Вероятность суммы случайных событий

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность суммы двух совместных событий выражается формулой:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ž В).

Продемонстрируем вывод теоремы сложения вероятностей для случая геометрического определения вероятностей.

Пусть внутри области G находятся подобласти A и B и из области G наугад выбирается точка. Событие A состоит в попадании точки в подобласть А, событие В – в подобласть В, событие А + В – в попадании точки либо в подобласть А, либо в подобласть В. Для начала рассмотрим случай несовместных событий А и В (рис.5.4).

В этом случае подобласти А и В не имеют общих точек. Вероятность события А + В определяется отношением меры области , составленной из двух подобластей А и В, к мере всей области G. Мера двух областей А и В равна сумме мер каждой области: . Поэтому вероятность события А + В также равна сумме вероятностей двух событий: .

Если события А и В – совместные (рис. 5.5), то подобласти А и В имеют общую часть. Обозначим эту область, соответствующую произведению событий А и В, через О. Подобласть, принадлежащую А, но не принадлежащую B, обозначим через K, а подобласть, принадлежащую В и не принадлежащую А, через L. В этом случае мера области, соответствующую событию А + В, будет равна сумме мер вышеуказанных областей: . А меры областей, соответствующих событиям А и В, можно выразить следующим образом: , . Вероятность события А + В будет равна: = Р (А) + Р (В) – Р (АžВ). Таким образом, Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АžВ).

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, составляющих полную группу, равна единице: Р (А) + Р (В) +... + Р (N)=1,

где события А, В,..., N образуют полную группу.

Действительно, так как события А, В,..., N образуют полную группу, то событие А+В+...+N по правилу 1 является достоверным и Р(А+В +... + N)=1. Вспомним, что события, образующие полную группу, являются несовместными. Тогда по теореме сложения вероятностей Р(А+В +...+ N) = Р(А) + Р(В) +... + Р(N). Из двух полученных равенств делаем вывод: Р(А) + Р(В) +... + Р(N)=1.

Следствие 2. Вероятность события, противоположного А, равна единице минус вероятность события А: P( ) = 1 - P(A).

Рассмотрим случайное событие А и противоположное ему . Эти события составляют полную группу и, значит, их сумма является достоверным событием (см. правило1). Кроме того, события А и - несовместные. Поэтому P(A+ )=P(A)+P( )=1. Отсюда вероятность события равна: P( )=1 - P(A).

При решении некоторых задач на нахождение вероятности случайного события пользуются следствием 2. В этих задачах бывает намного легче посчитать не вероятность заданного случайного события, а вероятность противоположного ему.