Практические занятия
Семинар № 5.1 (14). Основные элементарные функции, их графики преобразования.
1. Определить и построить на числовой оси области изменения переменных х, t, α, заданные следующими неравенствами 
; 
; 
.
Решение. 1). ═> 
═> -2≤ х ≤2. Ответ. 
.
2). ═> 
═> 
═> 
. Ответ. 
.
3). (Задание для самостоятельного решения).
2. Вычислить частное значение функции:
1). 
при х=0, х=а+1; 2). 
при х=-1/2.
Решение. 1). 
=2.
2). (Задание для самостоятельного решения).
Ответ. 1). 2; 2). 
.
3. Определить четность функций:
1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
.
Решение. 1). Вычислим 
= 
= 
. Значит, функция нечетная.
Задания 2), 3), 4) для самостоятельного решения.
Ответ. 1). Нечетная. 2). Четная. 3). Не является ни четной, ни нечетной. 4). Нечетная при х ≠0. При х =0 функция у (х) не существует.
4. Найти область определения функций: 1). 
; 2). 
;
3). 
; 4). 
; 5). 
.
Решение.1). ═> 1-х2≥0 ═> 
═>-1≤ х ≤1.
Задания 2), 3), 4), 5) для самостоятельного решения.
Ответ. 1). -1≤ х ≤1. 2). х ≠2 и х ≠3. 3). 
; 4). х ≠kπ, k 
Z, 5). 
.
5. Найти область изменения функций: 1). 
; 2). 
.
Решение. 1). 
=> 
=> 
=> 
.
, значит, 
, или 
.
Ответ. .
2). Из функции выразим х через у, получим 
. Это выражение имеет смысл, если
1-4у2≥0 или 
.
Ответ. 
.
6. Найти наименьший период функций: 1). 
; 2). 
.
Решение. 1). => 
=> 
=> 
=> 
=> x=x+π =>T=π.
2). (Задание для самостоятельного решения).
Ответ. 1). T=π. 2). Т=2π.
Семинар № 5.2 (15). Основные элементарные функции, их графики преобразования.
1. Построить график функций:
1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
.
2. Построить график функции, заданной параметричеки:
1). 
; 2). 
.
Решение. 1). Составим таблицу значений переменных х и у в зависимости от параметра t и построим график в декартовой прямоугольной системе координат
| t | π/4 | π/2 | 3π/4 | π | 
| |
| x | -1+ 
| -1 | -1-
| -3 | ||
| y | 3+
| 3-
|
Это построение можно выполнить другим способом. Из задания функции исключим параметр t, получим 
. Это уравнение окружности с центром в точке (-1; 3) и радиусом r =2. Так как t [0;π), то sint ≥0, значит у ≥3, то есть имеем часть окружности, лежащую выше прямой у =3.
2). (Задание для самостоятельного решения).
3. В полярной системе координат построить кривую, давая значения 
через 
от 0 до 
. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат. Найти полярное уравнение кривой и построить ее:
1). а). 
; б). 
. 2). а). 
; б). 
.
Решение. 1). а). . Составим таблицу значений ρ (ρ ≥0) в зависимости от угла φ.
| φ | π/4 | π/2 | 3π/4 | π | 5π/4 | 3π/2 | 7π/4 | 2π | |
| ρ |
| - | - | - |
|
Построим график в полярной системе координат, совместив ее с декартовой прямоугольной системой координат
| Чтобы найти уравнение линии в декартовой системе координат, надо применить формулы, связывающие декартовые и полярные координаты точки, то есть  ;  ;  ;  ,  .
Получим  =2  , или  . Это уравнение окружности с центром в точке (1; 0) и радиусом r =1.
|
б). Для нахождения полярного уравнения линии воспользуемся уже известными формулами из предыдущего примера. Получим 
или 
. Составим следующую таблицу значений:
| φ | π/4 | π/2 | 3π/4 | π | 5π/4 | 3π/2 | 7π/4 | 2π | |
| ρ | - | - |
Построим график в полярной системе координат. 
.
2). (Задание для самостоятельного решения).
Семинар № 6.1 (16). Вычисление пределов функций.
1. Вычислить пределы: 1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
.
Решение.1). = 
=-11.
2). =∞, так как (х-4)→0 при х→4, (2х+5)→13, тогда дробь 
неограниченно возрастает.
3). ≤ 
=0. 4). ≤ 
=∞.
Ответ. 1). –11; 2). ∞; 3). 0; 4). ∞.
2. Вычислить пределы:
1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
.
Решение. 1). = 
= 
= 
=0.
2). = 
= 
=2. 3). = 
=∞.
4). (Задание для самостоятельного решения).
Ответ. 1). 0; 2).2; 3). ∞; 4). 0, если n<m; an/bm, если n=m; ∞, если n>m.
3. Вычислить пределы: 1). 
; 2). 
; 3). 
Решение. 1). = 
= 
= -1/2.
2). = 
= 
= 
= - 
= -2/3.
3). (Задание для самостоятельного решения).
Ответ. 1).-1/2; 2). –2/3; 3). 6.
4. Вычислить пределы. 1). 
; 2). 
.
Решение. 1). = 
= 
= 
=0.
2). (Задание для самостоятельного решения).
Ответ. 1). 0; 2). –1/2.
Задания для самостоятельного решения: 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
; 11) 
.
Ответ. 5). –3/2; 6). ∞; 7). ½; 8). 1/3; 9). –2; 10). 2; 11). 1.
Семинар № 6.2 (17). Вычисление пределов функций (замечательные пределы).
1. Вычислить пределы: 1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
.
Решение. 1). = 
=5 
=5∙1=5.
2). = 
= 
= 
= 
2.
Задания 3) и 4) для самостоятельного решения. Ответ. 1). 5; 2). 2; 3). 0; 4). 8.
2. Вычислить пределы: 1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
.
Решение. 1). . Проводим замену х-1=у.
Тогда = 
= 
= 
= 
= 
=2/π.
Задания 2), 3) и 4) для самостоятельного решения. Ответ. 1). 2/π; 2). –2; 3). 1; 4). 2.
3. Вычислить пределы: 1). 
; 2). 
; 3). 
Решение. 1). = 
= 
=е2.
Задания 2) и 3) для самостоятельного решения. Ответ. 1). е2; 2). 1; 3). ∞.
4. Вычислить пределы: 1). 
; 2). 
.
Решение. 1). = 
= 
= 
=1.
2). (Задание для самостоятельного решения). Ответ. 1). 1; 2). 3.
5. Вычислить пределы: 1). 
; 2). 
.
Решение. 1). . Проведем замену у=1/х. Тогда = 
= 
=1/ 
.
2). (Задание для самостоятельного решения). Ответ. 1). 1/ ; 2). е.
6. Вычислить пределы: 1). 
; 2). 
Решение. 1). = 
= 
= 
= 
= .
2). (Задание для самостоятельного решения). Ответ. 1). ; 2). е2.
7. Применяя эквивалентные бесконечно малые величины, вычислить пределы:
1). 
; 2). 
; 3). 
Решение. 1). 
~3 
; sin ~ ; 1+cos4 ~8x. Тогда 
= 
=3/8.
Задания 2) и 3) для самостоятельного решения. Ответ. 1). 3/8; 2). ; 3). 3.
Семинар № 6.3 (18). Непрерывность функций.
1. Исследовать на непрерывность функции: 1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
.
Решение. 1). Область определения функции х R кроме х=0, то есть (-∞; 0) 
(0, +∞). Так как функция является элементарной, то, значит, она непрерывна в области существования. Точка х=0 является точкой разрыва. Односторонние пределы 
=1 и 
=1, но у(0) не существует. 
2). . Область определения этой функции х (-∞; 0) (0, +∞). Она элементарная, а значит непрерывная в области существования. Односторонние пределы неравны, потому что 
= -π/2, 
= π/2. Это означает, что при х=0 функция терпит разрыв первого рода. 
Задания 3) и4) для самостоятельного решения.
Ответ. 1). х=0 точка разрыва, 2). х=0 точка разрыва, 3). х=0 точка разрыва, 4). х=1 точка разрыва.
2. Найти промежутки непрерывности и классифицировать точки разрыва для следующих функций:
1). 
; 2). 
; 3). 
.
Решение. 1). . Функция является элементарной и определена при х (-∞; 0) (0, +∞), следовательно, на этих интервалах она непрерывная.
Вычислим односторонние пределы, получим 
=1, 
=0.
Значит, х=0 точка разрыва первого рода.
Задания 2) и 3) для самостоятельного решения.
Ответ. 1). х=0 точка разрыва 1 рода, 2). х=2 точка разрыва (устранимого), 3). х=-1 х=1 точки разрыва 2 рода.
3. Исследовать на непрерывность функции
1). 
; 2). 
3). 
Решение. 1). . Пусть х<2, тогда f (x)= -(1/2)x2 является непрерывной на данном множестве. Если х>2, то f (x)=x и так же является непрерывной на указанном множестве. Осталось исследовать точку х=2. Вычислим односторонние пределы функции f (x). Получим 
=-2, 
=2. Значит, в точке х=2 функция f (x) терпит разрыв первого рода. 
Задания 2) и 3) для самостоятельного решения.
Семинар № 6.4 (19). Вычисление по непрерывным процентам.
Теория. Известно, что формула сложных процентов имеет вид 
, где Q0 – первоначальная сумма вклада, р – процент начисления за определенный период времени (месяц, год), n- количество периодов времени хранения вклада, Qn – сумма вклада по истечении n периодов времени.
(Этой формулой можно пользоваться в демографических расчетах, например, прирост населения, и в прогнозах экономики, например, увеличение валового национального продукта).
Пусть р=100% годовых. Составим таблицу расчета Qn.
| n | За один промежуток |
| Примечание |
 =2 Q0
| Процент начисляется один раз в год | ||
| 1/2 |  =(3/2)2 Q0=2,25 Q0
| Процент начисляется один раз в полугодие | |
| 1/4 |  =2,44 Q0
| Процент начисляется ежеквартально | |
| 1/12 |  ≈2,61 Q0
| Процент начисляется ежемесячно | |
| 1/365 |  ≈2,714 Q0
| Процент начисляется ежедневно | |
| 1/8720 |  ≈2,718 Q0
| Процент начисляется ежечасно | |
| n | 1/n |  при n→∞
| Непрерывное начисление процента |
Сколько бы ни было велико число начислений n, годовая сумма накоплений не превзойдет еQ0, а доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более, чем 
.
В общем случае, если р – процент начисления за год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины 
, где r=p/100 – годовая ставка процента. Это выражение можно преобразовать к виду 
и 
при n→∞. Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам.
Пример. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. На сколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?
Решение. Полгода составляют 182 дня. 
, преобразуем, получим 
≈ 
.
Ответ. Приблизительно в 6 раз.
Исполнительский блок
Индивидуальные домашние задания (контрольная работа)
Правила выполнения и оформления контрольной работы
При выполнении контрольной работы надо строго придерживаться указанных ниже правил:
§ Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, определенному преподавателем при выдаче ИДЗ (возможны другие способы определения). Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, не зачитываются;
§ Контрольную работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний преподавателя;
§ В заголовке работы должны быть четко написаны фамилия студента, его инициалы, номер контрольной работы (номер модуля или его название). Заголовок работы надо поместить на обложке тетради;
§ Решение задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номер задачи.
§ Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера;
§Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.
Задание 1. Дана функция у=f(x). Указать:
а) область определения D; б) множество значений Е;
в) особенности (четность, нечетность, симметричность графика, периодичность)
Задание 2. Построить схематически графики функций. Для функции у=f(x) найти значения в указанных точках a, b, c. Исследовать на непрерывность.
2.1 а) 
; б) 
а=-5; b=4; c=5; в) y=xsign(cosx).
2.2 a) 
; б) 
a=2; b=3,5; c=5; в) 
.
2.3 a) 
; б) 
а= - 
; b=0; c= ; в) y=(3x+1).
2.4 a) 
; б) 
а= - 
; b= 
; c=16; в) 
.
2.5 a) 
; б) 
а=2; b=0,5; c=5; в) 
.
2.6 a) 
; б) 
а= -1; b=0; c=4; в) 
.
2.7 а) 
; б) 
а=-3; b=0; c=4; в) 
.
2.8 а) 
; б) 
а=-4; b=1; c=4; в) 
2.9 a) 
; б) 
а=-1; b=0; c=4; в) 
.
2.10 a) 
; б) 
а=-1; b=0,5; c=5; в) 
.
2.11 a) 
б) 
а= ; b=- 
; c= 
; в) 
.
2.12 a) 
; б) 
а=-1; b=2; c=4; в) 
.
2.13 a) 
; б) 
а=0; b=1; c=2; в) 
.
2.14 a) 
; б) 
а=-2; b=0,5; c=4; в) 
.
2.15 а) 
; б) 
а=-1; b=0,5; c=2; в) 
.
2.16 a) 
; б) 
а= - ; b=1; c=3; в) y=cosxsignx.
2.17 a) 
; б) 
а=0; b=3; c=5; в) y= 
.
2.18 a) 
; б) 
а=-0,5; b=0; c=1; в) 
.
2.19 a) 
; б) 
а=-1; b=2; c=9; в) 
.
2.20 a) 
; б) 
а= - 
; b= 
; c= 
; в) 
.
2.21 a) 
; б) 
а= 
; b= 
; c= 
; в) 
.
2.22 a) 
; б) 
а=-1; b= ; c= ; в) 
.
2.23 a) 
; б) 
а=-1; b=2; c=4; в) 
.
2.24 a) 
; б) 
а= - ; b= ; c=3; в) 
.
2.25 a) 
; б) 
а=-1; b=1; c=3; в) 
.
2.26 a) 
; б) 
а=0; b=3; c=5; в) 
.
2.27 a) 
; б) 
а=-2; b=1; c=4; в) 
.
2.28 a) 
; б) 
а=0; b=2; c=3; в) 
.
2.29 a) 
; б) 
а=0; b=4; c=5; в) 
.
2.30 a) 
; б) 
а=-1; b=3; c=5; в) 
.
Задание 3. Выделив полный квадрат и осуществив перенос начала координат, построить в декартовой прямоугольной системе координат параболу. Укажите координаты вершины и точки пересечения параболы с осями координат:
3.1 
; 3.2 
; 3.3 
;
3.4 
; 3.5 
; 3.6 
;
3.7 
; 3.8 
; 3.9 
;
3.10 
; 3.11 
; 3.12 
;
3.13 
; 3.14 
; 3.15 
;
3.16 
; 3.17 
; 3.18 
;
3.19 
; 3.20 
; 3.21 
;
3.22 
; 3.23 
; 3.24 
;
3.25 
; 3.26 
; 3.27 
;
3.28 
; 3.29 
; 3.30 
.
Задание 4. 1). В полярной системе координат построить кривую, давая значения 
через 
от 0 до 
. Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат. 2). Найти полярное уравнение кривой и построить ее:
4.1 а)  ; б)  .
| 4.2 а)  ; б)  .
| 4.3 а)  ; б)  .
|
4.4 а)  ;
б)  .
| 4.5 а)  ;
б)  .
| 4.6 а)  ;
б)  ,  .
|
4.7 а)  ;
б)  .
| 4.8 а)  ;
б)  .
| 4.9 а)  ;
б)  .
|
4.10 а)  ;
б)  .
| 4.11 a)  ; б)  .
| 4.12 a)  ;
б)  .
|
4.13 a)  ;
б)  .
| 4.14 a)  ;
б)  .
| 4.15 a)  ;
б)  .
|
4.16 a)  ;
б)  .
| 4.17 a)  ;
б)  .
| 4.18 a)  ;
б)  .
|
4.19 a)  ;
б)  .
| 4.20 a)  ;
б)  .
| 4.21 a)  ;
б)  .
|
4.22 a)  ; б)  .
| 4.23 a)  ; б)  .
| 4.24 a)  ; б)  .
|
4.25 a)  ;
б)  .
| 4.26 a)  ;
б)  .
| 4.27 a)  ;
б)  .
|
4.28 a)  ;
б)  .
| 4.29 a)  ;
б)  .
| 4.30 a)  ;
б)  .
|
Задание 5. Построить кривую, заданную параметрически:
5.1 
; 5.2 
; 5.3 
; 5.4 
; 5.5 
; 5.6 
; 5.7 
; 5.8 
; 5.9 
; 5.10 
; 5.11 
; 5.12 
; 5.13 
; 5.14 
; 5.15 
; 5.16 
; 5.17 
; 5.18 
; 5.19 
; 5.20 
;
5.21 
; 5.22 
; 5.23 
; 5.24 
;
5.25 
; 5.26 
; 5.27 
; 5.28 
; 5.29 
; 5.30 
.
Задание 6. В выражении 
найти значения 
и 
, для которых справедливо заданное тождество:
6.1 
6.2 
6.3 
6.4 
6.5 
6.6 
6.7 
6.8 
6.9 
6.10 
6.11 
6.12 
6.13 
6.14 
6.15 
Найти значения 
и 
для которых справедливо тождество:
6.16 
6.17 
6.18 
6.19 
6.20 
6.21 
6.22 
6.23 
6.24 
6.25 
6.26 
6.27 
6.28 
6.29 
6.30. 
Задание 7. Описать перечислением всех элементов множества 
если:
7.1 а) 
,
б) 
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2016-12-18; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 252 | Нарушение авторских прав
Лучшие изречения:
| 1991 - 