Оптимальная компоновка захватного устройства

ПРОБЛЕМНЫЕ ЛЕКЦИИ

 

Оптимальная компоновка захватного устройства

 

Компоновка предполагает размещение в пространстве подвижных рычагов, гидроцилиндров привода, а также шарнирных соединений. В качестве геометрической базы компоновки принимается максимальный и минимальный диаметры дерева в захвате (рис. 2.1). Рычаг должен быть подвешен за пределами контура дерева большого диаметра. Возникает вопрос, каким образом надо подвесить рычаг, если требуется произвести обжатие дерева большого диаметра в точке 1, а минимального диаметра – в точке 1' (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Компоновка захватного устройства

 

Ответ на это вопрос последует тут же, как только мы увидим, что точки 1, 1' находятся на дуге окружности, а отрезок 1 – 1' является хордой. Центр окружности лежит на луче, который перпендикулярен середине хорды 1 – 1', где конкретно размещается на луче точка подвеса рычага – это прежде всего зависит от кинематической схемы. Рычаг может быть с внутренним и внешним шарниром подвеса. Предположим, что рычаг имеет внутреннюю подвеску. Тогда естес­твенно потребовать, чтобы точка подвеса была бы по возможности ближе к обжимаемому дереву. Однако эта близость должна быть обоснована конструктивно – центр шарнира подвески должен быть удален от поверхности дерева на расстояние, равное сумме половины диаметра пальца ширины проушин рычага и зазора между рычагом и деревом. Последний может быть установлен статистически, исхо­дя из отличия контура сечения дерева от окружности. Высота про­ушины и диаметр пальца могут быть определены из условия прочности по нагрузке в шарнире. Нагрузки в шарнире определяются силами и , действующими на рычаг в точке 1, и усилием на штоке гидроцилиндра . Первые две силы не зависят от точки подвеса шарнира и положения шарнира сочленения рычага с гидроцилиндром, что касается усилия на штоке гидроцилиндра, то оно зависит как от положения шарниров, так и от направления линий действия силы оси штока гидроцилиндра.

Обозначим расстояние между осями шарниров через , а угол между линией, соединяющей эти оси и осью штока через Х, тогда усилие на штоке гидроцилиндра определяется по формуле

. (2.1)

Естественное желание при проектировании – получить возможно меньшее усилие на штоке гидроцилиндра . Какими конструктив­ными средствами можно минимизировать ? Из формулы (2.1.) следует, что минимизация достигается путем уменьшения отношения плеч h к При выборе места для шарнира рыча­га из условия минимального его расстояния до обжимаемого дерева возможности уменьшения плеча h отсутствуют. Остается лишь один путь – увеличение плеча силы , равного Отсюда зак­лючаем, что минимизация достигается за счет увеличения расстояния между осями шарниров и приближения угла = 90⁰. Однако функция () минимума не имеет, точнее при неограниченном возрастании а величина стремится к нулю. Таким образом, реализовать наименьшее значение практически не представляется возможным. Для того чтобы задача получила определенность, необходимо задаться областью возможных изменений расстояния между шарнирами . Тогда минимизация приобретет определенный смысл, и наименьшее значение будет достигаться на границе этой области.

Однако, задаваясь границей области изменения величины, мы тем самым вносим в задачу произвол, и поэтому говорить об оптимизации в этом случае беспредметно. Задача оптимизации возникает, как только будет указано или определено правило задания области изменения величины . Для этого необходимо перейти к другому критерию оптимальности.

Выберем в качестве критерия оптимальности суммарную массу рычага вместе с шарнирами и гидроцилиндра.

Тогда возможно определить следующую функцию:

, (2.2)

где – форма сечения рычага;

– толщина стенок рычага.

При этом должно выполняться условие прочности рычага

. (2.3)

Последнее условие играет роль ограничения для выбора сечения. Для прямоугольного сечения имеем

, (2.4)

где – ширина сечения рычага;

– высота сечения.

Поясним, почему масса рычага зависит от , Дело в том, что масса рычага зависит от нагрузок в шарнире подвеса, а последние зависят от усилия на штоке гидроцилиндра. Усилие на штоке, как это было показано выше, зависит от плеча, равного

Запишем логическую схему минимизации металлоемкости захватного устройства (рычагов и гидроцилиндров):

(2.5)

Поясним логическую схему оптимизационной задачи. Варьируются величины а и . При этом область варьирования А ограничена условием прочности, а область Д конструктивными возможностями (каждый раз угол берется по возможности ближе к 90⁰, поскольку это позволяет пространство, в котором размещается гидроцилиндр).

Составим конкретный алгоритм, реализующий данную логическую схему.

Начнем с условия прочности. Имеем

^. (2.6)

Моменты инерции I_x, I_y определяются по формулам:

(2.7)

(2.8)

Изгибающие моменты:

(2.9)

(2.10)

где – плечи сил относительно расчетного сечения;

– поперечная сила приложения в точке 1;

. (2.11)

Здесь – сопротивление подтаскиванию дерева за комель.

Если расстояние между шарнирами задано, то тем самым из чертежа рычага можно определить высоту расчетного сечения Н.

И тогда при заданной толщине стенок сечения уравнение (2.5) содержит одно неизвестное В.

Зная , из чертежа можем определить суммарную площадь листовой стали стенок рычага.

Итак, масса рычага для каждого заданного может быть определена по формуле

(2.12)

где – плотность листовой стали;

– объем стали рычага;

– коэффициент, учитывающий добавочную массу шарниров.

Перейдем теперь к определению массы гидроцилиндра. Усилие на штоке гидроцилиндра . Диаметр гидроцилиндра найден из условия

. (2.13)

Откуда

. (2.14)

Ход штока находим из чертежа при обжатии дерева максимального и минимального диаметров.

Зная диаметр гидроцилиндра и ход штока, находим по каталогу цилиндр соответствующей массы .

Приведенный алгоритм ставит в соответствие каждому значению суммарную массу рычага и гидроцилиндра. Остается организо­вать вариацию величины .

Задаемся минимальным значением , определенным из условия

, (2.15)

где , – диаметры шарниров;

h_пер – ширина перемычки.

Указанные величины всегда могут быть оценены приближенно. Диаметры пальцев можно оценить из данных прототипа, минимальная ширина перемычки может быть задана ориентировочно.

После того как установлено наименьшее расстояние между шарнирами , задаемся шагом варьирования и повторяем для каждого " " вычисления. Величину " "увеличиваем де тех пор, пока суммарная масса не начнет возрастать. В итоге получаем гра­фик зависимости .

Из графика (рис. 2.2) находим оптимальное значение варьи­руемого параметра " " и минимум массы рычага с гидроцилиндром.

Рис. 2.2. График для определения оптимальных значений параметра " "

Располагая графиком зависимости , можно решить за­дачу поиска квазиоптимального решения по массе и габаритам. Ценой некоторого завышения массы можем уменьшить габариты рычага по размеру на величину . Это решение будет близко к оп­тимальному по критерию минимума массы и в то же время меньших га­баритов. Существенно, что известна цена уменьшения габаритов (размеров) рычага.

Полученное оптимальное решение представляет интерес в тео­ретическом плане в смысле оценки предельных возможностей уменьшения массы. Однако, прежде чем суммарная масса достигает своего минимума, вступят в силу другие ограничения. В самом деле, воз­растание величины (плеча силы ) влечетза собой увеличение рабочего хода и длины гидроцилиндра, ко­торая должна быть больше удвоенного хода штока. А это обстоятельство приводит к тому, что длинный цилиндр не вмещается в отведенное для него конструктивное пространство. Увеличение конструктивного пространства сопряжено с увеличением габаритов проектируемого устройства в целом и его массы за счет увеличения массы корпуса.

Из сказанного следует ограниченная задача минимизации суммарной массы захватного устройства, которая сводится к увеличению величины " "до тех пор, пока длина гидроцилиндра не превысит допустимого значения.

Логическая схема этой задачи заменяется в следующем виде

(2.16)

Проблемные ситуации:

– Проблема оптимизации, когда она возникает и как разрешается?

– В чем состоит принципиальное отличие поиска экстремума функции в курсе высшей математики от поиска оптимального техни­ческого решения?

– Какую роль выполняет взадаче оптимизации критерий оптимальности и в чемсостоит формализация критерия?

– Всегда ли надо стремиться реализовать оптимум, какой смысл в поиске квазиоптимального решения?

– Почему решение, найденное на границе, не является квазиоптимальным, хотя оно и не есть строгий минимум (максимум)?

– Бывает, что ограничение работает как равенство, а бывает – как неравенство. Отчего это зависит?

– Как изменится формализация задачи оптимального проектирова­ния захватного устройства, если учесть изменение массы корпуса в зависимости от габаритов гидроцилиндра (цилиндр не размещается в отводимом длянего конструктивном пространстве)?