Формальное описание существующей стохастической модели оптимального управления инвестициями в актив со случайной доходностью при транзакционных издержках

Рассматривается задача оптимального распределения финансовых активов, предполагается, что инвестор может либо держать наличные деньги, либо вложить их в некоторый рисковый актив, доходность которого меняется случайным образом. В рамках модели считается, что стоимость рискового актива распределена как геометрическое броуновское движение:

де X_t – стоимость рискового актива;

X₀ – начальная стоимость рискового актива;

μ, σ – параметры активности;

t – временная переменная;

W_t – стандартное броуновское движение.

Полезность наличных равна их количеству, а полезность рискового актива стоимостью X задается через функцию R(Х), которая отражает неготовность инвестора к риску. Относительно функции R(Х) будет предусматриваться вогнутость при X>0. В качестве функции полезности можно рассматривать, например, R(Х)=lnX или R(Х)=X^γ. Далее предполагается, что временные преимущества задаются экспоненциальной зависимостью e^–βt, где β характеризует степень предпочтения настоящего по сравнению с будущим.

При перераспределении средств из наличных в акции и обратно возникают следующие расходы: p>

де K⁺,K⁻ – фиксированные издержки;

k⁺,k⁻ – постоянные издержки.

Поскольку при каждом перераспределении средств инвестор несет расходы, которые превышают некоторую положительную константу, то, очевидно, что оптимальное управление будет носить не непрерывный, а импульсный характер. Управлением будет множество пар (τ_i⁺,ΔX_i⁺) и (τ_i⁻,ΔX_i⁻), определяющих моменты времени и размер дополнительных инвестиций в акции и, соответственно, моменты времени и размер (по абсолютной величине) продаж акций [2, 3]. Задача будет решаться в классе допустимых управлений.

Управление называется допустимым, если оно удовлетворяет следующим условиям:

В дальнейшем класс допустимых управлений будет обозначаться А(х). Указанные свойства представляются вполне логичными с учетом убывающей предельной полезности R(Х) с ростом Х. Действительно, не имеет смысла наращивать до бесконечности величину вложений в актив Х, если предельная полезность от инвестиций уменьшается, а предельная полезность от наличных остается постоянной.

Динамика стоимости рискового актива описывается следующим образом:

Выигрыш от отдельной стратегии инвестора определяется как

Если деньги ценятся только в момент их использования, то переменные определяются как:

где C⁺,C⁻ та c⁺,c⁻ – величины фиксированных и пропорциональных расходов на рынке.

Функция ожидаемого выигрыша определяется как выигрыш, соответствующий лучшей стратегии всех допустимых

де U_t(X) – ожидаемы выигрыш;

J_t(X) – выигрыш от отдельной стратегии инвестора.

Модель концентрируется на конструктивном построении оптимального управления. Считается, что инвестор может занимать любое количество денег, поэтому рассматриваемую задачу управления можно обобщить на случай нескольких X₁,X₂,...,X_n с функциями полезности R₁,R₂,...,R_n и с различными пропорциональными и фиксированными затратами. Поэтому для поиска оптимальной инвестиционной стратегии необходимо независимо решить максимизацийну задачу (1) для каждого из активов.

Необходимые условия на решения будут получены для двух участков-пассивной и активной. При этом предполагается, что функция выигрыша дважды непрерывно-дифференцированная всюду, за исключением конечного числа точек [6].

В случае если на участке пассивного управления в момент t оптимальной стратегией является пассивное управление (ΔX = 0), то пассивное управление будет оптимальным и в течение [t;t+ Δt] при бесконечно малом Δt. Тогда для функции выигрыша будет справедливо следующее представление, которое вытекает из принципа оптимальности:

Условие применения активного управления выглядит следующим образом:

при условии увеличения Х

при условии уменьшения Х

где – уровни продаж и закупок акций соответственно [10].

Рассмотрим теперь случай, когда осуществление операций покупки и продажи будет происходить не сразу, а после некоторого периода времени Т после оплаты сделки.

В этом случае функция полезности U будет уже зависеть не только от фактической стоимости акций, но и от потока ранее осуществленных, но пока не выполненных заявок на продажу и покупку:

Справедливым будет следующее утверждение: оптимальное управление (τ_i,Δx_i), i=1,2,...,k зависит только от величины X=x+∑ix_i, где х_i – поток еще не исполненных закупок и продаж актива, а х его реальное количество, которым обладают.

Учитывая вышеуказанное утверждение выразим функцию следующим образом:

Далее будет записано уравнение для однопараметрической функции выигрыша с использованием уравнения (3).

В случае, если оптимально не предпринимать никаких действий, уравнение (2) остается неизменным. Если оптимальным является изменение X, то должны быть выполнены следующие неравенства:

где Ψ=(t,y–x) для текущего момента времени t [10].

Выводы

Современная портфельная теория основывается на предположении, что инвесторы имеют возможность распределять богатство среди множества доступных направлений инвестирования, то есть формировать инвестиционный портфель. Критериями оценки эффективности инвестиционных решений является только два параметра – ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности.

Возможности, предоставляемые рынком, по выбору желаемой комбинации ожидаемой доходности и риска инвестиций ограничены. Рациональные инвесторы всегда стремятся к формированию эффективного портфеля. Какой именно эффективный портфель выберет инвестор, зависит от его индивидуальных отношений к преимуществам между риском и ожидаемой доходностью.

В рассмотренных моделях формирования оптимального инвестиционного портфеля имеются следующие предположения: рынок является эффективным; активы ликвидные и делимы, отсутствуют налоги, транзакционные издержки и банкротства; все инвесторы имеют одинаковые ожидания, могут брать кредит и предоставлять средства под ставку без риска; инвесторы действуют рационально, стремясь максимизировать свою полезность; доходность является только функцией риска, изменения цен активов не зависят от существующих в прошлом уровней цен; рассматривается один временной период.

Исследованная модель оптимального управления инвестициями в некоторый актив учитывает необходимость устранения следующих недостатков современной портфельной теории: учет наличия стохастических изменений доходности рисковых активов с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды, учет транзакционных расходов, представленных фиксированной и пропорциональной составляющей.

В дальнейшем планируется расширение и совершенствование рассмотренной модели стохастического управления инвестициями. В связи с большой размерностью рассматриваемой оптимизационной задачи, так как она относится к классу NP-сложных, для реализации предлагаются методы эволюционного моделирования, а в частности генетический алгоритм.

При написании данного реферата магистерская работа еще не завершена. Окончательное завершение: декабрь 2014 года. Полный текст работы и материалы по теме могут быть получены у автора или его руководителя после указанной даты.

Список источников

1. Cadenillas A. Optimal central bank intervention in the foreign exchange market / Abel Cadenillas, Fernando Zapatero // Journal of Economic Theory. – 1999. – № 87. – Р. 218–242.

2. Gabriela M. Optimal stochastic intervention control with application to the exchange rate / Mundaca Gabriela, Bernt Oksendal // Journal of Mathematical Economics. – 1998. – № 29. – Р.225– 243.

3. Lions P.L. Optimal control of diffusion processes and Hamilton-Jacobi-Bellman equations / P.L. Lions // Partial Differential Equations. – 1983. – №8. – Р.1101 – 1174.

4. Грідасов В.М. Інвестування: Навчальний посібник./В.М. Грідасов, С.В. Кривченко, О.Є. Ісаєва. – К.: Центр навчальної літератури, 2004. – 164 с.

5. Боди З. Принципы инвестиций / З. Боди, А. Кейн, А. Маркус. – [4-е изд.]. – Вільямс, 2002. – 984 с. раздел2.4

6. Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг / А.Н. Буренин – М.: НТО им. акад.. С.И. Вавилова, 2008. – 440 с.

7. Винс Р. Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров; [Пер. с англ.] / Р. Винс – М.: Альпина Паблишер. – 2001. – 400 с.

8. Гитман Л. Дж. Основы инвестирования; [пер. с англ.] / Л. Дж. Гитман – М.: Дело. – 1999. –1008 с.

9. Довбенко М.В. Современные экономические теории в трудах нобелиантов: Учебное пособие / М.В.Довбенко, Ю.И. Осик – М.: Академія Естествознания, 2011. – 350с.

10. Китов В.В. Оптимальное управление инвестициями в актив со случайной доходностью при транзакционных издержках / В.В. Китов // Математическое моделирование. – 2007. – том 19, №5. С. 45 – 58.

11. Кох И. А. Элементы современной портфельной теории / И. А. Кох // Экономические науки. – 2009. – №8. С. 267–272.

12. Крейнина М.Н. Финансовый менеджмент; [учеб. пособие] / М.Н. Крейнина – М.: «Дело и Сервис». – 2001. – 400 с.

13. Липсиц И.В. Экономический анализ реальных инвестиций; [учеб. пособие] / И.В. Липсиц – М.: Экономистъ. – 2004. – 347 с.

14. Мойсеєнко І.П. Інвестування: Навчальний посібник / І.П. Мойсеєнко – К.:Знання,2006. –490 с.

15. Павлова Ю.Н. Финансовый менеджмент [учебник] / Ю.Н. Павлова – М.: ЮНИТИ-ДАНА, – 2001, – 269 с.

16. Смирнов А.В. Новое в динамическом управлении капиталом / А.В. Смирнов, Т.В. Гурьянова // Научные труды Донецкого национального технического университета, серия «Информатика, кибернетика и вычислительная техника». – 2008. – Вып. 10 (153). – С 230–233.

17. Смирнов А.В. Об «оптимальном f» Ральфа Винса / А.В. Смирнов, Т.В. Гурьянова // Научные труды Донецкого национального технического университета, серия «Информатика, кибернетика и вычислительная техника». – 2008. – Вып. 9 (132). – С 216–220.

18. Фабоцци Ф. Управление инвестициями; [пер. с англ] / Ф. Фабоцци – М.: ИНФРА-М, 2000. – 932 с.

19. Шапкин А.С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций / А.С. Шапкин – М.: Дашков и К, 2003. – 544 с.

20. Шарп У. Инвестиции; [пер. с англ.] / У. Шарп – М.: ИНФРА-М. – 1998. – 1028 с.