П. 2. Основные определения

Топологические пространства как обобщение метрических пространств.

Топологи́ческое простра́нство- понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства, в котором рассматриваются только свойства непрерывности.

Определение:

Пусть дано множество . Система его подмножеств называется тополо́гией на , если выполнены следующие условия:

1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то .

2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то .

3. .

Свойства 1-3 аксиомы топологической структуры

Пара называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие , называются открытыми множествами.

Пр: (E, p)- метрическое пространство является топологическим пространством семейства открытых множеств определяется с помощью открытых шаров.

Метри́ческим простра́нством

П.1 Понятие метрического пространства.

Пусть Х произвольное непустое множество. Говорят, что на Х задана мет-

рика (расстояние), если для каждой паре элементов x,y€X поставлено в соответст-

вие единственное неотрицательное число ρ(х,у), удовлетворяющее следующим

Трем условиям (аксиомам метрического пространства)

1. ρ(х,у)=0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома тождества);

2. ρ(х,у)= ρ(у,х) для любых х,у€X (аксиома симметрии);

3. ρ(х,у)+ ρ(у,z)≥ ρ(х,z) для любых х,у,z€X (аксиома треугольника);

Пара (Х, ρ) т.е. множество Х с заданной на нем метрикой называется метри-

Ческим пространством.

Топологическим пространством называется множество , в котором зафиксирован класс подмножеств, называемых открытыми, удовлетворяющий следующей системе аксиом (аксиомы топологии для открытых подмножеств):
;
;
Для любого набора , выполнено условие
Для любого конечного набора , выполнено условие
Элементы множества называются точками, класс - топологией на множестве .

Аксиомы топологии:

Аксиома Т0 (аксиома Колмогорова). Для любых двух не совпадающих точекхотя бы одна из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.Очевидно, что для тривиальной топологии аксиома Т0 не выполняется: в этойтопологии есть ровно одно непустое открытое множество - всё X, поэтому всё Xбудет единственной возможной окрестностью для любой точки и для произвольнойпары точек их "любые" окрестности просто совпадают. Все остальныепространства, описанные выше, этим свойством обладают (докажите!). Аксиома Т1. Для любых двух не совпадающих точек каждая из них имеетокрестность, не содержащую другую точку.Нетрудно видеть, что пространство, удовлетворяющее аксиоме Т1, удовлетворяет иаксиоме Т0, а не удовлетворяющее аксиоме Т0, не удовлетворяет и аксиоме Т1.Так что пространство с тривиальной топологией не удовлетворяет аксиоме Т1.Числовая прямая с правой топологией тоже не удовлетворяет Т1. Действительно,пусть x < y. Тогда, взяв x < a < y, мы получим, что (a,?) содержит y(то есть является его окрестностью) и не содержит x (отсюда следует выполнениеаксиомы Т0). Однако для любого b < x интервал (b,?) содержит и x, и y, тоесть любая окрестность точки x содержит и y.Отметим, что числовая прямая с топологией Зарисского удовлетворяет аксиоме Т1. Действительно, для x? y окрестностью точки x, не содержащей y, являетсядополнение R \ y, а окрестностью точки y, не содержащей x, является R \ x.Легко видеть, что прямая с обычной и дискретной топологиями удовлетворяютаксиоме Т1. Аксиома Т2 (аксиома Хаусдорфа). Для любых двух не совпадающих точек укаждой из них можно выбрать по окрестности так, чтобы эти окрестности непересекались.Понятно, что из выполнения аксиомы Т2 следует выполнение аксиомы Т1, и,значит, если не выполняется аксиома Т1, то не выполняется и аксиома Т2.Числовая прямая с топологией Зарисского не удовлетворяет аксиоме Т2.Действительно, поскольку в этой топологии открытое множество определяется какмножество, дополнение до которого состоит из конечного числа точек, а впрямой число точек бесконечно, то любые два открытых множества (в том числелюбые две окрестности) пересекаются по бесконечному числу точек.Очевидно, что прямая с обычной и прямая с дискретной топологиямиудовлетворяют аксиоме Т2.Влияние аксиом отделимости на свойства топологических пространствпроиллюстрируем на примере понятия предела последовательности, изучаемого встарших классах школы. В топологическом пространстве определение пределавыглядит следующим образом (сравните с обычным определением).

Способы задания топологии

Задание топологии с помощью базы или предбазы

Не всегда удобно перечислять все открытые множества. Часто удобнее указать некоторый меньший набор открытых множеств, который порождает их все. Формализацией этого является понятие базы топологии. Подмножество топологии называетсябазой топологии, если всякое открытое множество представляется как объединение множеств из , то есть

Еще более экономный способ задания топологии состоит в задании её предбазы — множества, которое становится базой, если к нему прибавить произвольные конечные пересечения его элементов. Для того, чтобы систему множеств можно было объявить предбазой топологии, необходимо и достаточно, чтобы она покрывала всё множество .

Наиболее часто предбазы используются для задания топологии, индуцированной на семейством отображений (см. далее).

Задание топологии с помощью замкнутых множеств

Множество называется замкнутым, если его дополнение — открытое множество. Задать топологию на системой замкнутых множеств — значит предъявить систему подмножеств X со свойствами:

1. Система замкнута относительно операции пересечения множеств (в том числе бесконечных семейств):

2. Система замкнута относительно операции объединения множеств (в конечном количестве):

3. Множества включены в систему .

Если система множеств с такими свойствами задана, с помощью операции дополнения строится система открытых множеств, задающая топологию на .

Топологическое подпространство:

Подпространством топологического пространства называется подмножество со следующей (индуцированной) топологией : открытыми в являются подмножества вида .

Индуцированная топология подпространства

ПР: Пусть (А,Ω_А) - топологическое подпространство пространства (X,Ω), и множество В - подмножество множества А. Тогда может случиться, что В открыто в А и не открыто в X, или В замкнуто в А и не замкнуто в X. Поэтому соотношения между этими различными понятиями важны для нас.

П. 2. Основные определения

Точка а е(принадлежит) А называется внутренней точкой множества А, если существует окрестность этой точки, целиком входящая в множество А.

Совокупность всех внутренних точек множества А называется внутренностью множества А и обозначается А0 (другое обозначение – intA). Множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытым Точка b.называется внешней точкой множества А, если она является внутренней точкой дополнения, т.е. множества Х\А (т.е. существует окрестность точки b, не имеющая с множеством А общих точек).

Точка а е А называется предельной точкой множества А, если в любой окрестности точки содержится бесчисленное количество точек из множества А.. Множество всех предельных точек множества А называется производным множеством и обозначается А'.

Точка а называется точкой прикосновения множества А, если любая окрестность точки а имеет с множеством А непустое пересечение.

Замечание: Каждая предельная точка является точкой прикосновения, но не наоборот.

Точка множества А, не являющаяся предельной точкой, называется изолированной точкой (если точка изолированная, то существует такая окрестность этой точки, которая содержит из множества только саму эту точку). Каждая точка прикосновения – или предельная точка, или изолированная.

Множество М метрического пространства (Х, ρ) называется ограниченным, если существует открытый шар, целиком содержащий множество М.

Непрерывность в топологических пространствах:

Отображение топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть: