Экзамена по математическому анализу
Для студентов 1 курса факультета экономики и управления
Семестр 2011-2012 уч.г.
Структура и содержание экзаменационной работы
Экзаменационная работа состоит из 4 частей, которые различаются по содержанию, сложности, числу и форме включаемых в них заданий.
| № задания в билете | Распределение заданий по элементам содержания дисциплины | Распределение заданий по виду проверяемой деятельности и уровню сложности | Тип задания и форма ответа | Максимальный балл за выполнение задания |
| Часть 1 | ||||
| Т1 | Функции и их свойства – определение функции и ее основных свойств функции – основные элементарные функции, свойства, графики – преобразование графиков элементарных функций | Проверка знания и понимания теоретического материала (основных понятий, теорем и формул) | Запись или иллюстрация требуемого математического объекта (определения, формулы и т.д.) | |
| Т2 | Предел и непрерывность – понятие предела числовой последовательности – свойства сходящихся числовых последовательностей – признак сходимости монотонной последовательности (формулировка), число е – теорема о стягивающейся системе вложенных отрезков (формулировка) – последовательность числовой последовательности, теорема Больцано-Вейерштрасса (формулировка) – верхний и нижний предел числовой последовательности – понятие окрестности точки, предельной точки множества – определение предела функции в точке – свойства функции, имеющих в точке предел – бесконечно большие функции и их свойства – бесконечно малые функции и их свойства – эквивалентные бесконечно малые – асимптоты – понятие непрерывной функции – свойства функции, непрерывных на отрезке – точки разрыва и их классификация | |||
| Т3 | Производная. Теорема о дифференцируемых функциях – понятие производной: геометрический, механический и экономический смысл производной – дифференцируемость функции, дифференциал – критерий дифференцируемости (формулировка) – основные формулы дифференцирования, производная сложной функции, таблица производных – понятие о производных высших порядков – логарифмическое дифференцирование – теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа (формулировки) – правила Лопиталя – условия монотонности функции на интервале – достаточные условия экстремума выпуклость функции, точки перегиба, необходимые и достаточные условия точки перегиба | |||
| Т4 | Функции двух и более переменных – определение функции двух и трех действительных переменных – частные производные, полный дифференциал – частные производные второго порядка функции двух действительных переменных – градиент, производная по направлению, касательная и нормаль к поверхности экстремумы функции двух переменных – условный экстремум функции двух переменных | |||
| Т5 | Интегрирование функций одной переменной – первообразная, неопределенный интеграл – свойства неопределенного интеграла, таблица интегралов – интегрирование заменой переменной в неопределенном интеграле – интегрирование по частям в неопределенном интеграле – понятие теоремы о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших, интегрирование рациональной дроби – интегрирование тригонометрических выражений, универсальная тригонометрическая подстановка – интегрирование простейших иррациональных функций – понятие определенного интеграла Римана, его геометрический и экономический смысл – свойства определенного интеграла, теоремы о среднем значении – интеграл с переменным верхним пределом, существование первообразной непрерывной функции, формула Ньютона-Лейбница – замена переменной под знаком определенного интеграла – геометрические приложения определенного интеграла – несобственные интегралы первого рода – несобственные интегралы второго рода | |||
| Часть 2 | ||||
| А1 | Функции и свойства элементарных функций | Проверка умений и навыков в решении задач 1-го базового уровня сложности | с выбором ответа (из четырех предложенных) | |
| А2 | Предел, непрерывность, асимптоты | |||
| А3 | Производная (1-го, 2-го порядков) и дифференциал функции одной переменной | |||
| А4 | Частные производные (1-го, 2-го порядков) функции двух или трех переменных | |||
| А5 | Неопределенный интеграл (метод непосредственного интегрирования) | |||
| Часть 3 | ||||
| В1 | Предел числовой последовательности или функции | Проверка умений и навыков в решении задач 2-го базового уровня сложности) | с кратким ответом (без записи решения) | |
| В2 | Непрерывность, асимптоты | |||
| В3 | Исследование свойств функции с помощью производной (1-го, 2-го порядков) | |||
| В4 | Геометрические приложения определенного интеграла | |||
| Часть 4 | ||||
| С1 | Экстремум или условный экстремум функции двух переменных | Проверка умений и навыков в решении задач 3-го базового уровня сложности) | с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий) | |
| С2 | Неопределенный интеграл (метод замены переменной, интегрирование по частям, интегрирование рациональной дроби) | |||
| Всего 16 заданий | Максимальное количество баллов – 40 |
Образец экзаменационного билета
Часть 1
Т1. Основные свойства и график функции 
.
Т2. Определение наклонной асимптоты функции на 
, критерий ее существования.
Т3. Необходимое условие точки перегиба дважды дифференцируемой функции (формулировка).
Т4. Определение производной функции по направлению в точке.
Т5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Часть 2
А1. Областью определения функции 
является промежуток:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
А2. Функция 
является бесконечно малой при 
, если:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
А3. Производная функции 
равна:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
А4. Частная производная 
функции 
равна:
1) 0; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
А5. Интеграл 
равен:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
Часть 3
В1. Вычислите предел, не используя правило Лопиталя
В2. Исследуйте функцию 
на наличие наклонных асимптот. Запишите уравнениеасимптоты, если она существует.
В3. Исследуйте функцию 
на интервалы выпуклости вверх и вниз и точки перегиба. Запишите интервалы выпуклости вверх и вниз, точки перегиба.
В4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 
, 
, 
.
Часть 4
С1. Найдите экстремум функции 
.
С2. Вычислите неопределенный интеграл: 
.
