Защита контрольных работ выполняется по задачам с литерой Д.

Федеральное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

_______________________________________________________

Кафедра “Высшая математика”

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Рабочая программа и контрольные задания

Для студентов заочного факультета

Часть 2

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

 

Студенты всех специальностей во втором семестре выполняют контрольные работы N 4, 5, 6.

Контрольная работа N 4 (функции нескольких переменных) состоит из 5 задач: Д0371-Д0380, 301-310, 311-320, 321-330, 351-360.

Контрольная работа N 5 (комплексные числа и интегральное исчисление) состоит из 5 задач: Д0401-Д0410, Д0381-Д0390, 361-370, 371-380, 381-390.

Контрольная работа N 6 (интегральное исчисление) состоит из 5 задач: Д0391-Д0400, 391-400, 401-410, 411-420, 451-460.

Защита контрольных работ выполняется по задачам с литерой Д.

 

 

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

 

Функции нескольких переменных

 

1. Функции двух и трех переменных. Область определения, геометрический смысл, способы задания. Предел функции. Непрерывность. Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области.

2. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложных и неявных функций. Инвариантность формы полного дифференциала. Геометрический смысл полного дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

3. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Определение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции в замкнутой ограниченной области. Условный экстремум. Приближение функции методом наименьших квадратов.

4. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению и градиент скалярного поля. Свойства градиента.

5. Векторная функция скалярного аргумента. Производная векторной функции, ее геометрический и механический смыслы. Параметрические уравнения кривой в пространстве. Винтовая линия. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

 

Комплексные числа. Многочлены

 

1. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формулы Эйлера. Алгебраические действия над комплексными числами.

2. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на простейшие дроби.

 

 

Неопределенный интеграл

1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование простейших иррациональных выражений. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

 

Определенный интеграл

1. Задачи, приводящие к понятию интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница. Вычисления определенного интеграла подстановкой и по частям.

2. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций.

4. Геометрические приложения определенного интеграла.

 

Кратные и криволинейные интегралы

1. Задачи, связанные с понятиями двойного, тройного и криволинейного интегралов.

2. Двойной и тройной интегралы и их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах. Вычисление тройного интеграла путем сведения его к вычислению двойного или определенного интеграла.

3. Криволинейные интегралы первого и второго рода, свойства и вычисление. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования.

4. Геометрические и механические приложения кратных и криволинейных интегралов.

 

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

 

1. Дайте определение частной производной. Приведите примеры.

2. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции двух переменных.

3. В чем состоит отличие между задачами нахождения экстремума функции двух переменных и определения наибольшего или наименьшего значения этой функции в замкнутой области?

4. Как преобразовать алгебраическую форму записи комплексного числа в тригонометрическую?

5. Какая функция называется первообразной? Как проверить результат интегрирования?

6. Напишите таблицу первообразных основных элементарных функций.

7. Дайте определение определенного интеграла.

8. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

9. Приведите пример использования определенного интеграла при вычислении площади фигуры.

10. Дайте определение двойного интеграла.

 

 

Список рекомендуемой литературы

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. т. I, 12-е изд. – М: Наука. –2007.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Физматлит, 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах., т. I, М.: Высшая школа –2008.

4. Письменный Д.Г. Конспект лекций по математике: полный курс. - М: АЙРИС ПРЕСС, 2006.

5. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / [Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н.]; под ред. Н. Ш. Кремера. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

 

Д0371-Д0380. Найти частные производные первого порядка

для функции .

 

Д0371. . Д0372. . Д0373. .

Д0374. . Д0375. . Д0376. .

Д0377. . Д0378. . Д0379. .

Д0380. .

 

Д0401-Д0410. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел.

 

Д0401. . Д0402. . Д0403. .

Д0404. . Д0405. . Д0406. .

Д0407. . Д0408. . Д0409. .

Д0410. .

 

Д0381-Д0390. Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить

дифференцированием.

 

Д0381. а) ; б) ; в) .

Д0382. а) ; б) ; в) .

Д0383. а) ; б) ; в) .

Д0384. а) ; б) ; в) .

Д0385. а) ; б) ; в) .

Д0386. а) ; б) ; в) .

Д0387. а) ; б) ; в) .

Д0388. а) ; б) ; в) .

Д0389. а) ; б) ; в) .

Д0390. а) ; б) ; в) .

 

 

Д0391-Д0400. Вычислить определенный интеграл.

Д0391. ; Д0392. ; Д0393. ;

Д0394. ; Д0395. ; Д0396. ;

Д0397. ; Д0398. ; Д0399. ;

Д0400. .

 

 

301-310. Найти частные производные второго порядка для функции z = f (x, y) и показать, что она удовлетворяет данному уравнению.

301.	z =e xy;
302.	z =sin(x – y)/ x;
303.	z =ln(x 2 + y 2 + 2 x + 1);
304.	z = x e y/x;
305.	z =sin(x + ay);	.
306.	z = ln(x + e –y);
307.	z =e–cos (a x+y);	.
308.	z =sin2(y – ax);	.
309.	z =arctg(x/y);
310.	z = x y;

311-320. Дана функция z = f(x, y) и точки A(x ₀; y ₀) и B(x ₁; y ₁). Требуется:

1) вычислить точное значение функции в точке B;

2) вычислить приближенное значение функции в точке B, исходя из значения функции в точке A, и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом;

3) оценить в процентах относительную погрешность;

4) составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = f(x, y) в точке C(x ₀; y ₀; z ₀).

 

№	z =f(x, y)	A(x 0; y 0)	B(x 1; y 1)
311.	z =3 xy + 2 x + y	A(1;2);	B(1.05; 1.93).
312.	z = x 2 – y 2 + 5 x + 4 y	A(3;2);	B(3.02; 1.98).
313.	z =3 y 2 – 9 xy + y	A(1;3);	B(1.07; 2.94).
314.	z = x 2 + 2 xy + 3 y 2	A(2;1);	B(1.95; 1.04).
315.	z =2 xy + 3 y 2 – 5 x	A(3;4);	B(3.04; 3.95).
316.	z = xy + x – y	A(1.5;2.3);	B(1.43; 2.35).
317.	z = x 2 – y 2 – 2 x + y	A(4;1);	B(3.98; 1.06).
318.	z = y 2 + 6 xy – 3 y	A(3;2);	B(2.94; 2.05).
319.	z =2 xy + 3 x – 2 y	A(2;2);	B(1.93; 2.05).
320.	z = x 2 + y 2 + 2 x + 3 y	A(1;2);	B(1.05; 1.98).

 

321-330. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой области D. Сделать чертеж.

 

№	z = f(x, y)	Область D
321.	z = x 2 – 2 y + 4 xy – 6 x – 1
322.	z = xy – x – 2 y
323.	z =5 x 2 – 3 xy + y 2 + 4
324.	z =3 x + y – xy
325.	z = x 2 + 2 xy – y 2 – 4 y
326.	z = x 2 + 2 xy – y 2 + 4 x
327.	z = x 2 + 3 y 2 x – y
328.	z = x 2 + 2 y 2 + 1
329.	z = x 2 + y 2 – xy + x + y
330.	z = 3 – 2 x 2 – xy – y 2

 

331-340. Найти экстремум функции z = f(x, y) при условии j(x, y) = 0.

 

№	z =f(x, y)	(x, y) = 0
331.	z = x 2 + y 2	x + y = 1
332.	z = x 2 + y 2	x /3 + y /4 = 1
333.	z = x 2 + y 2	4 x – 3 y = 1
334.	z = x 2 + y 2	– x /3 + y /4 = 1
335.	z = x 2 + y 2	x – y = 1
336.	z = x /3 + y /4	x 2 + y 2 = 1
337.	z = x – y	x 2 + y 2 = 1
338.	z =4 x – 3 y	x 2 + y 2 = 1
339.	z = x /4 – y /3	x 2 + y 2 = 25
340.	z =– x /5 + y /12	x 2 + y 2 = 1

341-350. Дана функция z = f(x, y), точка A(x ₀, y ₀) и вектор` а = (a _x, a _y). Найти: 1) grad z в точке A;

2) производную в точке A по направлению вектора` а.

 

№	z =f(x, y)	A(x 0; y 0)	` а = (a x; a y)
341.	z =ln(cos(x + y))	A(4; 3)	` а = (-1; 1)
342.	z =(x–y)/(x + y)	A(4; 3)	` а = (2; 2)
343.	z =arctg(x2/y)	A(-2; 4)	` а = (3; 4)
344.	z =e	A(0; 1)	` а = (8; 6)
345.	z =ln	A(1; -1)	` а = (4; 3)
346.	z =arsin	A(1; 4)	` а = (-5; 12)
347.	z = x 4 + 5 x 2 y 2 – 3	A(2; -2)	` а = (-2; 5)
348.	z =ln(x 2 – )	A(2; 1)	` а = (1; 4)
349.	z =5 x 2 + 6 xy	A(2; 1)	` а = (1; 2)
350.	z =ln(3 x – 2 y)2	A(2; 1)	` а = (1; -1)

 

351-360. Экспериментально получены пять значений функции y = f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблицу.

		xi	1	2	3	4	5
	yi	y1	y2	y3	y4	y5

Методом наименьших квадратов найти функцию вида Y = aX+b, выражающую приближенно функцию y = f(x). Сделать чертеж, на котором в декартовой системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции Y = aX+b.

 

Задачи
y1	5.9	5.5	3.9	4.9	4.5	5.7	5.2	5.1	4.7	4.3
y2	6.9	6.5	4.9	5.9	5.5	6.7	6.2	6.1	5.7	5.3
y3	5.4	5.0	3.4	4.4	4.0	5.2	4.7	4.6	4.2	3.8
y4	3.4	3.0	1.4	2.4	2.0	3.2	2.7	2.6	2.2	1.8
y5	3.9	3.5	1.9	2.9	2.5	3.7	3.2	3.1	2.7	2.3

361-370. Дано комплексное число а. Требуется:

a) записать число а в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

б) изобразить а на комплексной плоскости;

в) вычислить а ¹²;

г) найти все корни уравнения z³– а = 0;

д) вычислить произведение полученных корней;

е) составить квадратное уравнение с действительными

коэффициентами, корнем которого, является а.

 

361. а = ; 362. а = ; 363. а = ;

364. а = ; 365. а = ; 366. а = ;

367. а = ; 368. а = ; 369. а = ;

370. а = .

 

371-380. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

 

371. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; e) .

 

372. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 

373. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; e) .

 

374. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; e) .

 

375. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; e) .

 

376. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; e) .

 

377. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; e) .

 

378. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; e) .

 

379. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; e) .

 

380. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 

381-320. Вычислить определённый интеграл.

381. ; 3 82. ; 383.

 

 

384. ; 385. ; 386. ;

 

387. ; 388. ; 389. ;

390. .

391-400. Проверить сходимость несобственных интегралов.

391. ; 392. ; 393. ;

394. ; 395. ; 396. ;

397. ; 398. ; 399. ;

400. .

 

401-410. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями.

401. a) y = x ² ; y = 2/ x; y = 16; б) r² = 9cos2j.

402. a) y = x ³; y = x; y = 4 x; б) r = 2(1 + cosj).

403. a) y = x; y = x /2; y = 12 – x; б) r = 2cos3j.

404. a) y = x ² + 1; y = 3 x + 1; б) r = 4cosj.

405. a) y = 2/ x; y = x /2; y = 2; б) r = 4sin2j.

406. a) y = x ²; y = 2/ x; x = 6; б) r = cos2j.

407. a) y = 2 x; y = x; y = 6 – x; б) r = 3 – cos2j.

408. a) y = 3 x ² + 1; y = 3 x + 7; б) r = 2(1 + sinj).

409. a) y = 2 x – x ²; x + y = 0; б) r = 4(1 + sin²j).

410. a) y = x ² + 4 x; y = x + 4; б) r = 3(1 – cosj).

 

411-420. Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах, предварительно изобразив на чертеже области интегрирования.

411. ; 412. ;

 

413. ; 414. ;

 

415. ; 416. ;

 

417. ; 418. ;

 

419. ; 420. .

 

421-430. Вычислить массу однородного тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость XOY.

 

421. z = 4 – x ² ; y = 5; y = 0; z = 0.

422. z = 9 – x ²; x + y = 3; y = 2 x; z = 0; y = 0.

423. x + y + z = 6; x = 3; y = 3; x = 0; y = 0; z = 0.

424. z = 0; 4 z = y ²; 2 x – y = 0; x + y = 9.

425. z = 1 – x ²; z = 0; y = 0; y = 3– x.

426. z = 4 y ^1/2; z = 0; x = 0; x + y = 4.

427. z = x ² + y ²; x = 0; y = 0; z = 0; x = 3; y = 4.

428. 2 z = 2 – x – y; z = 0; x = y ²; y = x.

429. z = 1 – y ²; z = 0; x = y ²; x = 2 y ² + 1.

430. z = x ² + y ²; y = x ²; y = 1; z = 0.

 

431-440. Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода по отрезку прямой между точками А и В.

431. ; A(0,0,0); B(1,2,2).

432. ; A(8,9,3); B(6,9,5).

433. ; A (1,4,5); B (2,6,7).

434. ; A (2,1,3); B (4,3,4).

435. ; A (1,2,3); B (3,4,4).

436. ; A (3,-1,2); B (5,0,4).

437. ; A (4,1,3); B (6,2,5).

438. ; A (2,3,1); B (3,5,3).

439. ; A (1,2,5); B (3,4,6).

440. ; A (6,1,2); B (7,3,4).

 

441-450. Найти работу, производимую силой , вдоль указанного пути L. Сделать чертеж кривой L.

 

441. ;

L–ломаная ОАВ; где (×) O (0;0); (×) A (2;0); (×) B (4;5).

 

442. ;

L–дуга окружности, задаваемой уравнениями x = 5cos t; y = 5sin t, от (×) A (5; 0) до (×) B (0;5).

 

443. ;

L– дуга кривой xy = 1 (1£ x £4).

 

444. ;

L– дуга параболы y = x ² от (×) A (-1; 1) до (×) B (1; 1).

445. ;

L–верхняя половина эллипса, задаваемого уравнениями x = 3cos t, y = 2sin t, (0 £ t £ p).

446. ;

L–дуга кривой y = e^{– x} от (×) A (0;1) до (×) B(-1;e).

 

447. ;

L–ломаная ABC, где (×) A (1;2), (×) B (1;5), (×) C (3;5).

 

448. ;

L– дуга астроиды x = cos³ t, y = sin³ t, (0 £ t £ p/2).

 

449. ;

L– дуга параболы y = 2 x ² от (×) O(0;0) до (×) A (1;2).

 

450. ;

L– дуга кривой y = ln x от (×) A(1;0) до (×) B(e;1).

 

451-460. Вычислить значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

 

451. . 452. . 453. .

454. . 455. . 456. .. 457. . 458. . 459. .. 460. .

 

 

СОСТАВИЛИ: профессор Гарбарук В.В.,

доцент Канунников В.Н.,

ст. преп. Луценко Ю.Г.,

доцент Соловьева И.М.