Шешуі
Егер төмендегі үш шарт орындалса, онда нақты t аргументінің кез-келген функциясы f(t) түпнұсқа деп аталады:
1) t 
0 болғанда f(t) бөлікті үзіліссіз;
2) t<0 болғанда f(t)=0;
3) 
, мұндағы М>0, 
-тұрақтылар.
а) 
функциясы төмендегі шарттар орындалатындықтан түпнұсқа болады:
1) Функция үзіліссіз;
2) 2 – шарт орындалады; 3) 
, себебі М=1, 
.
б) 
функциясы түпнұсқа болмайды, өйткені болмағанда екі шарт орындалмайды: 1) 
нүктесі оның екінші ретті үзіліс нүктесі;
2) t<0 болғанда 
, себебі 
көбейткіші жоқ.
2-3 Лаплас түрлендіруінің қасиеттерін пайдалана отырып f(t) функцияларының F(p) бейнелерін анықта: a) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
; е) 
; ж) 
.
Шешуі
а) 1-кесте мен сызықтық теореманы пайдаланамыз: 
;
б) Ұқсастық кестесі бойынша 
, ығыстыру теоремасы бойынша 
;
в) 1 – кесте бойынша 1 
, кешігу теоремасын қолданамыз 
;
г) Берілген функцияны түрлендіреміз 
. Енді
1 – кесте мен сызықтық теореманы пайдаланамыз 
;
д) 
. Бейнені дифференциалдау теоремасы бойынша 
; е) . Оригиналды интегралдау теоремасы бойынша 
;
ж) 
болғандықтан, бейнені интегралдау теоремасы бойынша 
.
4 Түпнұсқаның берілген графигі бойынша бейнені табу керек.
Шешуі.
Үзіліс немесе өзгеріс болатын нүктелерді 
арқылы; үзіліс нүктелеріндегі секірісті 
арқылы; 
бөліктегі бұрыштық коэффициенті 
арқылы (мұндағы 
) белгілейміз. Бұл түрдегі функциялардың бейнесін 
формуласы арқылы табу керек
Бұл есепте: 
Сондықтан, 
5. t және 
функцияларының үйірткісін және оның бейнесін анықтау керек.
Шешуі
f(t) және g(t) формуласының үйірткісі 
формуласымен табылады. Сондықтан 
. Үйірткінің бейнесін 1- кесте және сызықтық теорема бойынша табамыз: 
.
6. Бейнелерді көбейту теоремасын қолданып, 
, функциясының үйірткісін табу керек.
Шешуі
Көбейту теоремасы бойынша, егер 
болса, онда 
. Сондықтан, 
.
7 Берілген 
бейнесі бойынша 
түпнұсқасын табу керек.
а) 
б) 
Шешуі.
а) Рационалды – бөлшек функцияны қарапайым бөлшектерге жіктейміз:
болғанда: 
алдындағы коэффициенттерді теңестірсек 
бос мүшенің алдындағы коэффициенттерді теңестірсек 
Сондықтан, 
1 – кесте бойынша: 
= 
Сондықтан: 
б) 1 – кесте бойынша 
Түпнұсқаны интегралдау теоремасын пайдаланамыз: 
8. Коши есебін амалдық тәсіл бойынша шешу керек.
Шешуі.
болса, түп нұсқаны дифференциялдау теоремасы бойынша: 
Сондықтан: 
берілген теңдеудің операторлық теңдеуі болады. Бұдан 
Ұқсастық кестесі бойынша 
- бейнесінің түпнұсқасын көбейту теоремасы бойынша табуға болады: 
Сондықтан берілген теңдеудің шешімі: 
9. Анықтамасын пайдаланып, 
функцияның бейнесін табу керек.
Шешуі
Анықтама бойынша f(t) функцияның бейнесі деп 
теңдеуімен анықталатын F(p) формуласын айтады. Сондықтан 
.
10. 
функциясының бейнесін дифференциалдау теоремасын қолдану арқылы табу керек.
Шешуі
, болғандықтан 
. Түпнұсқаны дифференциалдау теоремасы бойынша 
. Сондықтан, 
, бұдан 
.
11. Коши есебінің шешуін Дюамеля формуласының көмегімен табу керек: 
.
Шешуі
көмекші теңдеуін құрып, оны операторлық тәсілмен шешеміз 
операторлық теңдеу. Оның шешуі - 
. Белгілі тәсілдер арқылы оның түпнұсқасын табамыз 
. Берілген теңдеудің шешуін анықтау үшін 
формуласын қолданамыз. 
болғандықтан, 
=
.
12. Амалдық тәсіл арқылы дифференциалдың теңдеулер жүйесін шешу керек 
Шешуі.
, 
болсын. Лаплас түрлендіруін, 1 – таблицаны және алғашқы шарттарды пайдаланып операторлық жүйені құрамыз:
Оны Крамер ережесі бойынша шешеміз:
x(t) және y(t) - түпнұсқаларын анықтау үшін 
және 
функцияларын қарапайым функциялардың қосындысына жіктейміз:
Белгілі тәсіл бойынша: A=-1, B=0, C=1, D=-1,A1=-2,B1=0,C1=2,D1=-2. 
Сондықтан, 
Жауабы: 
Анықтама материалы
Лаплас түрленуінің қасиеттері, болсын
1. 
(сызықтық теоремасы)
2. 
(ұқсастық теоремасы)
3. 
(ығыстыру теоремасы)
4. 
(
кешігу теоремасы)
5. 
,…
(түпнұсқаны дифференциалдау теоремасы)
6. 
(түпнұсқаны интегралдау теоремасы)
7. 
, 
(бейнені дифференциалдау теоремасы)
8. 
(бейнені интегралдау теоремасы)
9. 
(бейнелерді көбейту теоремасы)
10. 
(Дюамел интегралы)
