Понятие точки и линии является в геометрии основными, неопределяемыми.
Евклид: «Линия – длина без толщины»
Декарт: «Линия – траектория движущейся точки»
С точкой учащиеся знакомятся с первых шагов обучения в 1 классе. Готовясь к письму цифр, дети по образцу учителя выполняют такие задания: поставьте точку в середине клеточки (в левом нижнем углу клеточки и т.п.); соедините поставленные точки по образцу.
После знакомства с прямой линией дети учатся ставить точки на прямой, проводить прямые линии через 1, 2, 3 заданные точки, устанавливать положение точки относительно прямой (лежит на прямой, не лежит на прямой). После знакомства с отрезком, при этом дети убеждаются, что точка, лежащая на отрезке делит его на 2 отрезка.
Когда происходит знакомство с элементами многоугольника, учащиеся узнают о том, что вершины многоугольника – точки.
В 3 классе учащиеся знакомятся с обозначениями точек латинскими буквами (тема: «Обозначение фигур буквами»). Дети упражняются в обозначении точек буквами и чтении обозначенных буквами точек.
Например: по чертежу, данному на доске, выписать в 1ую строчку - точки, которые лежат внутри круга, во 2ую строчку - точки, которые лежат вне круга, в 3юю строчку -точки, которые лежат на границе круга.
Формирование представлений о линии (прямой и кривой) может проходить следующим образом.
Учитель: - Все вы видели, как падает лист, летит самолёт. Нарисуйте это на листочке. Поставьте посередине точку. Через эту точку проведите ещё всевозможные линии. Сколько всего линий можно провести через 1 точку (бесконечное множество). Какие это линии? (Опираясь на свой жизненный опыт, ребёнок может сказать, что эти линии – кривые).
- Поставьте точку и согните лист так, чтобы сгиб проходил через точку (выполняют). Теперь согните по - другому, но чтобы сгиб вновь проходил через эту точку (так делают несколько раз).
Приходят к выводу, что через 1 точку можно провести сколько угодно прямых линий.
Аналогично следует действовать и при проведении прямой линии через 2 точки:
- Поставьте 2 точки, согните лист так, чтобы сгиб проходил через эти точки. Затем согните лист по-другому, но чтобы другой сгиб также проходил через эти 2 точки (дети практически убеждаются в том, что через 2 точки можно провести только 1 прямую)
- Проведите через эти 2 точки кривую линию, затем ещё и ещё. Сколько кривых можно провести через две точки? (бесконечное множество)
- Поставьте две точки далеко друг от друга, соедините их (провести через них прямую).
Дети видят, что линия получается не прямая, а кривая.
- Для построения прямой линии используют такой инструмент, как линейка. Приложите линейку к этим точкам и проведите прямую линию.
- Продолжите эту линию влево, затем вправо.
Важно сформировать представления о том, что линию можно продолжать бесконечно, она не имеет ни начала, ни конца.
- Найдите предметы, содержащие линию (линия горизонта, рельсы, дорога, провода)
Учитель натягивает верёвку – это прямая, чуть ослабляет – кривая.
Полезно, чтобы в процессе выполнения различные упражнения дети научились различать такие понятия, как: «точка пересечения двух линий», «линия проходит через точку», «линия соединяет две точки», «точка принадлежит линии».
Для этой цели можно использовать задания:
- Проведи прямые линии через точку К и через точку В так, чтобы они пересеклись в точке О.
К.. О
В
- Проведи прямую через точку К так, чтобы точка О лежала на прямой, а точка В – вне прямой.
В
К.О
- Проведи прямую линию так, чтобы она пересекала кривую:
а) в одной точке
б) в двух точках
в) в трёх точках
Ло́маная (ломаная линия) — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных своими концами.
Определение
Ло́маной (ломаной линией) A1A2...An называется фигура, которая состоит из отрезков A1A2, A2A3,..., An-1An. Точки A1, A2,..., An называются вершинами ломаной, а отрезки A1A2, A2A3,..., An-1An − звеньями ломаной. При этом требуется, чтобы для любого k ∈ {2, 3,..., n-1} отрезки Ak-1Ak и AkAk+1 не лежали на одной прямой. Это требование накладывается и на отрезки A1A2 и An-1An при совпадении A1 и An.
Типы ломанных
Ломаная может иметь самопересечения:
Если первая и последняя точки ломаной совпадают, то такая ломаная называется замкнутой.
Изображённую здесь ломаную следует называть A1A2A3A4A5A1. Замкнутую ломаную можно также называть многоугольником. В этом случае изображённая фигура будет называться "многоугольник A1A2A3A4A5"
Задание – описать методику формирования представлений о ломаной линии на основе анализа любого учебника.
