Элементы аналитической геометрии
Расстояние между точками.
Пусть на плоскости заданы точки 
и 
. Из треугольника АВС:
.
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть даны две точки: 
и 
. Найдем на отрезке М1М2 точку 
, которая делила бы этот отрезок в отношении 
.
По теореме о пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла: 
. Тогда:
, 
, 
.
, 
, 
.
В частности, для 
, получим координаты середины отрезка:
, 
.
Общее уравнение прямой.
Всякое невырожденное уравнение первой степени с двумя переменными задает на плоскости прямую. Обратно: всякая прямая на плоскости может быть описана некоторым уравнением первой степени с двумя переменными:
- общее уравнение прямой.
- условие невырожденности.
- вектор нормали прямой.
Отметим некоторые частные случаи расположения прямой на плоскости.
С=0, Ах+Ву=0 – прямая проходит через начало координат.
А=0, Ву+С=0 - прямая параллельна оси Ох.
В=0, Ах+С=0 - прямая параллельна оси Оу.
А=С=0, Ву=0 – прямая совпадает с осью Ох.
В=С=0, Ах=0 – прямая совпадает с осью Оу.
Расстояние от точки 
до прямой, заданной общим уравнением , определяется по формуле:
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть некоторая прямая составляет с положительным направлением оси Ох угол 
и отсекает на оси Оу отрезок 
. Составим уравнение этой прямой. Для этого возьмем произвольную точку 
, лежащую на прямой и найдем уравнение, связывающее ее координаты х и у.
Из треугольника BMN: 
, 
, 
. Подставляя в равенство 
, получим:
.
Заметим, что этот вид уравнения прямой легко получить из общего: , 
, 
.
Тогда 
, 
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Пусть прямая проходит через точку и образует с осью Ох угол . Составим уравнение прямой. Будем искать уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом: , где 
. Возьмем произвольно точку 
на прямой и определим связь между ее координатами. Т.к. точки лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой: , 
. Вычитая, получим: 
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки: и 
. Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки. Из треугольника М1М2М: 
, 
- угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки. Подставим это соотношение в уравнение прямой, проходящей через данную точку М1 в данном направлении к: 
,
Если данные точки имеют одинаковые абсциссы или одинаковые ординаты, то последнее соотношение используют в виде: 
.
Уравнение прямой в отрезках.
Предположим, что прямая отсекает на осях координат отрезки a и b единиц соответственно. Составим уравнение этой прямой, используя тот факт, что она проходит через точки 
и 
:
, 
,
.
