2, с. 15.

- Посмотрите на левый верхний рисунок. Сколько желтых книг на полке? Сколько синих книг на полке? Объясните, как Буратино и Чиполлино прибавили 5. Рассмотрите записи под левым рисунком.

- Рассмотрите правый рисунок. На полке стоят те же книги. Как в этом случае нашли сумму 2 и 5? Почему получили одинаковые ответы? (складывали те же слагаемые, их только поменяли местами, поэтому значение суммы не изменилось).

№ 1.

- Рассмотрите картинки. Слева лежит 1 красный кубик, а справа – 6 желтых. Эти кубики надо сложить вместе. Пьеро решил перенести желтые кубики к красному, а Буратино сделал по-другому. Кто нашел более легкое решение?

- Можно ли сказать, что если к 1 прибавить 6 или к 6 прибавить 1, то получатся одинаковые ответы?

- В случаях, когда второе слагаемое больше первого, имеет смысл переставить слагаемые (поменять их местами). Этот прием облегчает вычисления.

Для закрепления необходимо включать не только выражения, где второе слагаемое больше первого, но и такие, в которых перестановка слагаемых не имеет смысла (4+4, 7+3 и т.п.).

4. а-5, 6, 7, 8, 9.

На этом этапе изучается взаимосвязь между значением суммы и слагаемыми: если из значения суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое.

Чтобы найти значение выражения 10-8, надо число 10 заменить суммой чисел 8 и 2 и вычесть из нее одно из слагаемых – 8, получится другое слагаемое – 2.

Подготовительная работа к усвоению данной взаимосвязи проводится с самого начла изучения операций сложения и вычитания. С этой целью предлагаются следующие упражнения:

Ø по данному рисунку составить равенства;

Ø по одному и тому же рисунку составить задачу на сложение и вычитание;

Ø сравнить пары выражений (равенств).

Знакомству с взаимосвязью между слагаемыми и значением суммы отводится специальный урок.

Учебник, М1М. ч.2, с. 24, тема «Связь сложения и вычитания».

- На рисунке изображена полка с чашками. Сколько чашек красного цвета? Синего цвета? Сколько всего чашек? Прочитайте первое равенство, используя термины «первое слагаемое», «второе слагаемое», «значение суммы».

- Прикрыли левую дверцу. Оказались закрытыми 3 чашки. Какие чашки видны? Сколько синих чашек осталось неприкрытыми? Какое равенство записано рядом? Прочитайте его, но называйте числа так, как они назывались в первом равенстве (из значения суммы 5 вычли первое слагаемое 3, получили второе слагаемое 2).

Аналогично составляется и читается третье равенство.

На следующем уроке рассматриваются тройки взаимосвязанных равенств. Дети учатся из равенства на сложение составлять равенства на вычитание.

Примечание. Опыт показывает, что детям легче опираться не на пример-помощник из таблицы сложения, а на знание состава чисел.

Сначала рассматриваются случаи вида 6-œ, 7-œ.

Учебник, М1М, ч. 2, с. 28.

- Сколько мишек слева взялись за лапы и поехали кататься на роликах? сколько мишек станет слева, если к ним присоединится мишка в голубом костюме?

6 – это 5 и сколько?

- Если 6 – это 5 и 1, то сколько получится, когда из 6 вычтем 5? Какое число надо записать в рамочку в первом столбике? Почему? (6 – это 5 и1, значит, 6 без 5 будет 1).

Аналогично рассматриваются и другие случаи.

Конечной целью изучения сложения и вычитания в концентре «Десяток» является заучивание табличных случаев сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах 10.

 

 

2.3. Методика обучения сложению и вычитанию в пределах 100.

Задачи изучения темы:

1. ознакомить с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 100;

2. сформировать навык табличного сложения в пределах 20;

3. разъяснить свойства арифметических действий:

(a+b)+c, a+(b+c),

(a+b)-c, a-(b+c).

В обучении сложению и вычитанию в пределах 100 выделяют несколько этапов:

I. Обучение устному сложению и вычитанию в пределах 100:

а) табличное сложение и вычитание однозначных чисел (с переходом через десяток);

б) внетабличное сложение и вычитание чисел в пределах 100;

II. Обучение письменному сложению и вычитанию двузначных чисел.

По традиционной программе вычислительные умения формируются на основе рассмотрения частных случаев сложения и вычитания чисел. Рассмотрим все возможные виды сумм и разностей, изучаемых по традиционной программе.

Сложение

Рассмотрим все возможные случаи сумм в зависимости от разрядного состава входящих в них слагаемых: это суммы, у которых значения больше 10, но не больше 100.

Группы:

I. Суммы однозначных слагаемых: 2+9, 3+8.

II. Суммы, в которых одно слагаемое – двузначное число, другое - однозначное: 20+5, 22+5, 28+5.

III. Суммы двузначных слагаемых:

1. сложение круглых десятков (нумерационные случаи сложения): 20+30;

2. одно слагаемое заканчивается 0, а второе имеет ненулевой разряд единиц: 20+35;

3. оба слагаемых не заканчиваются 0, но при сложении не образуется дополнительный десяток: 22+35;

4. суммы, в которых при сложении образуется дополнительный десяток: 37+48, 87+13.

Вычитание

Выделим возможные виды разностей чисел в пределах 100:

1. уменьшаемое – двузначное число, вычитаемое – однозначное: 36-2, 30-4, 35-7;

2. уменьшаемое и вычитаемое – двузначные числа: 60-20, 36-20, 57-26, 52-24, 50-24.

1. Табличное сложение чисел в пределах 20

7+5=7+(3+2)=(7+3)+2=10+2=12

В начальном обучении математике прием сложения однозначных чисел с переходом через разряд включает следующие операции:

1. дополнение большего слагаемого до числа 10;

2. связана с представлением учащихся о смысле сложения и усвоения ими состава однозначных чисел. Опираясь на эти знания, учащиеся отвечают на вопрос – сколько единиц осталось во втором слагаемом после того, как выполнена первая операция;

3. оставшиеся единицы второго слагаемого прибавляются к числу 10.

Таким образом, для овладения вычислительным приемом необходимо прочное усвоение состава каждого числа в пределах 10 и состава двузначного числа из десятков и единиц (разрядного).

По программе 1-3 последовательно изучались случаи с одинаковым результатом: 9+2=11, 8+3=11, 7+4=11.

По программе 1-4 данные случаи рассматриваются в следующем порядке:

1. ž+2, ž+3,

2. ž+4,

3. ž+5,

4. ž+6,

5. ž+7,

6. ž+8, ž+9.

Затем все рассмотренные случаи сводятся в общую таблицу, которую учащиеся должны запомнить.

В таблице 20 случаев. Она включает сложение одинаковых слагаемых 6+6, 7+7, 8+8, 9+9 и случаи прибавления меньшего числа к большему. Для прибавления большего числа к меньшему используется переместительное свойство сложения.

2. Табличное вычитание чисел в пределах 20.

Для вычитания однозначного числа из двузначного в пределах 20 обычно используется 2 вычислительных приема.

12-5=12-(2+3)=(12-2)-3=10-3=7 12-5

 

2 3

12-5=(7+5)-5=7+(5-5)=7 12-5

7 5

 

В основе одного приема лежит понятие о взаимосвязи значения суммы и слагаемых и прочное знание таблицы сложения в пределах 10.

В состав этого приема входят следующие операции:

1. представление уменьшаемого в виде суммы двух слагаемых, одно из которых равно вычитаемому;

2. вычитание из данной суммы слагаемого, равного вычитаемому; в основе этой взаимосвязи лежит правило: если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то останется другое слагаемое.

В состав другого приема, который называют отсчитыванием по частям, входят операции:

1. вычитание из данного двузначного числа его разрядных единиц (в результате выполнения этой операции всегда получается 10);

2. представление вычитаемого в виде суммы слагаемых, одно из которых равно количеству разрядных единиц двузначного числа (в основе этой операции лежит знание состава однозначных чисел);

3. вычитание из 10 второго слагаемого этой суммы.

Случаи вычитания вводятся в следующем порядке.

Сначала дети рассматривают общие приемы табличного вычитания с переходом через десяток (М2М, ч., с. 26)

Кроме данных способов решения можно предложить и такие:

12-8 10-8=2

10+2 2+2=4

 

12-8 12-10=2 (мы вычли 10, а надо было 8, мы вычли две лишние

10-2 2+2=4 единицы, прибавим их к ответу)

 

Затем последовательно рассматриваются случаи:

11-ž, 12-ž, 13-ž, 14-ž, 15-ž, 16-ž, 17-ž, 18-ž.

 

Сочетательное свойство сложения.

По традиционной программе тема «Группировка слагаемых».

Решение задачи:

- В магазин игрушек привезли мячи (на наборном полотне выставляются круги в произвольном порядке). На какие группы можно разделить эти круги?

 

Например:

 

Формулируется задача:

- В магазин игрушек привезли 4 больших синих мяча, 7 больших красных мячей и 3 красных маленьких мяча. Сколько всего мячей привезли в магазин?

По ходу чтения учитель записывает числа: 4, 7, 3.

- Что означает каждое из этих чисел в условии задачи? Как будем решать задачу? Что узнаем, найдя сумму 4 и 7? (сколько больших мячей привезли в магазин).

Учитель заключает сумму этих чисел в скобки.

- Сколько больших мячей привезли в магазин? (11). ₁₁

Учитель записывает число 11 над скобками. (4+7)+3

- Что мы узнаем, прибавив к этой сумме число 3?

- Эту задачу можно решить по-другому. Сколько синих мячей привезли в магазин? (4). Сколько красных мячей привезли в магазин? (7 больших и 3 маленьких, всего 10, записывается над скобками). ₁₀

4+(7+3)

- Как теперь узнать, сколько всего мячей привезли в магазин?

В ходе беседы сравниваются оба способа решения задачи. Важно подчеркнуть, что:

Ø в обоих случаях были одинаковые исходные данные (одни и те же слагаемые 4, 7 и 3);

Ø выполняя сложение, в одном случае заменили суммой первое и второе слагаемые, а во втором случае – второе и третье слагаемые;

Ø в результате сложения разными способами получились одинаковые результаты.

После решения целесообразно подобранных выражений формулируется вывод: при сложении двух и более чисел соседние слагаемые можно заменить их суммой.

Введение в начальный курс математики сочетательного свойства сложения позволяет познакомить учащихся с рациональными способами вычислений:

Вычисли удобным способом, переставляя слагаемые и заменяя их суммой: 36+58+4; 29+11+35+5.

3. Внетабличное сложение и вычитание.

Сначала рассматриваются устные приемы вычислений без перехода через десяток.

1. 30+20, 60-20

30+20=5060-20=40

3 дес. + 2 дес. = 5 дес. 6 дес. – 2 дес. = 4 дес.

Нумерационные случаи сложения и вычитания (рассматриваются в теме «Нумерация»). Теоретическая основа – сложение и вычитание в пределах 10, десятичный состав числа.

2. 36+2, 36+20

36+2=(30+6)+2, 36+20=(30+6)+20.

36+2

30 6 30+(6+2)

36+20

30 6 (30+20)+6

Теоретическая основа – правило прибавления числа к сумме.

Полезно сравнить значение суммы и первые слагаемые в каждом выражении и обратить внимание на то, что в первом случае (36+2) в ответе (38) столько же десятков, сколько в первом слагаемом (36), но изменилось количество единиц; а во втором случае (36+20) в ответе (56) столько же единиц, сколько и в первом слагаемом, но изменилось количество десятков.

В ходе выполнения практических действий дети приходят к выводу: единицы складывают с единицами, десятки складывают с десятками.

3. 36-2, 36-20.

36-2 36-20

30 6 30+(6-2) 30 6 (30-20)+6

Теоретическая основа – правило вычитания числа из суммы. Формулируется вывод: единицы вычитают из единиц, десятки – из десятков.

4. 26+4

26+4=(20+6)+4

26+4

20 6 20+(6+4)

Теоретическая основа – правило прибавления числа к сумме.

Рассуждение: «26 – это 2 дес. И 6 ед. К 6 ед. прибавлю 4 ед., получим 10 ед., или 1 дес. Было 2 дес., да еще 1 дес, получится 3 дес., или 30».

5. 30-4.

30-4

20 10 20+(10-4)

Теоретическая основа – правило вычитания числа из суммы.

6. 60-24.

60-24

20 4 (60-20)-4

Теоретическая основа – правило вычитания суммы из числа.

Затем изучаются случаи сложения и вычитания с переходом через разряд.

7. 26+7.

26+7

4 3 (26+4)+3

Теоретическая основа – правило прибавления суммы к числу.

- Подумаем, на какие числа удобно разложить второе слагаемое? Сколько надо прибавить к 26 до ближайшего десятка? Разложим 7 на 4 и сколько? Получим выражение 26+4+3. выполним сначала сложение чисел 26 и 4 (возьмем эту сумму в скобки). Получим круглое число – 30 и прибавим оставшиеся 3 единицы.

8. 35-7.

35-7 (35-5)-2

5 2

 

Теоретическая основа – правило вычитания суммы из числа.

Сначала необходимо вспомнить, как вычитают по частям в случаях вида 13-9.

- Сколько надо вычесть из 35, чтобы остались только десятки? (5). Мы вычли 5, а надо 7. Сколько еще осталось вычесть? 7 – это 5 и сколько?

Таким образом, при выполнении сложения и вычитания дети должны уметь объяснять ход вычислений, опираясь на изученные свойства арифметических действий (перестановка слагаемых, замена соседних слагаемых их суммой), а также на правила «единицы складывают с единицами, десятки – с десятками», «единицы вычитают из единиц, десятки – из десятков».

4. Письменное сложение и вычитание в пределах 100.

До 1987 г. по традиционной программе изучение приемов письменного сложения и вычитания начиналось только в к/ц «Тысяча». Введение письменного сложения и вычитания двузначных чисел было по-разному воспринято учителями. Одни считали, что выполнение действий «в столбик» окажет негативное влияние на формирование навыков устных вычислений. Другие отнеслись к этому положительно, т.к. при устном сложении и вычитании двузначных чисел с переходом через разряд учащимся приходится пользоваться приемами вычислений, содержащих большое количество операций. Это требует напряжения памяти и внимания, из-за чего не все дети могут справиться с вычислительной задачей.

Например: 49+23=49+(20+3)=(49+20)=3=69+3=72

В случае же письменного сложения алгоритмическое предписание имеет четкую структуру и краткую форму, а значит, более доступную детям. Кроме того, при выполнении письменных вычислений ученики постоянно используют навыки сложения и вычитания в пределах 10 и 20.

С письменным сложением и вычитанием школьники знакомятся во 2 классе, при этом внимание детей акцентируется на каждом частном случае сложения и вычитания. Для каждого случая дается образец действия, который затем закрепляется в процессе выполнения аналогичных упражнений. Случаи письменного сложения и вычитания двузначных чисел вводятся в следующем порядке.

1. Случаи сложения и вычитания, где нет перехода через разряд: 45+23, 57-26.

Учащиеся сначала решают устно, с подробной записью в строчку приема вычисления, затем учитель показывает запись в столбик, поясняя: числа записывают так, чтобы единицы второго числа были под единицами первого, а десятки под десятками.

Дается объяснение приема вычисления (учебник М2М, ч.2, с. 87):

₊ 45 Пишу: дес. под дес., ед. под ед.

23Складываю ед.: 5+3=8, пишу 8 под ед.

68 Складываю дес.: 4+2=6, пишу 6 под дес.

Читаю ответ: сумма равна 68.

 

Однако приведенный алгоритм не соответствует принципу научной достоверности в обучении, т.к. в нем не находит отражение разрядный состав числа (разряд – это место цифры в записи числа).

Таким образом, алгоритм сложения будет следующим:

1. Складываю ед. в разряде ед.

2. Записываю результат в разряде единиц ответа.

3. Складываю единицы в разряде десятков.

4. Записываю результат в разряде десятков в ответе.

5. Значение суммы равно…

2. Случаи, когда при сложении единиц в разрядах единиц или десятков получается 10: 37+53, 87+13.

3. Случаи сложения и вычитания с переходом чрез разряд: 37+48, 40-8, 52-24.

Перед изучением таких случаев необходимо повторить таблицу сложения и включить подготовительные упражнения вида:

14 дес. = 1 дес. ž ед.

25 = ž дес. 5 ед.

12 = ž дес. ž ед.

₊ 37 Пишу…

48Складываю ед. в разряде ед.: 7+8=15, 15 – это 5 ед. в разряде ед. и

85 1 ед. в разряде дес., записываю 5 в разряде единиц ответа, 1 ед. в разряде дес. запоминаю (запишу над разрядом дес.).

Складываю ед. в разряде дес.: 3+4=7, да еще 1 запоминали, получится 8, пишу 8 в разряд десятков ответа.

Читаю ответ…

4. Случаи вычитания, когда уменьшаемое – разрядное число: 40-8, 50-24.

Предварительно повторяется соотношение: 1 дес=10 ед.

_40 Пишу…

8Вычитаю ед. в разряде ед.: из 0 нельзя вычесть 8,беру

32 1 ед. в разряде дес., чтобы не забыть об этом, ставлю над разрядом дес. Точку. 1 ед. в разряде дес. – это 10 ед. в разряде ед. 10-8=2, пишу 2 в разряд единиц ответа.

Вычитаю ед. в разряде дес.: 4-1=3, пишу 3 в разряде десятков ответа.

Читаю ответ …

5. Случаи вычитания вида 52-24.