Меры центральной тенденции

Тестовые баллы испытуемых обычно группируются вблизи некоторых, наиболее вероятных значений, которые можно охарактеризовать тремя мерами центральной тенденции -модой, медианой и средним.

МОДА - это такое значение в множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто¹¹.

Допустим 10 испытуемых получили следующие тестовые баллы:

Таблица 3.4.1

Мода будет равна Мо = 70, так как это значение повторяется чаще других (4 раза).

Соглашения об использовании моды¹¹.

1) Если все значения в группе встречаются одинаково часто, то мода отсутствует.
Например, в группе (1, 1, 2, 2, 13, 13) моды нет.

2) Когда два соседних значения имеют одинаковые частоты и они больше частоты любого другого значения, мода есть среднее этих двух значений.
Например, в группе (1, 2, 2, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9, 9, 10) мода равна 5,5.

3) Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты и они больше частот любого другого значения, то существуют две моды. В этом случае говорят, что группа оценок является бимодальной.
Например, в группе (1,4,4,4,7,7,9,9,9,10) модами являются 4 и 9. На рис.3.3.3 показано бимодальное распределение с модами 1,5 и 6.

Наибольшей модой в группе называется единственное значение, удовлетворяющее определению моды. Однако во всей группе может быть несколько меньших мод. Эти моды представляют собой локальные максимумы распределения частот.

 

МЕДИАНА - это значение, которое делит упорядоченное множество данных пополам, так что одна половина значений оказывается больше медианы, а другая - меньше.

Например, в группе (1,3,5,8,11,15,20) медианой будет 8. Если в группе четное число различных значений, то медиана находится посередине между двумя центральными значениями. В группе (1,3,5,8,11,15) медианой будет 6,5. В сложных случаях, когда данные группируются вблизи медианы, придется использовать линейную интерполяцию.

 

СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ определяется по формуле

где N - количество элементов в группе, X_i - величина i -го элемента группы. Например, в группе (1,3,5,8,11,15) среднее арифметическое будет равно (1+3+5+8+11+15) / 6 = 7,2.

 

Какую из мер центральной тенденции выбрать - решать исследователю^*.

В педагогике очень часто в качестве меры центральной тенденции выбирается среднее арифметическое.

Найдем среднее арифметическое индивидуальных тестовых баллов из таблицы 3.2.5.

Это значение мы используем в дальнейшем.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Результаты нормативно-ориентированного тестирования при больших выборках обычно имеют распределение, близкое к нормальному.

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами μ и σ ², если ее плотность вероятности имеет вид:

где σ ² - дисперсия, μ - константа, задающая сдвиг распределения по оси X (например, среднее арифметическое).

Рис.3.5.1. Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Практически всем частотам соответствуют значения X от -3 σ до +3 σ (рис.3.5.1).

Распределение Гаусса играет важную роль в статистической обработке результатов тестирования.