Этап 1. Проектирование системы на основе аналитических методов.

Вариант – B-2212221

· интенсивность потока запросов, поступающих в систему, – λ = 0,1 с^-1;

· средняя ресурсоёмкость обработки запросов в устройстве – θ = 10000 ед.;

· объём занимаемой памяти одним запросом – L = 550 ед. памяти;

· допустимая вероятность потери запроса из-за ограниченной ёмкости памяти – π^* = 0,01;

· стоимостной коэффициент пропорциональности для устройства – α = 0,1 у.е./ед. скорости;

· стоимостной коэффициент нелинейности для устройства – β = 1,5;

· стоимость единицы памяти – S₀ = 0,02 у.е./ед. памяти.

Ход работы

Этап 1. Проектирование системы на основе аналитических методов.

1. Необходимо спроектировать систему минимальной стоимости и определить быстродействие V обрабатывающего устройства и ёмкость E памяти, обеспечивающие обработку поступающих в систему запросов с заданной вероятностью потерь .

Была выполнена оценка минимальной производительности системы, полагая, что емкость памяти не ограничена:

V > λ *θ

V > 0.1*10000

V > 1000

Vmin = 1000 зап.сек

2. Выполним анализ влияния производительности V устройства и ёмкости E памяти на характеристики функционирования системы вероятность потери запросов, время пребывания запроса в системе.

 

· вероятность потери запроса из-за ограниченной емкости накопителя:

· среднее время пребывания запросов в системе:

 

При увеличении емкости памяти среднее время пребывания запроса в системе возрастает, вероятность потери запросов уменьшается. При увеличении производительности устройства среднее время пребывания запроса в системе уменьшается, вероятность потери запросов уменьшается.

Варьируем V при E=const:

V
E
Y		0.909	0.883	0.769	0.714	0.667	0.625	0.588	0.556	0.526	0.5
П	0.091	0.1	0.053	0.031	0.017	0.01	0.005	0.003	0.002	0.001	0,0007
U	10.1	9.191	8.433	7.792	7.243	6.767	6.35	5.982	5.656	5.363	5.1

 

 

Варьируем E при V=const:

V
E
Y	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5
П	0.33333	0.14286	0.06667	0.03226	0.01587	0.00787	0.00392	0.00196	0.00098	0.00049
U

 

Время пребывания уменьшается, при увеличении производительности и увеличивается, при увеличении количества накопителей.

3. Определим значения производительности V устройства и ёмкости E памяти, обеспечивающие выполнение заданного ограничения на вероятность потерь при минимальной стоимости системы.

·Стоимость системы определяется следующим образом:

Варьируем V и E так, чтобы π≤0,01:

 

 

 

=

 

 

 

В результате получается, что минимальная стоимость системы при и , обеспечивающих выполнение заданного ограничения на вероятность потерь.

4. Используя модель М/М/1 с накопителем неограниченной ёмкости при найденном значении производительности V, рассчитаем характеристики обработки запросов (среднее время ожидания и пребывания запроса в системе, среднюю длину очереди запросов) и сравнить полученные результаты с результатами модели М/М/1/Е, варьируя интенсивность поступления запросов в систему.

Для M/M/1:

·Среднее время ожидания запроса в системе:

·Среднее время пребывания запроса в системе:

·Средняя длина очереди запросов:

V
λ	0.06	0.055	0.05	0.045	0.04	0.035	0.03	0.025	0.02	0.015	0.01
w	10.909	9.09	7.575	6.293	5.194	4.242	3.409	2.673	2.02	1.435	0.909
u	20.0	18.181	16.666	15.384	14.285	13.333	12.5	11.764	11.111	10.526	10.0
L	0.654	0.5	0.378	0.283	0.207	0.148	0.102	0.066	0.04	0.021	0.009

Для M/M/1/10:

·Среднее время пребывания запроса в системе:

·Среднее время ожидания запроса в системе:

·Средняя длина очереди запросов:

, где - интенсивность обслуженных заявок.

V
λ	0.06	0.055	0.05	0.045	0.04	0.035	0.03	0.025	0.02	0.015	0.01
w	10.875	9.175	7.706	6.435	5.335	4.376	3.535	2.792	2.132	1.541	1.01
u	19.966	18.266	16.796	15.526	14.425	13.466	12.626	11.883	11.223	10.632	10.1
L	0.645	0.499	0.381	0.286	0.211	0.151	0.104	0.069	0.042	0.022	0.01

 

 

5. Используя модель модель М/М/К/Е с накопителем ограниченной ёмкости, выполнить анализ характеристик функционирования системы при увеличении количества обрабатывающих устройств от 2 до 5 и оценить изменение характеристик системы;

Среднее время пребывания запроса в системе:

,

где , - среднее число запросов в системе,

где , y≠K, - вероятность того, что в системе нет ни одного запроса (система простаивает).

 

Среднее время ожидания запроса в системе:

Стоимость системы:

Варьируем K от 2 до 5:

K
V
E
λ	0.1	0.1	0.1	0.1
y	0.909	0.909	0.909	0.909
u	16.188	12.489	12.048	11.988
w	7.097	3.398	2.957	2.897
S	7296.775	10945.062	14593.349	18241.636
π			0,000000002	0,00000005

 

 

 

 

6. Oпределить минимальные значения ёмкости накопителя при разном количестве обрабатывающих устройств, при которых обеспечивается выполнение ограничения на вероятность потери запросов;

Минимальное значение емкости накопителя при ограничении будет равна 3, при условии, что количество обрабатывающих устройств – 3 или 5.

7. По результатам выполненных на первом этапе исследований выбрать наилучший вариант построения системы с памятью.

Наилучшим вариантов построения системы с памятью является система: быстродействие , накопитель ёмкости , шт, обеспечивающими минимальную стоимость системы при заданном ограничении .