Лекция 2.
Векторы и действия с ними. Линейные пространства.
Линейные операции над векторами
Из школьного курса геометрии известно, что если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждый вектор 
характеризуется своими координатами – парой чисел 
: 
В трехмерном пространстве вектору соответствует тройка координат: 
Определение. Любой упорядоченный набор n действительных чисел 
называется n – мерным вектором 
.
Числа 
называются координатами, или компонентами, вектора . Например, = (4, 2, 5, 0, -2) – пятимерный вектор; в частности, его третья компонента равна 5, а пятая равна -2.
Заметим, что координаты вектора можно расположить либо в строку
(1.1),
Либо в столбец
(1.2)
Запись вида (1.1) называется вектором-строкой, а (1.2)-вектором-столбцом.
Число координат вектора называют размерностью вектора.
Два n - мерных вектора 
называются равными, если их соответствующие координаты равны:
В этом случае пишем 
Суммой двух n – мерных векторов называется вектор
= 
Вектор, все координаты которого равны нулю, называются нулевым:
=(0, 0, …, 0).
Вектор 
называется противоположным вектору и обозначается 
:
.
Разность векторов определяется так: 
= 
.
Произведением вектора на число k называется вектор
Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями.
Определение. Множество всех n – мерных векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, называется n – мерным векторным пространством и обозначается 
.
Пространство также линейным пространством.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов
называется число
(
) 
.
Проиллюстрируем скалярное произведение простыми примерами.
Пример 1. Хозяйка покупает 0,5 кг хлеба, 5 кг картофеля, 3 кг огурцов, 2 кг помидоров и 1,5 кг мяса по ценам соответственно 12, 11, 15, 30, 80 руб. за килограмм. Если рассмотреть вектор товаров =(0,5; 5; 3; 2; 1,5) и вектор цен 
= (12; 11; 15; 30; 80), то сумма денег, затраченных на эту покупку, выражается скалярным произведением:
() = 0,5∙12+5∙11+3∙15+2∙30+1,5∙80=286 руб.
Пример 2. Сумма в 300 000 руб. помещается под проценты на год в четыре банка: 50 000 – под 12%, 50 000 – под 15%, 100 000 – под 10% и 100 000 – под 20%.
Здесь вектор вкладов = (50 000, 50 000, 100 000, 100 000), вектор процентных ставок = (0,12; 0,15; 0,10; 0,20).
Первоначальная сумма возрастает на величину, выражаемую скалярным произведением:
() = 50 000∙0,12+50 000∙0,15+100 000∙0,10+100 000∙0,20 = 43 500 руб.
Перечислим основные свойства скалярного произведения:
1. () = (
).
2. (k ) =k 
).
3. ( + 
) =() + (
).
4. (
) ≥ 0; при этом () = 0 тогда и только тогда, когда - нулевой вектор.
Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.
Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.
Решение:
p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =
= 5 |a|2 + 12 a · b - 9 |b|2 = 5 · 32 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 22 = 45 +36 -36 = 45.
