Уравнение прямой в отрезках.

Элементы аналитической геометрии

Расстояние между точками.

Пусть на плоскости заданы точки и . Из треугольника АВС:

.

 

Деление отрезка в данном отношении.

 

Пусть даны две точки: и . Найдем на отрезке М₁М₂ точку , которая делила бы этот отрезок в отношении .

По теореме о пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла: . Тогда:

, , .

, , .

В частности, для , получим координаты середины отрезка:

, .

 

Общее уравнение прямой.

 

Всякое невырожденное уравнение первой степени с двумя переменными задает на плоскости прямую. Обратно: всякая прямая на плоскости может быть описана некоторым уравнением первой степени с двумя переменными:

- общее уравнение прямой.

- условие невырожденности.

- вектор нормали прямой.

Отметим некоторые частные случаи расположения прямой на плоскости.

С=0, Ах+Ву=0 – прямая проходит через начало координат.

А=0, Ву+С=0 - прямая параллельна оси Ох.

В=0, Ах+С=0 - прямая параллельна оси Оу.

А=С=0, Ву=0 – прямая совпадает с осью Ох.

В=С=0, Ах=0 – прямая совпадает с осью Оу.

 

Расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнением , определяется по формуле:

.

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

 

Пусть некоторая прямая составляет с положительным направлением оси Ох угол и отсекает на оси Оу отрезок . Составим уравнение этой прямой. Для этого возьмем произвольную точку , лежащую на прямой и найдем уравнение, связывающее ее координаты х и у.

Из треугольника BMN: , , . Подставляя в равенство , получим:

.

 

Заметим, что этот вид уравнения прямой легко получить из общего: , , .

Тогда , .

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

 

Пусть прямая проходит через точку и образует с осью Ох угол . Составим уравнение прямой. Будем искать уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом: , где . Возьмем произвольно точку на прямой и определим связь между ее координатами. Т.к. точки лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой: , . Вычитая, получим: .

 

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны две точки: и . Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки. Из треугольника М₁М₂М: , - угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки. Подставим это соотношение в уравнение прямой, проходящей через данную точку М₁ в данном направлении к: ,

 

Если данные точки имеют одинаковые абсциссы или одинаковые ординаты, то последнее соотношение используют в виде: .

 

Уравнение прямой в отрезках.

Предположим, что прямая отсекает на осях координат отрезки a и b единиц соответственно. Составим уравнение этой прямой, используя тот факт, что она проходит через точки и :

, ,

.