Однородные линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Свойства решений.

Понятие линейного дифференциального уравнения произвольного порядка. Дифференциальный оператор и его свойства.

Линейным дифференциальным уравнениемn -го порядка называется уравнение вида
y ⁽ⁿ⁾ + a ₁(x) y ^{(n- 1)} +... + a_n- 1 (x) y ' + a_n (x) y = f (x),
где y = y (x) — неизвестная функция,
a ₁(x), a ₂(x),..., a_n- 1(x), a_n (x), f (x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b).

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка:
L (y) = y ⁽ⁿ⁾ + a ₁(x) y ^{(n- 1)} +... + a_n- 1 (x) y ' + a_n (x) y.
Уравнения
y ⁽ⁿ⁾ + a ₁(x) y ^{(n- 1)} +... + a_n- 1 (x) y ' + a_n (x) y = 0 и
y ⁽ⁿ⁾ + a ₁(x) y ^{(n- 1)} +... + a_n- 1 (x) y ' + a_n (x) y = f (x), f (x) № 0,
называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде:
L (y) = 0 и L (y) = f (x).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений:
а) Если y ₁(x) и y ₂(x) — два решения однородного линейного уравнения L (y)=0, то их линейная комбинация y (x) = c ₁ y ₁(x) + c ₂ y ₂(x)
при любых постоянных c ₁, c ₂ является решением однородного уравнения.
б) Если y ₁(x) и y ₂(x) — два решения неоднородного линейного уравнения
L (y) = f (x), то их разность y (x) = y ₁(x) - y ₂(x)
является решением однородного уравнения L (y) = 0.
в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L (y) = f (x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

Принцип суперпозиции :
Если y ₁(x) и y ₂(x) — решения неоднородных линейных уравнений
L (y) = f ₁(x) и L (y) = f ₂(x), то их сумма y (x) = y ₁(x) + y ₂(x) является решением уравнения
L (y) = f ₁(x) + f ₂(x).

 

 

Однородные линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Свойства решений.

Для линейного однородного дифференциального уравнения n- го порядка

y ⁽ⁿ⁾ + a ₁(x) y ^{(n- 1)} +... + a_n- 1 (x) y ' + a_n (x) y = 0,

где y = y (x) — неизвестная функция, a ₁(x), a ₂(x),..., a_n- 1(x), a_n (x) — известные, непрерывные, справедливо:
1) существуют n линейно независимых решений уравнения
y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x);
2) при любых значениях констант c ₁, c ₂,..., c_n функция
y (x)= c ₁ y ₁(x) + c ₂ y ₂(x) +... + c_n y_n (x)
является решением уравнения;
3) для любых начальных значений x ₀, y ₀, y _0,1,..., y _{0, n- 1} существуют такие значения c *₁, c * _n,..., c * _n, что решение
y *(x)= c *₁ y ₁(x) + c *₂ y ₂(x) +... + c * _n y_n (x)
удовлетворяет при x = x ₀ начальным условиям
y *(x ₀)= y ₀, (y *)'(x ₀)= y _0,1,...,(y *)^{(n- 1)}(x ₀)= y _{0, n- 1}.

Выражение y (x)= c ₁ y ₁(x) + c ₂ y ₂(x) +... + c_n y_n (x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка.

Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) называется фундаментальной системой решений уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y (x) = exp(lx):
exp(lx)⁽ⁿ⁾ + a ₁exp(lx)^{(n- 1)} +... + a_n- 1exp(lx)' + a_n exp(lx)=
= (l ⁿ + a ₁l ^{n -1} +... + a_n- 1l + a_n)exp(lx) = 0,
т.е. число l является корнем х арактеристического уравнения
l ⁿ + a ₁l ^{n -1} +... + a_n- 1l + a_n = 0.
Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения:
P (l) = l ⁿ + a ₁l ^{n -1} +... + a_n- 1l + a_n.
Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.

Утверждение: если система функций является линейно-независимой и каждая из этих функций явл решением ЛДУ н-ного порядка, то определитель Вронского для такой системы не равен нулю

yⁿ+a₀(x)y^(n-1)…+a_n-1y=0 (1)

y₁=y₁(x), y₂=y₂(x), … y_n=y_n(x) (2)

Тогда определитель Вронского будет не равен нулю.

W(x₁y₁;x₂y₂…x_ny_n)=0 (3)

Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) называется определитель

Рассмотрим неоднородное ЛДУ n-ного порядка. Y(n)+a0(x)y(n-1)+…+an-1y=f(x) (4) Пусть система функций 2 является линейно независимой системой функций и каждая из этих функций является решением однородного ЛДУ (1) Yi(n)+a0(x) Yi(n-1)+…+ an-1yi=0 (5) (i=1,2,3…n) Тогда общее для однородного ур-я (4) запишется в виде Y=C1+Y1(x)+C2+Y2(x)+…+CnYn(x)+Yч, (6) где C1,C2, Cn – постоянные величины. C1+Y1(x), C2+Y2(x), CnYn(x) – y однородное – общее решение однородного ур-я 1. Ф-я (6) представляет общее решение неоднородного ур-я (4).