Методика расчета переходных процессов

ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

Расчет переходных процессов операторным методом необходимо выполнять в следующей последовательности:

- по известной для данной цепи функции-оригиналу u(t) определить функцию-изображения U(p) с использованием таблицы [2] или формул прямого преобразования Лапласа [1];

- по законам Ома или Кирхгофа составить уравнение или систему уравнений для операторных токов и напряжений. Операторное сопротивление Z(p) участка цепи получают из комплексного Z(jw) сопротивления этого участка заменой множителя jw на оператор р;

- решить уравнение или систему уравнений и определить операторное изображение F(p) искомой функции;

- преобразовать изображение найденной функции F(p) в функцию-оригинал f(t) по таблице [2], теореме разложения или по формулам обратного преобразования Лапласа [1].

Пример расчета переходных процессов операторным методом приведен в приложении Б.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Абрамов Ю.Н., Усов Б.Н. Теоретические основы электротехники. Часть 1. Учебное пособие – ВИКИ,1986. – 236с.

2 Абрамов Ю.Н., Парфишин В.П., Сологуб Г.В. и др. Теоретические основы электротехники. Часть 2. Учебное пособие – ВИКА,1993. – 256с.

3 Абрамов Ю.Н., Корнеев Б.М., Сологуб Г.В. и др. Теоретические основы электротехники. Учебное пособие к практическим занятиям – ВИКИ, 1990. – 214с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(справочное)

Пример расчета переходных процессов классическим методом

Рисунок А.1

До замыкания контакта S в цепи, представленной на рисунке А.1, имел место установившийся режим при постоянном напряжении U = 100В. В момент t = 0 контакт S замыкается. Найти выражения напряжения на конденсаторе для двух случаев: 1) R = 250 Ом, L = 667 мГн, С = 2 мкФ; 2) R = 100 Ом, L = 0,1 Гн, С = 5 мкФ.

Р е ш е н и е. В соответствии с методикой расчёта переходных процессов классическим методом осуществляем расчеты в следующей последовательности.

1. Для цепи, получаемой после коммутации, составим систему уравнений по законам Кирхгофа

2. Выразим все переменные системы уравнений через или производную от этого напряжения:

;

из (3): ;

из (1): ;

Подставляем полученные значения токов в (2):

Окончательно получаем ЛНДУ второго порядка

Поделив на коэффициент при старшей производной, получим

3. Решение этого уравнения ищем в виде

причем

где - постоянные интегрирования,

- корни характеристического уравнения.

В этой цепи заряд конденсатора произойдет до напряжения U, приложенного ко входу цепи, т.е. .

Характеристическое уравнение имеет вид

Полученное характеристическое уравнение второго порядка и, следовательно, оно имеет два корня:

1. Подставим в уравнение для корней численные значения параметров элементов первого случая:

т.е.

Получены корни действительные и различные, следовательно, свободную составляющую напряжения на конденсаторе будем искать в виде

тогда

Для определения двух постоянных интегрирования А₁ и А₂ необходимо использовать второе уравнение. Таким уравнением является

Найдем начальные значения u_C (0) и i₃ (0). Напряжение на конденсаторе в момент коммутации (t = 0) остается таким же, каким оно было до коммутации, т.е.

В.