Геометричний зміст лінійних нерівностей

ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ДВОХ ПРЯМИХ

Перетин двох прямих

Нехай задано дві прямі: і які перетинаються. Оскільки координати точки перетину цих прямих мають задовольняти рівнянням кожної прямої, то координати точки можна знайти, розв’язавши систему рівнянь

(3.1)

Кут між двома прямими

Означення 3.1.Кутом між двома прямими називається менший кут, що відраховується проти хода часової стрілки, на котрий друга пряма повернута відносно першої

. Знайдемо кут між прямими:

, де

. Розглянемо

, де

, як вертикальні кути.

Мал. 3.1

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх, не суміжних з ним, кутів, тобто або .

Звідки тобто

(3.2)

за умовою, що .

Приклад 3.1. Знайти кут між двома прямими: та

Розв’язання. Підставивши коефіцієнти і до формулу (3.2), маємо

Приклад 3.2. Знайтикоординати вершин та кути трикутника, якщо відомі рівняння його сторін

Розв’язання. Координати вершин трикутника можна знайти, якщо розв’язати три системи рівнянь:

Умова паралельності двох прямих

	Якщо прямі та паралельні, то кут , а отже, . Із формули (3.2) випливає, що (3.3) І навпаки, якщо , то з формули (3.2) випливає, що , а отже, і .
Мал. 3.2

Таким чином, умова (3.3) є необхідною й достатньою умовою паралельності двох прямих.

Умова перпендикулярності двох прямих

Якщо прямі і перпендикулярні, то кут , при цьому, або Отже, правдива рівність (3.4)
Мал. 3.3

Таким чином, умова (3.4) є необхідною й достатньою умовою перпендикулярності двох прямих.

Відстань від точки до прямої

	Нехай задано точку і пряму . Відстань від точки до прямої є довжина перпендикуляра , яка обчислюється за допомогою нормального рівняння прямої за формулою (3.5) або, з урахуванням рівняння (2.12),
Мал. 3.4

(3.6)

Приклад 3.3. Знайтивідстань від точки до прямої

Розв’язання.

Приклад 3.4. Знайтивідстань між двома паралельними прямими і .

Розв’язання.

	У даному випадку відстань між двома паралельними прямими визначається різницею відстаней до обох прямих від початку координат:
Мал. 3.5

Якщо початок координат знаходиться між двома прямими, то відстань між ними визначається додаванням відстаней до обох прямих від початку координат.

Геометричний зміст лінійних нерівностей

Розглянемо систему лінійних нерівностей:

Розв’язком цієї системи є множина точок площини, які задовольняють умовам даних нерівностей. Спочатку в координатній площині проведемо граничні прямі . Кожна пряма поділяє площину на дві півплощини. Точки однієї з цих півплощин задовольняють нерівність , а точки іншій – ні. Щоб, дізнатися, точки якої півплощини задовольняють нерівність, треба в цю нерівність підставити координати будь якої точки півплощини, або початок координат . Якщо координати цієї точки задовольняють нерівність, то всі точки, які належать цій площині також задовольнятимуть нерівності. Та навпаки.

Приклад 3.5. Знайтигеометричнерішення системи лінійних

нерівностей

Розв’язання.

Мал. 3.6

Побудуємо граничні прямі:

Щоб визначити необхідну півплощину, потрібно початок координат – точку

, підставити в зазначені обмеження.

Якщо нерівність задовольняється то півплощина містить початок координат, якщо ні то півплощина не містить початку координат.

Перша та друга півплощини містять точку , а півплощина відносно третьої граничної прямої не містить початку координат. Отже, геометричнерішення системи лінійних нерівностей зображене на мал. 3.6.

Приклад 3.6. Задано вершини :

Знайти:1) довжини сторін ;

2) тангенси внутрішніх кутів ;

3) рівняння висоти, що проходить через вершину ;

4) рівняння медіани, що проходить через вершину ;

5) точку перетину висот трикутника;

6) довжину висоти, що прямує з вершини ;

7) систему лінійних нерівностей, яка описує .

Зробити креслення.

Розв’язання.

Мал. 3.7

1. Довжини сторін знайдемо за формулою (1.1):

2. Тангенси внутрішніх кутів знайдемо за формулою (3.2)

Для визначення кутових коефіцієнтів прямих знайдемо рівняння сторін трикутника за формулою (2.7):

або тобто

Далі обчислимо тангенси внутрішніх кутів :

3. Знайдемо рівняння висоти, що проходить через вершину . Висота . За умови перпендикулярності прямих (3.4) маємо

Висота проходить через вершину , тобто її рівняння будемо обчислювати за формулою (2.5):

З цього випливає або

4. Знайдемо рівняння медіани, що проходить через вершину . Медіана поділяє протилежну сторону трикутника навпіл, тобто точка є серединою відрізка Знайдемо координати точки за формулами (1.5):

тобто

Після цього по двом відомим точкам і складаємо рівняння медіани , використовуючи формулу (2.7):

5. Знайдемо точку перетину висот трикутника. Спочатку знайдемо рівняння висоти, що проходить через вершину . Висота , з ознаки перпендикулярності прямих маємо

Висота проходить через вершину , тобто її рівняння будемо обчислювати за формулою з цього випливає або

Для знаходження координат точки перетину висот та складаємо систему рівнянь

Розв’язком цієї системи є точка .

6. Обчислимо довжину висоти, що прямує з вершини . Відстань від точки до прямої АВ розраховуємо за формулою (3.6):

7. Система лінійних нерівностей, яка визначає , має вигляд:

Індивідуальне завдання 5. Рівняння лінії на площині.

Дано вершини трикутника Знайти:

1) довжину сторони ;

2) тангенс внутрішнього кута ;

3) рівняння висоти, проведеної через вершину ;

4) рівняння медіани, проведеної через вершину ;

5) точку перетину висот трикутника;

6) довжину висоти, опущеної з вершини ;

7) площу трикутника ;

8) систему лінійних нерівностей, що визначають трикутник .

Зробити креслення.

№				№
1.	(-2;-2)	(4;1)	(1;2)	16.	(0;0)	(6;3)	(3;4)
2.	(2;0)	(–4;3)	(–1;4)	17.	(–1;1)	(5;4)	(2;5)
3.	(3;1)	(–3;4)	(0;5)	18.	(–1;–2)	(5;1)	(2;2)
4.	(2;–2)	(–4;1)	(–1;2)	19.	(2;1)	(–4;2)	(–1;3)
5.	(1;2)	(7;5)	(4;6)	20.	(1;–3)	(–5;0)	(–2;1)
6.	(0;–1)	(–6;2)	(–3;3)	21.	(2;2)	(–4;5)	(–1;–1)
7.	(–3;1)	(3;4)	(0;5)	22.	(–2;–1)	(4;2)	(1;3)
8.	(–1;0)	(5;3)	(2;6)	23.	(3;–1)	(–3;2)	(0;3)
9.	(2;–1)	(–4;2)	(–1;3)	24.	(1;–1)	(–5;2)	(–2;3).
10.	(–4;0)	(2;3)	(–1;4)	25.	(1;1)	(7;2)	(4;5)
11.	(–2;–3)	(4;0)	(1;3)	26.	(–1;–1)	(5;2)	(2;3)
12.	(–1;2)	(5;5)	(2;6)	27.	(3;2)	(–3;–2)	(0;3)
13.	(1;–2)	(–5;1)	(–2;2)	28.	(1;0)	(7;3)	(4;4)
14.	(–1;–1)	(5;2)	(2;5)	29.	(–3;1)	(6;4)	(1;5)
15.	(–1;–3)	(5;0)	(2;3)	30.	(–5;2)	(3;0)	(–1;5)