Понятие линейного дифференциального уравнения произвольного порядка. Дифференциальный оператор и его свойства.
Линейным дифференциальным уравнениемn -го порядка называется уравнение вида
y (n) + a 1(x) y (n- 1) +... + an- 1 (x) y ' + an (x) y = f (x),
где y = y (x) — неизвестная функция,
a 1(x), a 2(x),..., an- 1(x), an (x), f (x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b).
Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка:
L (y) = y (n) + a 1(x) y (n- 1) +... + an- 1 (x) y ' + an (x) y.
Уравнения
y (n) + a 1(x) y (n- 1) +... + an- 1 (x) y ' + an (x) y = 0 и
y (n) + a 1(x) y (n- 1) +... + an- 1 (x) y ' + an (x) y = f (x), f (x) № 0,
называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка.
Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде:
L (y) = 0 и L (y) = f (x).
Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений:
а) Если y 1(x) и y 2(x) — два решения однородного линейного уравнения L (y)=0, то их линейная комбинация y (x) = c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x)
при любых постоянных c 1, c 2 является решением однородного уравнения.
б) Если y 1(x) и y 2(x) — два решения неоднородного линейного уравнения
L (y) = f (x), то их разность y (x) = y 1(x) - y 2(x)
является решением однородного уравнения L (y) = 0.
в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L (y) = f (x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.
Принцип суперпозиции :
Если y 1(x) и y 2(x) — решения неоднородных линейных уравнений
L (y) = f 1(x) и L (y) = f 2(x), то их сумма y (x) = y 1(x) + y 2(x) является решением уравнения
L (y) = f 1(x) + f 2(x).
Однородные линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Свойства решений.
Для линейного однородного дифференциального уравнения n- го порядка
y (n) + a 1(x) y (n- 1) +... + an- 1 (x) y ' + an (x) y = 0,
где y = y (x) — неизвестная функция, a 1(x), a 2(x),..., an- 1(x), an (x) — известные, непрерывные, справедливо:
1) существуют n линейно независимых решений уравнения
y 1(x), y 2(x),..., yn (x);
2) при любых значениях констант c 1, c 2,..., cn функция
y (x)= c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) +... + cn yn (x)
является решением уравнения;
3) для любых начальных значений x 0, y 0, y 0,1,..., y 0, n- 1 существуют такие значения c *1, c * n,..., c * n, что решение
y *(x)= c *1 y 1(x) + c *2 y 2(x) +... + c * n yn (x)
удовлетворяет при x = x 0 начальным условиям
y *(x 0)= y 0, (y *)'(x 0)= y 0,1,...,(y *)(n- 1)(x 0)= y 0, n- 1.
Выражение y (x)= c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) +... + cn yn (x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка.
Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка y 1(x), y 2(x),..., yn (x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y (x) = exp(lx):
exp(lx)(n) + a 1exp(lx)(n- 1) +... + an- 1exp(lx)' + an exp(lx)=
= (l n + a 1l n -1 +... + an- 1l + an)exp(lx) = 0,
т.е. число l является корнем х арактеристического уравнения
l n + a 1l n -1 +... + an- 1l + an = 0.
Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения:
P (l) = l n + a 1l n -1 +... + an- 1l + an.
Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.
Утверждение: если система функций является линейно-независимой и каждая из этих функций явл решением ЛДУ н-ного порядка, то определитель Вронского для такой системы не равен нулю
yn+a0(x)y(n-1)…+an-1y=0 (1)
y1=y1(x), y2=y2(x), … yn=yn(x) (2)
Тогда определитель Вронского будет не равен нулю.
W(x1y1;x2y2…xnyn)=0 (3)
Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y 1(x), y 2(x), …, yn (x) называется определитель
Рассмотрим неоднородное ЛДУ n-ного порядка.
Y(n)+a0(x)y(n-1)+…+an-1y=f(x) (4)
Пусть система функций 2 является линейно независимой системой функций и каждая из этих функций является решением однородного ЛДУ (1)
Yi(n)+a0(x) Yi(n-1)+…+ an-1yi=0 (5)
(i=1,2,3…n)
Тогда общее для однородного ур-я (4) запишется в виде
Y=C1+Y1(x)+C2+Y2(x)+…+CnYn(x)+Yч, (6) где
C1,C2, Cn – постоянные величины.
C1+Y1(x), C2+Y2(x), CnYn(x) – y однородное – общее решение однородного ур-я 1.
Ф-я (6) представляет общее решение неоднородного ур-я (4).
|
