Математическое ожидание и дисперсия
Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?
Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию Mx. В данном случае Mx = 3,5.
Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях 
раз выпало 1 очко, 
раз – 2 очка и так далее. Тогда 
При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, 
Аналогично, 
Отсюда 
Модель 4.5. Игральные кости
Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x 1, x 2,..., xk с вероятностями p 1, p 2,..., pk.
Математическое ожидание Mx случайной величины x равно:
|
Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как < x >. Записи < x > и Mx эквивалентны.
Пример 1
Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.
Решение
Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей:
Значит, Ответ. 2,8. |
Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.
Медианой случайной величины называют число x 1/2 такое, что p (x < x 1/2) = 1/2.
Другими словами, вероятность p 1 того, что случайная величина x окажется меньшей x 1/2, и вероятность p 2 того, что случайная величина x окажется большей x 1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.
Вернёмся к случайной величине x, которая может принимать значения x 1, x 2,..., xk с вероятностями p 1, p 2,..., pk.
Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
|
Используя вероятности pi того, что величина x принимает значения xi, эту формулу можно переписать следующим образом:
Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины:
|
Пример 2
В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x.
Решение
Имеем: Dx = 0 · (1 – 2,8)2 + 0,2 · (2 – 2,8)2 + 0,8 · (3 – 2,8)2 = 0,16.
Ответ. 0,16, 0,4. |
Модель 4.6. Стрельба в мишень
Пример 3
Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
Решение
Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так:
| ||||||||||||
Математическое ожидание Mx = 3,5 (см. пример в начале параграфа).
С вероятностью 1/2 случайная величина x ≤ 3. С такой же вероятностью x ≥ 4. Таким образом, медианой случайной величины является любое число из интервала (3; 4). Обычно в качестве медианы указывают среднее значение из этого интервала: x 1/2 = 3,5. В нашем случае медиана совпала с математическим ожиданием, в других распределениях это не так.
Дисперсия:
|
Среднеквадратичное отклонение 
Видно, что отклонение величины от среднего значения очень велико.
Свойства математического ожидания:
- Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
| Mx + y = Mx + My. |
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
| Mx · y = Mx · My. |
Пример 4
Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках.
Решение
В примере 3 мы нашли, что для одного кубика M (x) = 3,5. Значит, для двух кубиков
| Mx + y = Mx + My = 7, |
| Mxy = Mx · My = 3,52 = 12,25. |
Свойства дисперсии:
- Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий:
Dx + y = Dx + Dy.
Пример 5
Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпавших при бросании кубика N раз.
Решение
Случайный процесс можно представить, как сумму единичных бросков. Для единичного броска
| Mx = 3,5, Dx = 2,9, |
Пусть за N бросков на кубике выпало y очков. Тогда
My = 3,5 N,  
|
Если z – среднее количество очков, выпавших на кубике за N бросков: 
то:
 
|
Этот результат верен не только для бросков кубика. Он во многих случаях определяет точность измерения математического ожидания опытным путем. Видно, что при увеличении количества измерений N разброс значений вокруг среднего, то есть среднеквадратичное отклонение, уменьшается пропорционально 
Дисперсия случайной величины связана с математическим ожиданием квадрата этой случайной величины следующим соотношением:
|
Доказательство:
Действительно, 
Найдём математические ожидания обеих частей этого равенства. По определению, 
Математическое же ожидание правой части равенства по свойству математических ожиданий равно 
Среднее квадратическое отклонение
Среднеквадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии: 
При определении среднего квадратического отклонения при достаточно большом объеме изучаемой совокупности (n > 30) применяются формулы:
– среднее квадратическое отклонение простое (или невзвешенное);
– среднее квадратическое отклонение взвешенное, где:
xi – значения изучаемого признака (варианты);
n – объем статистической совокупности;
– средняя арифметическая величина.
Среднее квадратическое отклонение характеризует разброс значений относительно среднего (математического ожидания). Обозначается как σ(x) или s(x).
Рассчитать среднеквадратическое отклонение можно разными калькуляторами, в зависимости от исходных данных. Ниже представлены наиболее распространенные из них.
