Исследование функции с помощью производной.

f(x)

1. Возрастание и убывание функций.

a

b

а

0

Опр. Функция у=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции (если х₂>x₁, то f(х₂)>f(x₁)), и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (если х₂>x₁, то f(х₂)<f(x₁)).

Необходимый признак монотонности функции.

Т1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции неотрицательна (не положительна) в этом интервале.

Опр. Интервалы, на которых функция только возрастает или только убывает, называются интервалами монотонности функции, а сама функция называется монотонной на этих интервалах.

Т2.(обратно) Если производная функции f(x) положительна (отрицательна) в некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Правило нахождения интервалов монотонности функции f(x).

1. Вычисляют производную f′(x) данной функции.

2. Находят критические точки f(x), т.е. те точки, в которых f′(x) равна нулю или не существует.

3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная f′(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.

4. Исследуют знак f′(x) на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f′(x)>0, то на этом интервале f(x) возрастает; если же f′(x)<0, то f(x) на этом интервале убывает.

2. Экстремумы функции

Опр. Точка х=а называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если имеет место неравенство f(a)>f(x) (соответственно f(a)<f(x)) для любого х из некоторой окрестности точки х=а.

(a)

Если х=а – точка максимума (минимума) функции f(x), то говорят, что f(x) имеет максимум (минимум) в точке х=а.

f(x)

Максимум и минимум функции объединяют названием экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками)

Необходимый признак экстремума

Т3. Если х=а является точкой экстремума функции у=f(x) и производная в этой точке существует, то она равна нулю: f′(а)=0.

Геометрически это означает, что если х=а – точка экстремума функции у=f(x), то касательная к графику этой функции в точке (а;f(а)) параллельна оси Ох.

Достаточный признак экстремума.

Т4. Если производная f′(x) при переходе х через а меняет знак, то а является точкой экстремума функции f(x).

Правило нахождения экстремумов функции f(x).

1. Находят производную f′(x).

2. Находят все критические точки f(x) из области определения.

3. Устанавливают знаки производной f′(x) при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.

4. Вычисляют значения функции f(x) в каждой экстремальной точке.

3. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной

В точке максимума функции f(x) первая производная равна нулю, а вторая производная отрицательна; в точке минимума первая производная равна нулю, а вторая производная положительна.

Правило нахождения экстремумов функции f(x) с помощью второй производной.

1. Находят первую производную f′(x).

2. Приравняв ее к нулю, находят действительные корни полученного уравнения (т.е. критические значения х1,х2,…хn).

3. Находят вторую производную f′′(x).

4. Во вторую производную подставляют поочередно все критические значения; если при этой подстановке вторая производная окажется положительной, то в этой точке функция имеет минимум; если же вторая производная окажется отрицательной, то функция имеет максимум.

4. Выпуклость и вогнутость.

f(x)

Пусть график функции у=f(х) имеет в точке (а;f(а)) касательную, не параллельную оси Оу.

Опр. График функции называется выпуклым в точке х=а, если в некоторой окрестности этой точки он расположен под своей касательной в точке (а; f(а)).

Опр. График функции называется вогнутым в точке х=а, если в некоторой окрестности этой точки он расположен над своей касательной в точке (а; f(а)).

Опр. График функции выпуклый (вогнутый) в некотором промежутке, если он выпуклый (вогнутый) во всех точках этого промежутка.

Т 1. (признак выпуклости и вогнутости). Если вторая производная функции у=f(х) в данном промежутке положительна, то график функции вогнутый в этом промежутке, а если отрицательна - выпуклый в этом промежутке.

Правило нахождения промежутков выпуклости графика функции:

1. Находят вторую производную.

2. Находят критические точки второго рода, т.е. те точки, в которых f″(x) равна нулю или не существует.

3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых вторая производная f″(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами выпуклости или вогнутости.

4. Исследуют знак f″(x) на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f″(x)>0, то на этом интервале график функции вогнутый; если же f″(x)<0, то выпуклый.

5. Точки перегиба.

f(x)

Опр. Точкой перегиба графика функции называется точка, отделяющая выпуклую часть графика функции от вогнутой.

Т 2. (признак существования точки перегиба) Если вторая производная f″(x) непрерывна и меняет знак при переходе через х=а, то (а; f(а)) является точкой перегиба графика функции у=f(х).

Правило нахождения точек перегиба функции f(x).

1. Находят вторую производную f″(x).

2. Находят все критические точки 2 рода из области определения функции.

a

3. Устанавливают знаки второй производной при переходе через критические точки 2 рода. Изменение знака f″(x) указывает на наличие точки перегиба.

4. Вычисляют значения функции f(x) в каждой точке перегиба.

6. Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при бесконечном удалении от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

 

 

Наклонная(ые) асимптота(ы) y=kx+b, где k и b находятся по формулам:

Если к=0, то получаем горизонтальную асимптоту y=b.

7. Схема исследования функции.

1. Находят область определения функции.
2. Определяют четность, нечетность, периодичность функции.
3. Находят точки пересечения с осями координат.
4. Находят промежутки монотонности и экстремумы функции.
5. Находят промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
6. Находят асимптоты графика функции.
7. Строят график функции.