Федеральное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
_______________________________________________________
Кафедра “Высшая математика”
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Рабочая программа и контрольные задания
Для студентов заочного факультета
Часть 2
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
Студенты всех специальностей во втором семестре выполняют контрольные работы N 4, 5, 6.
Контрольная работа N 4 (функции нескольких переменных) состоит из 5 задач: Д0371-Д0380, 301-310, 311-320, 321-330, 351-360.
Контрольная работа N 5 (комплексные числа и интегральное исчисление) состоит из 5 задач: Д0401-Д0410, Д0381-Д0390, 361-370, 371-380, 381-390.
Контрольная работа N 6 (интегральное исчисление) состоит из 5 задач: Д0391-Д0400, 391-400, 401-410, 411-420, 451-460.
Защита контрольных работ выполняется по задачам с литерой Д.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Функции нескольких переменных
1. Функции двух и трех переменных. Область определения, геометрический смысл, способы задания. Предел функции. Непрерывность. Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области.
2. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложных и неявных функций. Инвариантность формы полного дифференциала. Геометрический смысл полного дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
3. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Определение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции в замкнутой ограниченной области. Условный экстремум. Приближение функции методом наименьших квадратов.
4. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению и градиент скалярного поля. Свойства градиента.
5. Векторная функция скалярного аргумента. Производная векторной функции, ее геометрический и механический смыслы. Параметрические уравнения кривой в пространстве. Винтовая линия. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
Комплексные числа. Многочлены
1. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формулы Эйлера. Алгебраические действия над комплексными числами.
2. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на простейшие дроби.
Неопределенный интеграл
1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование простейших иррациональных выражений. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
Определенный интеграл
1. Задачи, приводящие к понятию интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница. Вычисления определенного интеграла подстановкой и по частям.
2. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций.
4. Геометрические приложения определенного интеграла.
Кратные и криволинейные интегралы
1. Задачи, связанные с понятиями двойного, тройного и криволинейного интегралов.
2. Двойной и тройной интегралы и их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах. Вычисление тройного интеграла путем сведения его к вычислению двойного или определенного интеграла.
3. Криволинейные интегралы первого и второго рода, свойства и вычисление. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования.
4. Геометрические и механические приложения кратных и криволинейных интегралов.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Дайте определение частной производной. Приведите примеры.
2. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции двух переменных.
3. В чем состоит отличие между задачами нахождения экстремума функции двух переменных и определения наибольшего или наименьшего значения этой функции в замкнутой области?
4. Как преобразовать алгебраическую форму записи комплексного числа в тригонометрическую?
5. Какая функция называется первообразной? Как проверить результат интегрирования?
6. Напишите таблицу первообразных основных элементарных функций.
7. Дайте определение определенного интеграла.
8. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.
9. Приведите пример использования определенного интеграла при вычислении площади фигуры.
10. Дайте определение двойного интеграла.
Список рекомендуемой литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. т. I, 12-е изд. – М: Наука. –2007.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Физматлит, 2006.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах., т. I, М.: Высшая школа –2008.
4. Письменный Д.Г. Конспект лекций по математике: полный курс. - М: АЙРИС ПРЕСС, 2006.
5. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / [Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н.]; под ред. Н. Ш. Кремера. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Д0371-Д0380. Найти частные производные первого порядка
для функции 
.
Д0371. 
. Д0372. 
. Д0373. 
.
Д0374. 
. Д0375. 
. Д0376. 
.
Д0377. 
. Д0378. 
. Д0379. 
.
Д0380. 
.
Д0401-Д0410. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел.
Д0401. 
. Д0402. 
. Д0403. 
.
Д0404. 
. Д0405. 
. Д0406. 
.
Д0407. 
. Д0408. 
. Д0409. 
.
Д0410. 
.
Д0381-Д0390. Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить
дифференцированием.
Д0381. а) 
; б) 
; в) 
.
Д0382. а) 
; б) 
; в) 
.
Д0383. а) 
; б) 
; в) 
.
Д0384. а) 
; б) 
; в) 
.
Д0385. а) 
; б) 
; в) 
.
Д0386. а) 
; б) 
; в) 
.
Д0387. а) 
; б) 
; в) 
.
Д0388. а) 
; б) 
; в) 
.
Д0389. а) 
; б) 
; в) 
.
Д0390. а) 
; б) 
; в) 
.
Д0391-Д0400. Вычислить определенный интеграл.
Д0391. 
; Д0392. 
; Д0393. 
;
Д0394. 
; Д0395. 
; Д0396. 
;
Д0397. 
; Д0398. 
; Д0399. 
;
Д0400. 
.
301-310. Найти частные производные второго порядка для функции z = f (x, y) и показать, что она удовлетворяет данному уравнению.
| 301. | z =e xy; | 
|
| 302. | z =sin(x – y)/ x; | 
|
| 303. | z =ln(x 2 + y 2 + 2 x + 1); | 
|
| 304. | z = x e y/x; |
|
| 305. | z =sin(x + ay); |  .
|
| 306. | z = ln(x + e –y); | 
|
| 307. | z =e–cos (a x+y); |  .
|
| 308. | z =sin2(y – ax); |  .
|
| 309. | z =arctg(x/y); | 
|
| 310. | z = x y; | 
|
311-320. Дана функция z = f(x, y) и точки A(x 0; y 0) и B(x 1; y 1). Требуется:
1) вычислить точное значение функции в точке B;
2) вычислить приближенное значение функции в точке B, исходя из значения функции в точке A, и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность;
4) составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = f(x, y) в точке C(x 0; y 0; z 0).
| № | z =f(x, y) | A(x 0; y 0) | B(x 1; y 1) |
| 311. | z =3 xy + 2 x + y | A(1;2); | B(1.05; 1.93). |
| 312. | z = x 2 – y 2 + 5 x + 4 y | A(3;2); | B(3.02; 1.98). |
| 313. | z =3 y 2 – 9 xy + y | A(1;3); | B(1.07; 2.94). |
| 314. | z = x 2 + 2 xy + 3 y 2 | A(2;1); | B(1.95; 1.04). |
| 315. | z =2 xy + 3 y 2 – 5 x | A(3;4); | B(3.04; 3.95). |
| 316. | z = xy + x – y | A(1.5;2.3); | B(1.43; 2.35). |
| 317. | z = x 2 – y 2 – 2 x + y | A(4;1); | B(3.98; 1.06). |
| 318. | z = y 2 + 6 xy – 3 y | A(3;2); | B(2.94; 2.05). |
| 319. | z =2 xy + 3 x – 2 y | A(2;2); | B(1.93; 2.05). |
| 320. | z = x 2 + y 2 + 2 x + 3 y | A(1;2); | B(1.05; 1.98). |
321-330. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой области D. Сделать чертеж.
| № | z = f(x, y) | Область D |
| 321. | z = x 2 – 2 y + 4 xy – 6 x – 1 | 
|
| 322. | z = xy – x – 2 y | 
|
| 323. | z =5 x 2 – 3 xy + y 2 + 4 | 
|
| 324. | z =3 x + y – xy | 
|
| 325. | z = x 2 + 2 xy – y 2 – 4 y | 
|
| 326. | z = x 2 + 2 xy – y 2 + 4 x | 
|
| 327. | z = x 2 + 3 y 2 x – y | 
|
| 328. | z = x 2 + 2 y 2 + 1 |
|
| 329. | z = x 2 + y 2 – xy + x + y | 
|
| 330. | z = 3 – 2 x 2 – xy – y 2 | 
|
331-340. Найти экстремум функции z = f(x, y) при условии j(x, y) = 0.
| № | z =f(x, y) |  (x, y) = 0
|
| 331. | z = x 2 + y 2 | x + y = 1 |
| 332. | z = x 2 + y 2 | x /3 + y /4 = 1 |
| 333. | z = x 2 + y 2 | 4 x – 3 y = 1 |
| 334. | z = x 2 + y 2 | – x /3 + y /4 = 1 |
| 335. | z = x 2 + y 2 | x – y = 1 |
| 336. | z = x /3 + y /4 | x 2 + y 2 = 1 |
| 337. | z = x – y | x 2 + y 2 = 1 |
| 338. | z =4 x – 3 y | x 2 + y 2 = 1 |
| 339. | z = x /4 – y /3 | x 2 + y 2 = 25 |
| 340. | z =– x /5 + y /12 | x 2 + y 2 = 1 |
341-350. Дана функция z = f(x, y), точка A(x 0, y 0) и вектор` а = (a x, a y). Найти: 1) grad z в точке A;
2) производную в точке A по направлению вектора` а.
| № | z =f(x, y) | A(x 0; y 0) | ` а = (a x; a y) |
| 341. | z =ln(cos(x + y)) | A(4; 3) | ` а = (-1; 1) |
| 342. | z =(x–y)/(x + y) | A(4; 3) | ` а = (2; 2) |
| 343. | z =arctg(x2/y) | A(-2; 4) | ` а = (3; 4) |
| 344. |
z =e 
| A(0; 1) | ` а = (8; 6) |
| 345. | z =ln 
| A(1; -1) | ` а = (4; 3) |
| 346. | z =arsin 
| A(1; 4) | ` а = (-5; 12) |
| 347. | z = x 4 + 5 x 2 y 2 – 3 | A(2; -2) | ` а = (-2; 5) |
| 348. | z =ln(x 2 –  )
| A(2; 1) | ` а = (1; 4) |
| 349. | z =5 x 2 + 6 xy | A(2; 1) | ` а = (1; 2) |
| 350. | z =ln(3 x – 2 y)2 | A(2; 1) | ` а = (1; -1) |
351-360. Экспериментально получены пять значений функции y = f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблицу.
| xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| yi | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 |
Методом наименьших квадратов найти функцию вида Y = aX+b, выражающую приближенно функцию y = f(x). Сделать чертеж, на котором в декартовой системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции Y = aX+b.
| Задачи | ||||||||||
| y1 | 5.9 | 5.5 | 3.9 | 4.9 | 4.5 | 5.7 | 5.2 | 5.1 | 4.7 | 4.3 |
| y2 | 6.9 | 6.5 | 4.9 | 5.9 | 5.5 | 6.7 | 6.2 | 6.1 | 5.7 | 5.3 |
| y3 | 5.4 | 5.0 | 3.4 | 4.4 | 4.0 | 5.2 | 4.7 | 4.6 | 4.2 | 3.8 |
| y4 | 3.4 | 3.0 | 1.4 | 2.4 | 2.0 | 3.2 | 2.7 | 2.6 | 2.2 | 1.8 |
| y5 | 3.9 | 3.5 | 1.9 | 2.9 | 2.5 | 3.7 | 3.2 | 3.1 | 2.7 | 2.3 |
361-370. Дано комплексное число а. Требуется:
a) записать число а в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;
б) изобразить а на комплексной плоскости;
в) вычислить а 12;
г) найти все корни уравнения z3– а = 0;
д) вычислить произведение полученных корней;
е) составить квадратное уравнение с действительными
коэффициентами, корнем которого, является а.
361. а = 
; 362. а = 
; 363. а = 
;
364. а = 
; 365. а = 
; 366. а = 
;
367. а = 
; 368. а = 
; 369. а = 
;
370. а = 
.
371-380. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.
371. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; e) 
.
372. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
373. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; e) 
.
374. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; e) 
.
375. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; e) 
.
376. a) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; e) 
.
377. a) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; e) 
.
378. a) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; e) 
.
379. a) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; e) 
.
380. a) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
381-320. Вычислить определённый интеграл.
381. 
; 3 82. 
; 383. 
384. 
; 385. 
; 386. 
;
387. 
; 388. 
; 389. 
;
390. 
.
391-400. Проверить сходимость несобственных интегралов.
391. 
; 392. 
; 393. 
;
394. 
; 395. 
; 396. 
;
397. 
; 398. 
; 399. 
;
400. 
.
401-410. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями.
401. a) y = x 2 ; y = 2/ x; y = 16; б) r2 = 9cos2j.
402. a) y = x 3; y = x; y = 4 x; б) r = 2(1 + cosj).
403. a) y = x; y = x /2; y = 12 – x; б) r = 2cos3j.
404. a) y = x 2 + 1; y = 3 x + 1; б) r = 4cosj.
405. a) y = 2/ x; y = x /2; y = 2; б) r = 4sin2j.
406. a) y = x 2; y = 2/ x; x = 6; б) r = cos2j.
407. a) y = 2 x; y = x; y = 6 – x; б) r = 3 – cos2j.
408. a) y = 3 x 2 + 1; y = 3 x + 7; б) r = 2(1 + sinj).
409. a) y = 2 x – x 2; x + y = 0; б) r = 4(1 + sin2j).
410. a) y = x 2 + 4 x; y = x + 4; б) r = 3(1 – cosj).
411-420. Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах, предварительно изобразив на чертеже области интегрирования.
411. 
; 412. 
;
413. 
; 414. 
;
415. 
; 416. 
;
417. 
; 418. 
;
419. 
; 420. 
.
421-430. Вычислить массу однородного тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость XOY.
421. z = 4 – x 2 ; y = 5; y = 0; z = 0.
422. z = 9 – x 2; x + y = 3; y = 2 x; z = 0; y = 0.
423. x + y + z = 6; x = 3; y = 3; x = 0; y = 0; z = 0.
424. z = 0; 4 z = y 2; 2 x – y = 0; x + y = 9.
425. z = 1 – x 2; z = 0; y = 0; y = 3– x.
426. z = 4 y 1/2; z = 0; x = 0; x + y = 4.
427. z = x 2 + y 2; x = 0; y = 0; z = 0; x = 3; y = 4.
428. 2 z = 2 – x – y; z = 0; x = y 2; y = x.
429. z = 1 – y 2; z = 0; x = y 2; x = 2 y 2 + 1.
430. z = x 2 + y 2; y = x 2; y = 1; z = 0.
431-440. Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода по отрезку прямой между точками А и В.
431. 
; A(0,0,0); B(1,2,2).
432. 
; A(8,9,3); B(6,9,5).
433. 
; A (1,4,5); B (2,6,7).
434. 
; A (2,1,3); B (4,3,4).
435. 
; A (1,2,3); B (3,4,4).
436. 
; A (3,-1,2); B (5,0,4).
437. 
; A (4,1,3); B (6,2,5).
438. 
; A (2,3,1); B (3,5,3).
439. 
; A (1,2,5); B (3,4,6).
440. 
; A (6,1,2); B (7,3,4).
441-450. Найти работу, производимую силой 
, вдоль указанного пути L. Сделать чертеж кривой L.
441. 
;
L–ломаная ОАВ; где (×) O (0;0); (×) A (2;0); (×) B (4;5).
442. 
;
L–дуга окружности, задаваемой уравнениями x = 5cos t; y = 5sin t, от (×) A (5; 0) до (×) B (0;5).
443. 
;
L– дуга кривой xy = 1 (1£ x £4).
444. 
;
L– дуга параболы y = x 2 от (×) A (-1; 1) до (×) B (1; 1).
445. 
;
L–верхняя половина эллипса, задаваемого уравнениями x = 3cos t, y = 2sin t, (0 £ t £ p).
446. 
;
L–дуга кривой y = e– x от (×) A (0;1) до (×) B(-1;e).
447. 
;
L–ломаная ABC, где (×) A (1;2), (×) B (1;5), (×) C (3;5).
448. 
;
L– дуга астроиды x = cos3 t, y = sin3 t, (0 £ t £ p/2).
449. 
;
L– дуга параболы y = 2 x 2 от (×) O(0;0) до (×) A (1;2).
450. 
;
L– дуга кривой y = ln x от (×) A(1;0) до (×) B(e;1).
451-460. Вычислить значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
451. 
. 452. 
. 453. 
.
454. 
. 455. 
. 456. 
.. 457. 
. 458. 
. 459. 
.. 460. 
.
СОСТАВИЛИ: профессор Гарбарук В.В.,
доцент Канунников В.Н.,
ст. преп. Луценко Ю.Г.,
доцент Соловьева И.М.
