в районном (городском) суде

Матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Числа, образующие матрицу, называются её элементами.

Элементы матрицы нумеруются по строкам и столбцам:

.

Матрица с числом строк, равным и числом столбцов, равным , называется матрицей размера и может обозначаться . или .

Так же, как и с числами, с матрицами можно производить различные арифметические действия (по определённым правилам).

Умножение матриц

Произведением матрицы на матрицу

называется матрица ,

в которой на соответствующих местах стоят попарные произведения элементов соответствующей строки матрицы и соответствующего столбца матрицы .

Для элемента с индексами и это будет сумма .

В результате получается матрица

с числом строк первого множителя и столбцов второго.

Пример. Найти произведение матриц:

, .

Решение: Размерность произведения будет .

.

Теперь мы вооружены необходимыми знаниями, чтобы решить прикладную задачу, которая является типичной для любого учреждения судебной системы.

Распределение судебных дел

в районном (городском) суде

Очевидно, что распределяя судебные дела, руководитель принимает решения, субъективно возможности и способности каждого судьи, степень его образованности, знакомства с предметной областью, практический жизненный опыт, те или иные черты характера, загруженность судьи в данный момент времени и т.д.

Попробуем смоделировать решение этой задачи при помощи метода, опирающегося на понятия алгебры нечётких множеств.

Дано:

– множество судебных дел, поступающих в некоторый суд для рассмотрения;

– множество признаков, характеризующих судебные дела;

– множество судей этого суда.

Требуется распределить все судебные дела среди судей оптимальным образом, т.е. для каждого судьи сформировать множество дел , так, чтобы выполнялись условия: и .

В общем случае для каждой группы дел целесообразно подбирать свой уникальный набор признаков, но для простоты вычислений мы ограничимся лишь несколькими, наиболее общими. Очевидно, что каждому конкретному делу тот или иной признак будет присущ в некоторой степени.

Рассмотрим, к примеру, признак «краткость рассмотрения». При беглом знакомстве с делом эксперту (в нашем случае – руководителю суда) легко определить, какое из дел затянется надолго, а какое будет разрешено в короткие сроки. Это позволяет ему дать экспертную оценку значения функции принадлежности конкретного дела множеству длительных дел: если дело заведомо предполагает большую продолжительность процесса, то значение функции принадлежности будет близким к ; если же дело, по всей видимости, будет коротким, то значение функции принадлежности окажется близким к .

Нетрудно также заметить, что не для всех судей каждый признак является важным (привлекательным) в равной степени. К примеру, для судьи, имеющего небольшой опыт работы, крайне важным должен быть признак «процессуальная простота», поскольку со сложным делом он вряд ли сможет справиться. С другой стороны, судья, имеющий большой опыт работы делами определенного вида, может быть сильно загружен в момент распределения данного дела, так что высокое значение признака «краткость рассмотрения» крайне затруднит этому судье работу по нему.

Отметим еще одно обстоятельство. Судебные дела четко делятся по категориям на уголовные, гражданские и административные. Однако, в соответствии с обстоятельствами правовой ситуации, многие дела, в особенности сложные, несут в себе нечеткие черты двух и даже всех трех этих категорий.

Итак, на начальном этапе руководителем суда проводится экспертная оценка, которая позволяет получить формализованное условие задачи.

Пусть – функция принадлежности нечёткого бинарного отношения , задаваемая с помощью эксперта. Эта функция выражает, в какой степени конкретному делу присущ признак . Значения функции по конкретному запишем в строку (получится строка из элементов), расположим эти строки друг под другом (всего таких строк штук. Получаем представление отношения в матричной форме:

.

Пусть – функция принадлежности нечёткого бинарного отношения . Для всех и всех равна степени важности с признака для судьи . В матричной форме это отношение имеет вид:

.

Напомним: матрицы и задаются экспертно, и служат условием задачи.

Примечание 1: чтобы избежать излишней путаницы при решении задачи, в качестве эксперту всегда следует выбирать признак «краткость рассмотрения», а качестве – «процессуальная простота». При этом судей желательно упорядочивать в множестве по убыванию степени важности для них признака , а именно: чем более важен для судьи этот признак, т.е. чем больше тем больше его порядковый номер в множестве . Если для двух или более судей значения функции равны, то эти судьи между собой упорядочиваются аналогичным образом по признаку : чем больше , тем больше его порядковый номер в множестве .

Решение

Шаг 1. Из матриц и получаем матрицу :

,

элементы которой вычисляются по формуле: ,

для всех , , . Фактически в этой формуле в числителе стоит число, которое получилось бы при нахождении произведения матриц , а в знаменателе - сумма элементов соответствующей строки матрицы

Щаг 2. Строим матрицу попарных минимумов:

Шаг 3. В каждом столбце матрицы , полученной на предыдущем шаге, находим максимальный элемент.

Шаг 4. Из чисел, полученных на предыдущем шаге, находим минимальное.

Шаг 5. В матрице , полученной нами на первом шаге, находим элемент, чуть меньший, чем число, которое мы получили четвертом шаге. Обозначаем его буквой и называем пороговым числом.

Наши действия со второго по пятый шаг можно формально записать следующим образом:

Шаг 6. Для каждого судьи получаем множество предпочтений , элементами которого являются дела, которые могут быть распределены этому судье. Рассматриваем поочередно столбцы матрицы . Если элемент больше или равен , то дело входит в множество ,

Таким образом,: .

Заметим, что множества могут пересекаться между собой, а их объединение не обязательно составит все множество .

Примечание 2: если после выполнения шестого шага оказалось, что какие-либо дела не вошли ни в одно из множеств предпочтений , формируем из этих «непривлекательных» дел множество .

Шаг 7. Формируем множества – множества дел, которые будут распределены судье . На момент начала выполнения шага 7 все эти множества пусты. При окончательном распределении судебных дел руководствуемся принципом сочетания возможности и желаемости. Для этого выбираем множество предпочтений наименее загруженного на данный момент судьи (в соответствии с Примечанием 1 это будет судья ). В множестве предпочтений выбираем такое дело , которое вошло в него с наибольшим абсолютным показателем, т.е. с наибольшим значением . Это дело распределяется судье , т.е. добавляется в множество и удаляется из всех множеств . Далее ту же операцию проделываем с , и со всеми остальными множествами предпочтений по кругу, пока все дела не будут распределены.

После выполнения этого шага ни в одной паре множеств не найдётся двух одинаковых элементов, а множества станут пустыми для всех .

 

Если в соответствии с Примечанием 2 было сформировано множество «непривлекательных» дел , то придется выполнить еще один шаг, в принципе аналогичный предыдущему.

Шаг 8. В множестве предпочтений выбираем такое дело , которое вошло в него с наибольшим абсолютным показателем для судьи , т.е. с наибольшим значением . Это дело распределяется судье , т.е. добавляется в множество , и удаляется из множества . Далее ту же операцию проделываем с судьей , и со всеми остальными судьями по кругу, пока множество не станет пустым.

Примечание 3: еще ни одному студенту не доставался вариант задания, требующий выполнения восьмого шага.

Пример

Для простоты вычислений пусть имеется всего пять судей, среди которых распределяются семь дел. При оценке дел используются пять признаков.

Дано:

– семь судебных дел, а именно: - «квартирная кража», - «незаконная продажа недвижимости», - «нарушение правил таможенного оформления», - «автомобильная авария с тяжкими последствиями», - «похищение ребенка», - «разглашение тайны усыновления», - «убийство».

– пять признаков судебных дел, а именно: - «краткость рассмотрения», - «процессуальная простота», - «соответствие уголовному процессу», - «соответствие гражданскому процессу», - «соответствие административному процессу»,.

– пятеро судей, а именно: - Первенцева, - Вторская, - Третьяк, - Четверухина, - Пятаков.

Функции принадлежности и представляются в виде матриц и следующим образом:

,

.

Решение:

Шаг 1.

Вычисляем матрицу с точностью до трёх десятичных знаков после запятой. Начнём с элементов первой строки:

и т.д. Дальнейшие вычисления Вам будет полезно проделать самостоятельно; для контроля приведём, например, подсчет :

.

Подсчитав все , получим

.

Шаг 2.

Находим матрицу , составленную из попарных минимумов элементов, расположенных в строках матрицы :

.

Шаг 3. Определяем максимальные значения в каждом из столбцов матрицы . Это числа ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Шаг 4. Находим минимум из этих чисел. Это число .

Шаг 5. Находим в матрице наибольшее значение, меньшее , что даёт нам .

Шаг 6. Получаем множества предпочтений для каждого судьи (в скобках после каждого дела, вошедшего в множество, пишем значение ):

Заметим, что после выполнения шестого шага не нашлось «непривлекательных» дел, т.е. таких , которые не вошли ни в одно из множеств предпочтений . Поэтому множество не создается и Шаг 8 выполнять не нужно.

Шаг 7.

Формируем множества распределенных дел. В из переходит , поскольку - максимальное значение . Вычеркиваем из всех остальных . Далее: в из переходит , в из переходит , в из переходит , в из переходит , в из переходит , в из переходит .

Ответ: