Інтегрування за допомогою заміни змінної та частинами

Поняття первісної

Нехай на інтегралі (a,b) задана функція f(x). Якщо F’(x) = f(x) для будь-якого x є (a,b), то F(x) називається первісною функції f(x) на інтервалі (a,b). Будь-які дві первісні заданої функції f(x)відрізняються довільною сталою.

Сукупність первісних F(x) + C (C – довільна стала) функції f(x), x є (a,b), називається невизначеним інтегралом функції f(x).

Наведемо основні правила інтегрування:

1) dx = ;

4) при умові, що a,b – сталі числа, a≠0;

первісної, тобто (F(x) + C)’ = f(x).

На основі означення невизначеного інтеграла, правил диференціювання і таблиці похідних основних елементів функцій можна скласти таблицю основних невизначених інтегралів:

Інтеграли 1-18 називаються табличними.

Зазначимо що в наведеній таблиці літера u може означати як незалежну змінну, так і неперервну диференційовану функцію u = φ(x) аргументу x.

Приклад Знайти невизначені інтеграли:

a) dx; б) в) dx; г) dx

Розв’язання a) dx = + dx= = + = = + arctg x + C.

б) + C.

в) dx = dx - dx = –

г) = d(sin x) = = ln + C.

Підмодуль 2. ОСНОВНІ МЕТОДИ ІНТЕГРУВАННЯ

Безпосереднє інтегрування функцій

Часто задача відшукання невизначених інтегралів розв’язується методом зведення їх до одного з табличних інтегралів. Цього можна досягти шляхом алгебраїчних тотожних перетворень підінтегральної функції f(x) або внесення частини її множників під знак диференціала.

Приклад

Знайти: a) б) ; в)

Розв’язання. а)

= + = x + ln|cos x| + C.

б) dx =

в)

Для відшукання інтегралів вигляду використовують такі формули:

sin mx cos nx = (sin(m+n)x+sin(m-n)x);

sin mx sin nx = (cos(m-n)x-cos(m+n)x);

cos mx cos nx = (cos(m-n)x+cos(m+n)x).

При відшуканні інтегралів

1) Одне з чисел m або n – непарне, наприклад m = 2k + 1. Тоді

тобто дістали інтеграл від степеневих функції;

2) обидва числа m і n – парні. Тоді треба використовувати формули, які дають змогу знизити степінь тригонометричних функцій:

Приклад

Знайти: а) б)

Розв’язання. а)

б)

Інтегрування функцій що містять квадратний тричлен

Розглянемо інтеграл вигляду

Якщо А ≠ 0, то в чисельнику можна виділити доданок 2ax + b, який дорівнює похідній квадратного тричлена, що стоїть у знаменнику. Тоді дістаємо:

Для відшукання останнього інтеграла виділимо в квадратному тричлені повний квадрат, тобто запишемо тричлен у вигляді:

Залежно від знака виразу дістоємо один із табличних інтегралів вигляду

Методи відшукання інтеграла вигляду dx аналогічні розглянутим вище, але в результаті дістаємо інші табличні інтеграли. При A ≠ 0 маємо:

Тоді при с ≠ і а > 0 останній інтеграл можна звести до вигляду:

а при c > і а < 0 - до вигляду

Приклад

Знайти: а) б) в)

г) д)

Розв’язання.

а)

б)

в)

г)

д)

Інтегрування за допомогою заміни змінної та частинами

Якщо функція x =φ(t) має неперервну похідну, то в заданому невизначеному інтегралі завжди можна перейти до наступної зміни t за формулою:

Далі необхідно знайти інтеграл, що стоїть праворуч (якщо не можливо), і повернутись до початкової змінної . Такий спосіб відшукання інтеграла називається методом замінної змінної, або методом підстановки.

Зауважимо, що при змінній повинна здійснюватись взаємно однозначна відповідність між областями визначення функцій і , така, щоб функція досягала всіх значень x ϵ .

Для інтегрування деяких функцій доцільно здійснювати перехід до нової змінної за допомогою підстановки t = (x), а не x = φ(t).

! Зауваження. При відшуканні невизначених інтегралів методом заміни змінної (методом підстановки) пропонується схема обчислень, яка дає можливість компактно і послідовно викласти хід розв’язку задачі. Скористаємось цією схемою при розв’язуванні таких прикладів.

Приклад

Знайти: а) б) в) г)

д) е)

Розв’язання.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Метод інтегрування частинами ґрунтується на формулі:

де u(x), v(x) – неперервно диференційовані функції. Ця формула називається формулою інтегрування частинами. Застосовувати її доцільно коли інтеграл, що стоїть праворуч, простіший для відшукання, ніж заданий. Зауважимо, що в окремих випадках цю формулу необхідно застосовувати кілька разів.

Метод інтегрування частинами використовують для відшукання інтегралів від функції sin αx, , arcsin x, arctg x, де n, k – цілі додатні сталі, α, β, γϵ R, а також для відшукання деяких інтегралів від функцій, що містять обернені тригонометричні і логарифмічні функції.

Приклад

Знайти: а) б) в) ; г) д)

Розв’язання.

а)

б)

в)

г)

Якщо перенести останній інтеграл у ліву частину рівності, дістанемо:

Отже,

д)

Підмодуль 3. ІНТЕГРУВАННЯ ДРОБОВО-РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Дробовою раціональною функцією R(x) називається функція, що дорівнює відношенню двох многочленів:

де m,n – цілі додатні числа - дійсні числа, i= j=

Якщо то називається правильним дробом, якщо неправильним дробом.

Будь-який неправильний дріб діленнями чисельника на знаменник можна подати у вигляді суми деякого многочлена і правильного дробу:

Де , -многгочлени, правильний дріб, l < n.

Наприклад, неправильний дріб. Поділивши його чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів), дістаємо

Оскільки будь-який многочлен легко інтегрується, то інтегрування раціональних функцій зводиться до інтегрування правильних дробів. Тому далі розглядатимемо функції за умовами .

Найпростішим дробом називається дріб одного з типів:

1) 2) 3) ; 4) ,

де A, a, M, N, p, q – сталі числа, – ціле,

Очевидно, що інтеграл від найпростіших дробів першого і другого типів визначаються легко:

Метод відшукання інтегралів від найпростіших дробів третього типу вже розглянуто.

Для відшукання інтеграла від найпростішого дробу четвертого типу виконаємо такі перетворення:

Інтеграл, що залишився (позначимо його ), запишемо у вигляді

Далі діємо так:

Претворюємо останній інтеграл:

Отже маємо:

Права частина містить інтеграл такого самого типу, що й , але показник степеня знаменника підінтегральної функції на одиницю нижчий. Отже, ця формула виражає інтеграл через , який, у свою чергу, виражається через інтеграл .

Діючи так само, дійдемо до відомого інтеграла:

Підставляючи потім усюди замість t і m їхнє значення, дістаємо інтеграл четвертого типу, виражений через x і задані числа M, N, p, q.

! Зауваження. Часто доцільно користуватися рекурентною формулою:

Таким чином, будь-який найпростіший раціональний дріб можна про інтегрувати в елементарних функціях.

Відомо, що кожен многочлен з дійсними коефіцієнтами на множині дійсних чисел може бути поданим у вигляді

Де – дійсні корені многочлена кратностей , а ,

цілі невід’ємні. Тоді виконуються

Теорема (про розклад правильного дробу на суму найпростіших дробів).

Кожен правильний раціональний дріб R(x) = із знаменником, що записаний у вигляді:

Можна розкласти на суму найпростіших раціональних дробів вигляду 1 – 4. У цьому розкладі кожному кореню кратності (r = многочлена відповідає сума дробів вигляду:

Кожній парі комплексних спряжень коренів кратності многочлена відповідає сума елементарних дробів

Для обчислення значень А, М, (з індексами) у розкладі функції R(x) на суму найпростіших дробів часто використовують метод невизначених коефіцієнтів, суть якого полягає у чому. Заданий дріб R(x) з урахуванням теореми подаємо у вигляді суми найпростіших раціональних дробів з невизначеними коефіцієнтами А, М, (з індексами). Отримана рівність є тотожністю. Тому, якщо звести всі дроби о спільного знаменника , в чисельнику отримаємо многочлен що тотожно дорівнює многочлену , який стоїть у чисельнику виразу Прирівнюючи коефіцієнт при однакових степенях x y цих многочленів, дістанемо систему n рівнянь для визначення n невідомих коефіцієнтів А, М, (з індексами).

Приклад

Подати дріб у вигляді суми найпростіших дробів.

Розв’язання.

Згідно з теоремою розклад на суму найпростіших дробів має вигляд:

Звівши дроби до спільного знаменника (він збігається зі знаменником заданого дробу) та прирівнявши чисельники отриманого і заданого дробів, матимемо тотожність:

2x - 3 ≡ A(x-1)(x-2) + Bx(x-2) + C(x-1)x.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x в обох частинах тотожності, дістаємо систему рівнянь:

розв’язок якої: A= , B = 1, C = .

Отже, заданий дріб набере вигляду:

У деяких випадках з метою спрощення обчислень можна можна скористатись такими міркуваннями. Оскільки многочлени і тотожно рівні, то їх значення рівні при будь-яких числових значеннях х. Надаючи х конкретні числові значення, дістаємо систему рівнянь для визначення коефіцієнтів. Такий метод відшукання невідомих коефіцієнтів називається методом частинних значень. Якщо значення х збігається з дійсними коренями знаменника, дістаємо рівняння з одним невідомим коефіцієнтом.

Приклад

Знайти а) б) в) г) dx; д)

Розв’язання.

а) Розклад дробу на систему елементарних дробів має вигляд:

Тепер знайдемо коефіцієнти методом частинних значень. Підставимо в тотожність:

2x - 3 ≡ A(x-1)(x-2) + Bx(x-2) + C(x-1)x

Замість х частинні значення Дістанемо рівності -3 = 2А, -1=-B, 1=2C. Звідси випливає, що A= , B = 1, C = . Маємо:

б)Розклад дробу на суму найпростіших дробів має вигляд:

Звівши дроби в обох частинах рівності до спільного знаменника, матимемо:

X ≡ A

При x = 1 і x = -1 знаходимо, що 4A = 1, -1 = -2B, тобто A = , B =

Для обчислення значення С прирівнюємо в тотожності коефіцієнти . Дістаємо 0 = A+C, тобто C = - .

Маємо:

в)

Отже, X ≡ A

При x=1 дістаємо 1=2А, тобто А=

Звідки M= , N = . Маємо:

г) У цьому випадку підінтегральна функція є неправильним дробом. Діленням чисельника на знаменник виділимо цілу частину раціонального дробу і правильний раціональний дріб: