Случайные события и вероятности

МАТЕМАТИКА

Экзаменационные вопросы

 

Матрицы и определители

1. Что называется матрицей? Приведите примеры матриц.

2. Как сложить две матрицы? Запишите свойства операции сложения матриц.

3. При каком условии существует произведения и ?

4. Как найти каждый элемент произведения матриц?

5. Каковы свойства операции умножения матриц? Верно ли, что для любых матриц ?

6. Какая матрица называется обратной для данной матрицы? При каких условиях существует обратная матрица?

7. Как найти обратную матрицу второго порядка и третьего порядка?

8. Как вычисляются определители второго и третьего порядков?

9. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?

10. Сформулируйте основные свойства определителей.

Системы линейных уравнений

1. Запишите общий вид системы линейных уравнений с неизвестными.

2. Что называется решением СЛУ?

3. Что значит "решить систему линейных уравнений"?

4. Какие системы линейных уравнений называются совместными и несовместными?

5. Напишите формулы Крамера для решения системы линейных уравнений. В каком случае они применимы?

6. В чем суть метода исключения неизвестных (метода Гаусса) решения системы линейных уравнений?

7. Какие преобразования в системе линейных уравнений называются элементарными? С какой целью они проводятся?

8. Приведите пример системы трех линейных уравнений треугольного вида. Как решить «треугольную» СЛУ, сколько решений она имеет?

9. Опишите, как выбрать базисные неизвестные и найти общее решение системы, имеющей бесконечное множество решений?

10. Как, зная общее решение, записать частное решение системы уравнений?

11. Как определить, что СЛУ несовместна?

Векторы НА ПЛОСКОСТИ

1. Дайте определения: геометрического вектора, длины вектора, коллинеарных векторов, ортогональных векторов.

2. Как сложить два вектора, имеющих общее начало?

3. Пусть известны координаты точек - начала и конца вектора. Как найти координаты вектора и его длину?

4. Как найти координаты суммы, разности, произведения вектора на число, если известны координаты двух векторов?

5. Как, зная координаты векторов, определить, что векторы коллинеарны?

6. Что называется скалярным произведением векторов?

7. Запишите формулу вычисления скалярное произведение векторов, если известны координаты векторов.

8. Как определить с помощью скалярного произведения векторов, что векторы ортогональны?

Прямая на плоскости

1. Как убедиться, что точка лежит на линии, заданной уравнением ?

2. Как найти точку пересечения двух линий, заданных уравнениями и ?

3. Каков признак уравнения прямой на плоскости?

4. Запишите вывод общего уравнения прямой .

5. Каков геометрический смысл коэффициентов и в уравнении прямой ?

6. Как располагается прямая относительно системы координат, если в ее общем уравнении отсутствует: а) свободный член; б) переменная ; в) переменная ?

7. Как расположена прямая относительно системы координат, если в ее уравнении с угловым коэффициентом отсутствует: а) свободный член ; б) коэффициент ?

8. Как располагается прямая относительно системы координат, если в ее уравнении :

а) , б) и , в) , , ; г) и ?

9. Как определить, что прямые и пересекаются?

10. Запишите признак параллельности и перпендикулярности двух прямых, если известны их уравнения с угловым коэффициентом и .

Кривые второго порядка

 

1. Дайте определение окружности. Напишите уравнения окружности радиусом с центром: а) в точке ; б) в точке , постройте их.

2. Дайте определение эллипса. Напишите уравнение и постройте эллипс с полуосями и , имеющий центр: а) в точке ; б) в точке .

3. Дайте определение гиперболы. Напишите уравнение и постройте гиперболу с полуосями и , имеющий центр в точке . Запишите уравнение асимптот гиперболы.

4. Дайте определение параболы. Постройте параболу по уравнению . Как влияют на положение параболы числа ?

случайные события и вероятности

 

1. Что понимают под испытанием и событием?

2. Какие события называются достоверными, невозможными, случайными? Приведите примеры.

3. Поясните понятия суммы и произведения событий. Приведите примеры.

4. Сформулируйте классическое определение вероятности.

5. Перечислите свойства вероятности события.

6. Что называют относительной частотой события?

7. Сформулируйте статистическое определение вероятности.

8. Какие события называются совместными, несовместными? Приведите примеры.

9. Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных событий.

10. Какие события называются противоположными? Что можно сказать об их вероятностях? Приведите примеры.

11. Сформулируйте теорему сложения вероятностей совместных событий.

12. Какими способами можно найти вероятность появления хотя бы одного из событий?

13. Сформулируйте теорему умножения вероятностей и ее следствия.

14. В чем состоит схема Бернулли? Приведите примеры.

15. Запишите формулу Бернулли, поясните ее параметры.

 

 

Случайные величины

 

1. Дайте определение случайной величины. Приведите пример.

2. Какие случайные величины называются дискретными, какие – непрерывными? Приведите примеры.

3. Даны случайные величины. Укажите среди них дискретные и непрерывные.

1) число появления события А в независимых испытаниях,

2) число правильных ответов на тестовые вопросы,

3) число выборов данной альтернативы испытуемыми,

4) расстояние от точки попадания до центра мишени,

5) число часов самостоятельной работы по математике,

6) число машин, проезжающих за один час через перекресток,

7) время ожидания автобуса на остановке,

8) высота человека.

4. Что такое многоугольник распределения дискретной случайной величины?

5. Что называется математическим ожиданием случайной величины? Что характеризует математическое ожидание?

6. Дайте определение дисперсии. Что характеризует дисперсия?

7. Что называется средним квадратическим отклонением СВ?

8. Какие числовые характеристики характеризуют рассеивание значений случайной величины относительно математического ожидания?

9. Дайте определение непрерывной случайной величины.

10. Какое распределение вероятностей называют равномерным на отрезке ?

11. Приведите пример равномерно распределенной случайной величины и запишите функцию плотности .

12. Как найти вероятность попадания СВ , равномерно распределенной на отрезке , в интервал ?

13. Запишите функцию плотности для равномерно распределенной СВ на отрезке .

14. Нормальное распределение непрерывной СВ, его параметры.

15. Постройте график функции плотности нормального распределения. Как зависит кривая Гаусса от параметров нормального распределения?

16. Сформулируйте правило трех сигм и запишите его математически.