Санкт-Петербург
В 2000-2012 гг. студенческая олимпиада г. Санкт-Петербурга по математике проводилась Санкт-Петербургским национальным исследовательским университетом информационных технологий, механики и оптики (до 2011 года носившем название Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, СПбГУ ИТМО). В 2012 году каждый вуз мог выставить на олимпиаду одну или две команды по 7 человек (в командный зачет входили пять лучших участников команды) и студентов в личный зачет. В личном зачете участвовали все заявленные студенты. Результат вуза в командном зачете определялся по результату лучшей из его команд (если их две).
Олимпиада проводилась в воскресенье 28 октября 2012 года. На решение задач отводилось 4 часа. Пользоваться справочной литературой не разрешалось. Студентам всех групп было предложено 12 задач.
Председателем жюри был профессор СПбГУ Н.А. Широков. В оргкомитет олимпиады входили: ректор НИУ ИТМО чл.-корр. РАН Васильев В.Н., проф., д.ф.-м.н Попов И.Ю., доц., к.ф.-м.н. Фролов В.М., доц., к.т.н. Блинова И.В.
Составители: проф., д.ф.-м.н. Н.А. Широков, проф., д.ф.-м.н. Попов И.Ю., доц.: к.ф.-м.н. Фролов В.М., к.ф.-м.н. Рыжков А.Е., к.ф.-м.н. Трифанова Е.С., к.т.н. Блинова И.В., ст. преп. Родина Т.В., асс.: Трифанов А.И., Петтай П.П.
Задачи студенческой математической олимпиады Санкт-Петербурга
1. Решить уравнение 
, 
. (3 балла)
2. 
вершины правильного 2012-угольника со стороной 1 на плоскости 
. 
. Центр многоугольника в начале координат. 
. Найти 
. (3 балла)
3. На плоскости расположены две параболы так, что оси их взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырех точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности. (3 балла)
4. На доске записано выражение 
. Двое по очереди вписывают вместо многоточий вещественные числа. Цель первого получить уравнение, имеющее ровно один вещественный корень. Может ли второй ему помешать? (3 балла)
5. Найти наибольшее значение 
при 
. (6 баллов)
6. 
антисимметричная матрица, у которой на 
побочных диагоналях ниже главной стоят 
, а остальные элементы ниже главной диагонали равны 
. Найти ранг матрицы .
(6 баллов)
7. Найти 
, если 
. (6 баллов)
8. Найти все функции 
, определенные при всех положительных 
, принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных и 
равенству 
. (6 баллов)
9. Доказать, что для любого решения 
уравнения 
существует 
. (9 баллов)
10. Вычислить 
. (9 баллов)
11. Пусть 
ортонормированная на 
система непрерывных функций. Доказать, что хотя бы для одной из функций 
(
) справедливо 
. (9 баллов)
12. Пусть 
- множество эрмитовых неотрицательных операторов в 
со следом 1. - выпуклое множество (т.е. если 
то 
). Точка 
называется крайней точкой выпуклого множества, если из представления (*) следует, что 
или 
. Покажите, что крайние точки множества - это одномерные проекторы и только они (
- проектор, если 
). (9 баллов)
Количество участников, решивших задачи (определено по формуле: полная сумма набранных всеми участниками баллов за задачу, деленная на стоимость задачи).
| № задачи | ||||||||||||
| Кол-во решивших |
Решения задач
1. Пусть 
. По условию 
существует и равен 2. В силу непрерывности показательной функции 
. Следовательно 
, откуда 
. Проверкой убеждаемся, что это число удовлетворяет уравнению. Необходимость последнего шага связана с неэквивалентностью переходов. Заметим, что уравнение 
в соответствии с описанной процедурой дает 
, однако, функция принимает заданное значение, вообще говоря, в двух точках (кроме одного значения 
), в частности, в нашей задаче (при ) это 
, предел же, естественно, единствен. В нашем случае (при ) легко видеть, что 
, поэтому мы получаем решение именно уравнения с 
. Внимание жюри на этот аспект обратил студент Ю.Александров (ИТМО)
2. 
, 
.
3. Выберем оси так, что параболы: 
, 
. Точки пересечения решения системы. 
, тогда 
, т.е. эти точки на окружности.
4. Нет. Первым ходом надо задать коэффициент при 
, равным нулю. После этого второй задает либо свободный член, либо коэффициент при 
. Рассмотрим оба случая. В первом случае первому будет достаточно обнулить коэффициент при . Получится уравнение 
, имеющее ровно один корень. Во втором случае первому надо будет выбирать коэффициент 
у функции 
. Если 
, то 
и 
монотонно возрастает. Следовательно, корень ровно один при любом . Если второй задал отрицательное 
, то функция 
имеет локальный минимум (
) в точке 
и возрастает при 
и при 
. Поэтому первый должен взять 
для того, чтобы уравнение 
имело ровно один корень.
Второе решение. Выбираем коэффициент перед , равным 1. Если второй выбирает один из двух коэффициентов, равным , то оставшийся коэффициент первый выбирает тоже . Тогда наш многочлен имеем вид 
, который, очевидно, имеет ровно один вещественный корень.
5. Для 
, 
имеем 
, 
.
Тогда 
,
,
на (0,1), поэтому 
. Следовательно, 
. Но при 
это значение достигается. Ответ 
.
6. По индукции. Для 
непосредственно находим. 
, 
.
Пусть 
и 
. Преобразуем матрицу 
, прибавив ко всем ее строкам, начиная с третьей, первую и вторую строки, умноженные на -1, если требуется (чтобы получить нули в первых столбцах). Тогда приведется к виду:
| Тогда  .
|
7. 
8. 
удовлетворяет условию. Ищем другие решения. Пусть 
при некотором 
. Тогда из 
следует что
(1)
Тогда из 
следует, что
(2)
Из (1) имеем 
, т.е. 
, а затем из (2)
и 
.
Т.е. для любых 
справедливо:
(3)
Пусть для некоторого 
, например, 
(
аналогично). Тогда существует 
такое, что 
.
И из (2) и (3) получаем 
противоречие. Значит, 
. Ясно, что такая функция удовлетворяет функциональному уравнению.
Ответ: и .
9. 
.
Если 
, то решение 
ограничено и 
(если 
, а не ограничено, то при некоторых значениях получим противоречие квадрат меньше нуля. Если 
, то интеграл берется).
Пусть 
. Тогда решение не ограничено. Пусть для определенности 
, тогда
, 
.
Тогда при 
Значит, 
и 
.
10. В первых скобках ряд для функции 
.
.
Так как 
( интегрирований по частям или просто по свойству 
-функции), то
.
11. Возьмем характеристические функции 
.
По неравенству Бесселя
Поэтому найдется 
, для которого 
.
12. Рассмотрим спектральное разложение эрмитова оператора :
(1)
где 
собственные значения, соответствующие собственным векторам 
оператора . Если - крайняя точка , то сумма содержит только одно ненулевое слагаемое, следовательно, - есть одномерный проектор (на собственный вектор).
Обратно, пусть есть одномерный проектор и 
Возведем это выражение в квадрат и рассмотрим разность и 
(которая равна нулю, ибо - проектор). После перегруппировки слагаемых получим:
Сумма трех положительных операторов (
положителен, ибо все собственные значения 
от нуля до единицы, см. (1)) равна нулю, следовательно, каждое слагаемое должно равняться нулю. Но это означает, что 
, то есть - крайняя точка .
В олимпиаде приняли участие команды следующих вузов:
§ Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики – ИТМО (2 команды),
§ Санкт-Петербургский государственный политехнический университет –ГПУ (2 команды),
§ Санкт-Петербургский государственный университет, физический факультет – СПбГУ(Ф),
§ Санкт-Петербургский государственный университет, экономический факультет – СПбГУ(Э),
§ Балтийский государственный технический университет «ВоенМех» им. Д.Ф. Устинова – БГТУ (2 команды),
§ Военно-космическая академия им. А.Ф.Можайского – ВКА,
§ Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения – КиТ,
§ Военный институт (инженерно-технический) – ВИИТ,
§ Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича - ГУТ
§ Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) – ТИ,
§ Государственная морская академия им. адм. С.О.Макарова – ГМА (2 команды),
§ Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет – ГАСУ (2 команды),
§ Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов – ГУЭФ,
§ Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого – НовГУ,
§ Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций – ГУВК (2 команды).
