Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.
Для полного вероятностного описания дискретной случайной величины , принимающей значения , достаточно задать вероятности
, (32.1)
того, что случайная величина принимает значение . Если заданы и , , тогда функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины можно представить в виде:
. (32.2)
Здесь суммирование ведется по всем индексам , удовлетворяющим условию: .
Функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины иногда представляют через так называемую функцию единичного скачка
(32.3)
При этом принимает вид
, (32.4)
если случайная величина принимает конечное множество значений , и верхний предел суммирования в (32.4) полагается равным , если случайная величина принимает счетное множество значений.
Пример построения графика функций распределения вероятностей дискретной случайной величины был рассмотрен в п.30.

17) Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Свойства математического ожидания:
1) если случайная величина Х принимает постоянное значение Х=С= =const, то М(С)=С;
2) М(СХ)=СМ(Х), С = const;
3) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y);
4) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X×Y)=M(X)×M(Y).
Дисперсией D(X) случайной величины Х называют средний квадрат отклонения случайной величины от ее центра распределения:

Используя свойства математического ожидания, можно записать более удобную формулу для подсчета дисперсии

Для того, чтобы рассматривать отклонение в тех же единицах, что и значения случайной величины, вводится еще одна характеристика – среднее квадратическое отклонение s(Х), которое определяется как

Свойства дисперсии:

1) D(X) ³ 0;

2) если С=const, то D(С) = 0;

3) , С=const;

4) D(X ± Y) = D(X) + D(Y).

18) Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна.

19) Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

21) Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Плотностью вероятности (плотностью распределенияили просто плотностью) ϕ(x) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения ϕ(x) = F’(x)

22) Модой Мо[X] случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности ϕ(x) достигает максимума).
Медианой Ме[X] непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, для которого

P(X < Me[X]) = P(X > Me[X]) =0,5

т.е. вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее медианы Ме[X] или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая x = Ме[X], проходящая через точку с абсциссой, равной

Ме[X], делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части.

23) Равномерное распределение. Непрерывная величина Х распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:
24) Нормальное (гауссово) распределение. Случайная величина Х имеет нормальное (гауссово) распределение, если плотность распределения ее вероятностей определяется зависимостью:

где m = M (X), .

25) Показательное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

26) Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Для определения значений φ(x) можно воспользоваться специальной таблицей.

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

P(k₁;k₂)=Φ(x'') - Φ(x')

Здесь

- функция Лапласа

Значения функции Лапласа находят по специальной таблице.

28) 1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся: а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения п объектов из генеральной совокупности объема N поступают так: выписывают номера от 1 до N на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку и процесс повторяют, т. е. карточки перемешивают, наугад вынимают одну из них и т. д. Так поступают п раз; в итоге получают простую случайную повторную выборку объема п.

Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной.

При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Длятого чтобы отобрать, например, 50 объектов из пронумерованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если бы оказалось, что случайное число таблицы превышает число N, то такое случайное число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.

Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т. д. Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. В таком случае следует устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двадцати обточенных.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.
29) Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события .

32) Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Выдвигается основная (нулевая) гипотеза и проверяется, не противоречит ли она имеющимся эмпирическим данным. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит нулевой.

33) В результате статистической проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза; вероятность совершить такую ошибку обозначают α и называют уровнем значимости. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза, вероятность которой обозначают β, а мощностью критерия является вероятность 1- β.